Marcin Kwoka Rzeszów 1996.05.21

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

ĆWICZENIE 1

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

I. Zagadnienia wstępne .

1.Prawo powszechnego ciążenia.

Newtonowskie prawo powszechnego ciążenia stwierdza, że wszelkie ciała oddziaływują ze sobą wzajemnie siłą przyciągającą skierowaną wzdłuż prostej łączącej środki obu ciał i mającą wartość:

gdzie: M₁,M₂ - masy oddziaływujących ciał,

R - odległość między środkami mas,

g - stała grawitacyjna,

Zgodnie z tym prawem ciała znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi podlegają działaniu grawitacyjnej siły przyciągania. Z uwagi na to, że Ziemia jest układem nieinercjalnym na ciało spoczywające na powierzchni Ziemi obok siły przyciągania grawitacyjnego działają: siła odśrodkowa i siła Coriolisa. Ciało naciska na Ziemię siłą równą wypadkowej tych trzech sił zwaną ciężarem.

Ciężar to siła która nadaje ciałom przyspieczenie ziemskie:

gdzie: Q - ciężar ciała,

m - masa ciała,

g - wektor przyspieszenia ziemskiego.

Wartość ciężaru i przyspieszenia ziemskiego zależy od położenia geograficznego i wysokości nad powierzchnią ziemi.

2.Ruch drgający harmoniczny prosty.

Ruch drgający harmoniczny prosty to ruch, w którym następuje okresowa zmienność określonej wielkości fizycznej np. przemieszczenia x.

Układ wykonuje drgania harmoniczne jeżeli działa nań siła zwracająca tzn. siła zawsze skierowana w stronę położenia równowagi o wartości proporcjonalnej do wychylenia x z położenia równowagi:

, gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

Z II zasady dynamiki:

(1)

Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jego rozwiązaniem jest funkcja:

(2)

gdzie: w - częstość kołowa.

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu równania (2) i podstawieniu do równania (1) otrzymujemy:

Jeżeli zwiększymy czas w równaniu (2) o

Wówczas okazuje się, że funkcja x po przyjmuje swą poprzednią wartość.

3.Przykłady ruchu harmonicznego prostego.

Wahadło matematyczne.

Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o punktowej masie zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici.

Jeżeli wahadło jest odchylone od pionu o kąt f to pojawia się siła dążąca do zawrócenia wahadła do położenia równowagi.

Dla bardzo małych wychyleń sin f = f (f mierzone w radianach), przemieszczenie ,a ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy.

Zatem dla małych drgań ruch wahadła matematycznego jest ruchem harmonicznym prostym a siła F jest siłą zwracającą:

,gdzie:

Okres drgań wahadła matematycznego, można przedstawić wzorem:

,gdzie l - długość wahadła matematycznego.

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

Wahadło fizyczne.

Jesta to dowolne ciało sztywne mogące obracać się wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek masy.

Ruch wahadłowy bryły można rozpatrywać jako ruch obrotowy. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej:

(4)

gdzie: M - moment siły przywracający równowagę bryły (wywołany składową styczną do siły ciężkości),

I - moment bezwładności,

e - przyspieszenie kątowe.

Moment siły w równaniu (4) mażna wyrazić jako:

Ponieważ dla bardzo małych wychyleń sinf = f więc:

Uwzględniając, że równanie (4) po przekształceniach przyjmuje postać:

gdzie:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego.

Zatem zgodnie z (3) okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń można obliczać ze wzoru:

gdzie: m - masa wahadła fizycznego,

d - odległość między środkiem ciężkości a punktem, przez który przechodzi oś obrotu,

I - moment bezwładności,

l_zr - długość zredukowana wahadła fizycznego.

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

Długość zredukowana wahadła fizycznego jest długością takiego wahadła matematycznego, którego okres drgań jest identyczny jak okres drgań danego wahadła fizycznego.

4. Metoda pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne jest to wahadło fizyczne, którego konstrukcja umożliwia precyzyjny pomiar długości zredukowanej.

Uzasadnienie teoretyczne pomiaru długości zredukowanej wahadła fizycznego.

Jeśli oś obrotu przechodzi przez punkt A to okres drgań wahadła fizycznego względem tego punktu:

gdzie: a - odległość punktu A od środka masy,

I_A - moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt A.

Zgodnie z tw. Steinera: I_A=I₀+ma².

Zatem: (5)

gdzie: I₀ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy.

Podobnie, jeśli zawiesimy wahadło tak, że oś obrotu przechodzi przez punkt B to:

(6)

b - odległość punktu B od środka masy.

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

Więc okresy przy obydwu zawieszeniach są równe:

Po podstawieniu do równań (5) i (6) mamy:

Odległość a+b , będąca odległością między punktami zawieszeń A i B, dla których okresy drgań są identyczne, jest równa długości zredukowanej danego wahadła fizycznego.

I_zr=a+b , mamy zatem:

(7)

Budowa wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne składa się z metalowego pręta zaopatrzonego w dwie pary ostrzy O₁ i O₂ , które znajdują się w stałej odległości. Służą one do zawieszania wahadła na odpowiedniej podstawce. Obok ostrzy, na pręcie znajdują się dwie masy: m₁ - umocowana na stałe i m₂ - ruchoma.

Masę m₂ można przesuwać wzdłuż pręta pomiędzy punktami A i B zmieniając w ten sposób położenie środka masy wahadła. Przy pewnym położeniu masy m₂ na pręcie okres wahadła rewersyjnego T przy zawieszeniu zarówno na ostrzu O₁ jak i O₂ będzie identyczny. Wyznaczając ten okres drgań i mierząc odległość między ostrzami równą długości zredukowanej wahadła rewersyjnego l_r możemy obliczyć przyspieszenie ziemskie ze wzoru:

(8)

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

II. Wykonanie ćwiczenia .

1. Wyznaczyć odległość między ostrzami l_zr .

2. Zawiesić wahadło na ostrzu O₁ i ustawić masę m₂ w punkcie A.

3. Przesuwać masę m₂ od A do B co 5 cm wyznaczając dla kolejnych jej położeń l_i okresy wahań wahadła T_i . W tym celu zmierzyć czas t_i , np. n=10 wahnięć i obliczyć czas jednego wahnięcia ze wzoru T_i=t_i/n . Wyniki umieszczać w tabeli.

4. Zawiesić wahadło na ostrzu O₂ i przesuwając masę m₂ od B do A powtórzyć czynności jak w p.3

5. Na podstawie tabeli sporządzić wykres i odczytać z niego wartość okresu wahadła zredukowanego. Punkty przecięcia krzywych C i D odpowiedają takim położeniom masy m₂ , dla których okresy drgań przy obu zawieszeniach są jednakowe. Ponieważ najczęściej punkty C i D znajdują się na różnych wysokościach okres T oblicza się jako średnią arytmetyczną okresów T_C i T_D .

Obliczyć przyspieszenie ziemskie g z równania (8) .

Oszacować błąd Dg według wskazówek: Błąd wyznaczania przyspieszenia ziemskiego wyznaczyć metodą różniczki zupełnej lub pochodnej logarytmicznej.

Błąd bezwzględny pomiaru długości zredukowanej równy jest dokładności odczytu na skali przymiaru, błąd wyznaczenia okresu drgań obliczyć ze wzoru:

Marcin Kwoka

I ED rok 1995/96

gr. Laboratoryjna nr 3.

III. Tabelka.

Lp.	lr	li	T1i	T2i	T	g + Dg
-

---