Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Laboratorium z fizyki

Drgania harmoniczne struny

Grupa 4., sekcja 7.

Wioletta Bujak

Arkadiusz Mazur

Andrzej ZwierzchowskiWstęp teoretyczny.

Drgania harmoniczne.

Drgania harmoniczne są to drgania opisane funkcją okresową harmoniczną

x(t) = A sin(wt + f)

gdzie:

A = x(t)_max - amplituda drgań;

T = 2p/w - okres drgań;

n = 1/T - częstotliwość drgań;

w = 2pn - częstotliwość kątowa drgań;

wt + f - faza drgań;

• - faza początkowa drgań ( t = 0 ).

Prędkość v oraz przyspieszenie a drgań harmonicznych wynoszą odpowiednio:

Z powyższych wzorów wynika, że prędkość i przyspieszenie drgań harmonicznych są opisane, podobnie jak x(t), przez funkcje harmoniczne ( rys. ) oraz, że zachodzi zależność

a = -w²x

wyrażająca charakterystyczną cechę drgań harmonicznych.

W przypadku drgań mechanicznych punktu materialnego, przyspieszenie a jest proporcjonalne do wielkości wychylenia x z położenia równowagi i jest stale zwrócone w stronę tego położenia. Wynika stąd, że siła F powodująca drgania harmoniczne jest także proporcjonalna do wychylenia i skierowana do punktu, w którym znajduje się w równowadze ( x = 0 ).

F = -kx

gdzie:

k - współczynnik sprężystości.

Okres tych drgań

gdzie:

m - masa punktu materialnego.

Dyspersja.

Dyspersja fal jest to zjawisko rozchodzenia się fal w ośrodku z prędkością fazową zależną od ich częstotliwości. Zależność tę określa związek między częstością kątową fali w a jej liczbą falową k ( k = 2p/l ). Fale, dla których stosunek w/k w danym ośrodku nie zależy od długości fali ( a więc i od jej częstotliwości ), nazywa się falami niedyspersyjnymi, natomiast fale. Dla których stosunek w/k jest dowolną funkcją ich długości l, nazywa się falami dyspersyjnymi.

Również ośrodek, w którym pewne fale ulegają dyspersji, nazywa się ośrodkiem dyspersyjnym dla tych fal. Związek między wielkościami w i k nazywa się związkiem dyspersyjnym. Zależy on jedynie od rodzaju fal i własności ośrodka, a nie zależy od warunków brzegowych. Oznacza to, że fale ulegają ( lub nie ulegają ) dyspersji niezależnie od tego, czy są falami biegnącymi, czy stojącymi. Dla fal biegnących stosunek w/k jest równy prędkości fazowej v_f ich rozchodzenia się, a więc fala dyspersyjna będąca superpozycją fal sinusoidalnych o różnych częstościach zmienia swój kształt w miarę rozchodzenia się w przestrzeni, ponieważ składniki superpozycji o różnych długościach fali l rozchodzą się z różnymi prędkościami v_f.

Opis stanowiska.

Stanowisko pomiarowe przystosowane jest do analizy drgań harmonicznych struny. Na stanowisku pomiarowym znajdują się:

naprężona struna;

generator drgań połączony z komputerem;

oscyloskop.

Obliczenia.

Celem doświadczenia było znalezienie kolejnych harmonicznych drgań struny i sprawdzenie, czy wystąpiło zjawisko dyspersji. Przy braku dyspersji zachodziłaby zależność:

f_n = n f₁

a zatem wykres częstotliwości harmonicznych od ich numeru byłby linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Zaobserwowane częstotliwości harmonicznych zebrane są w poniższej tabeli:

Nr harmonicznej	Częstotliwość [Hz]
1	70
2	140
3	211
4	281
5	352
6	423
7	495
8	568
9	639
10	715
11	791
12	868
13	943
14	1021
15	1102
16	1174
17	1260
18	1343
19	1430

Powyższe dane zostały naniesione na wykres zależności częstotliwości harmonicznych od ich numeru. Linia prosta na wykresie obrazuje tę zależność dla fal niedyspersyjnych, a punkty przedstawiają wyniki pomiarów.

Wnioski.

Przy braku dyspersji otrzymalibyśmy wykres częstotliwości harmonicznych od ich numeru pokrywający się z wykresem zależności f_n = n f₁. Zaobserwowane w tym doświadczeniu częstotliwości oddalają się od prostej wraz ze wzrostem numeru harmonicznej. Jest to równoznaczne z wystąpieniem zjawiska dyspersji fal poprzecznych w strunie.

---