43. Pochodna funkcji jednej zmiennej.

Pochodną funkcji f(x) określonej w otoczeniu punktu x=a nazywamy granicę

, (<- nie n tylko h _^_)

przy czym wyrażenie
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x=a, czyli pochodna funkcji f(x) w punkcie x=a jest granicą ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x=a.

Jeśli funkcja posiada pochodną to jest różniczkowalna.

Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą (to znaczy przyjmującą wartości, będące liczbami rzeczywistymi) zmiennej rzeczywistej, określoną w pewnym otoczeniu punktu x₀, i jeśli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego
przy x zmierzającym do x₀, to f nazywa się funkcją różniczkowalną w punkcie x₀, zaś wartość powyższej granicy nazywa się pochodną funkcji w punkcie x₀ i oznacza symbolem f'(x₀) lub też
.

Punkt x₀ nazywa się punktem różniczkowalności funkcji f.

Geometrycznie różniczkowalność f w punkcie x₀ oznacza istnienie prostej stycznej do wykresu f w punkcie (x₀, f(x₀)), zaś wartość f'(x₀) jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (czyli tangensem jej kąta nachylenia do osi x).

Jeśli dziedziną funkcji f jest przedział otwarty (lub ogólniej suma pewnej liczby przedziałów otwartych) X i jeśli f ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to f nazywa się funkcją różniczkowalną w zbiorze X, a funkcja f ' nazywa się funkcją pochodną (lub krócej pochodną) funkcji f w tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją. Pochodną funkcji w przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (pochodna duża - wykres stromy, pochodna niewielka - wykres łagodnie wznoszący się, pochodna ujemna - wykres opadający). Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład jeśli f jest funkcją odległości od czasu, to f ' jest prędkością. Jeśli f jest funkcją prędkości od czasu, to f ' jest przyśpieszeniem.

Pochodną prawostronną (lewostronną) funkcji f(x) w punkcie x=a określonej w prawym (lewym) otoczeniu punktu x=a nazywamy granicę:

Mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna (prawostronnie, lewostronnie) w pkt. x=a, gdy istnieje w tym punkcie jej odpowiednia pochodna skończona.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna dla każdego elementu a ∈ D(f) (a ∈ A ⊂ D(f)), to mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna (różniczkowalna w zbiorze A) i funkcję f `(x) określoną dla każdego x∈ D(f) (x ∈A) nazywamy pochodną (pochodną w zbiorze A) funkcji f(x).

Funkcja f(x) różniczkowalna w pkt. x=a jest zawsze w tym punkcje ciągła. Ogólnie każda funkcja f(x) różniczkowalna (różniczkowalna w zbiorze A ⊂D(f)) jest ciągła (ciągła w zbiorze A).

Operacja pochodnej funkcji ma następujące własności rachunkowe:

1. jeśli f(x) jest funkcją stałą, to f `(x) =0

2. (f+g)` (x) = f '(x) + g `(x)

3. (af)`(x) = a f `(x)

4. (fg)`(x) = f ` (x)g(x)+ f(x)g'(x)

5. (f/g)'(x) = (f '(x) g(x) - f(x)g'(x))/g²(x)

Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi, to funkcja złożona (f○g)(x)=g(f(x)) jest również funkcją różniczkowalną i jej pochodna wyraża się wzorem: (f○g)'(x)=g'(f(x))·f '(x)

W szczególności, jeśli funkcja f(x) jest różnowartościowa i różniczkowalna w pewnym przedziale, to istnieje funkcja odwrotna do f, czyli funkcja f ^-1 , różniczkowalna na przedziale będącym zbiorem wartości funkcji f(x) we wspomnianym pewnym przedziale. Ponadto zachodzi wzór (na pochodną funkcji odwrotnej): f ^-1 (y)'=1/f `(x), gdzie zmienne x i y są związane z równością y=f(x), czyli: f <sup>-1</sup> (f(x))'=1/f `(x) lub f ^-1 (y)'=1/f `(f ^-1(y)).

Pochodne wyższych rzędów

Dla danej funkcji f(x) określamy ciąg pochodnych (f ⁽ⁿ⁾(x) )^∞ następującymi warunkami:

f ⁽⁰⁾(x) =f(x), f⁽¹⁾(x) =f ′(x), f⁽²⁾(x) =f ′′(x), …,f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =(f ⁽ⁿ⁾(x))′= (f⁽ⁿ⁾(x))⁽¹⁾ =(f′)⁽ⁿ⁾(x) dla n=0,1,2,…

Pochodną f ⁽ⁿ⁾(x) funkcji f(x) nazywamy dokładnie pochodną rzędu n-tego tej funkcji.

Zwykle przez pochodną f(x) rozumiemy pochodną rzędu pierwszego.

Pochodne postaci f ⁽ⁿ⁾(x) dla n≥2 nazywamy pochodnymi wyższych rzędów.

---