Rozkłady

 

Poissona

Używamy, gdy prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia jest mniejsze niż 0,2 (P<0,2) i gdy jednocześnie ilość elementów jest równa lub większa od 20 (n>=20).

 

P(X=k) = (m^k Ⴗ e^-m) / k!

gdzie:

k - wartość zmiennej losowej X

m - wartość oczekiwana

k! -silnia z k

 

Wzory dodatkowe:

Wartość oczekiwana - m=E(x)=n Ⴗ P

 

Przykład:

Co 20 wyrób jest zły, oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 120 wylosowanych są 4 złe wyroby: P(X=4) = (6⁴ Ⴗ e^-6) / 4! = 3,212 / 24 = 0,134. W przypadku gdy w treści mamy podany przedział np. więcej złych wyrobów niż 3, ale mniej niż 7 wtedy liczymy i dodajemy każdy element z przedziału: P(3>X>7) = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6).

Powyższe zadanie rozwiązaliśmy za pomocą rozkładu Poissona zgodnie z założeniami, ponieważ: P=0,05, n=120. E(X)=0.05 Ⴗ 120 = 6.

 

Geometryczny

P(X=k) = p Ⴗ q^k-1

gdzie:

k - wartość zmiennej losowej X

p - prawdopodobieństwo sukcesu

q - prawdopodobieństwo porażki

 

Wzory dodatkowe:

Wartość oczekiwana - E(X)=1/p

Wariancja - V(X)=q/p²

Odchylenie - ၳ=pierwiastek z V(X)

 

Przykład:

Co 5 los jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo, że dopiero za 6 razem wylosujemy wygrywający los:

p=0,2; q=0,8; k=6

P(X=6) = 0,2 Ⴗ 0,8⁵ = 0,065

 

 

 

 

 

Normalny

P(X=k) = T = (X-m) / ၳ

gdzie:

X - zmienna losowa (wartość k)

m - wartość oczekiwana E(X)

ၳ - odchylenie (pierwiastek z V(X))

 

Wzory dodatkowe:

E(X) = X Ⴗ P

V(X) = n Ⴗ p Ⴗ q

 

Rozkład normalny oznaczamy także tak: N(E(X), ၳ)

 

Wykładniczy

Funkcja gęstości:

/ 0 dla x<0

f(x)=<

\ ၬe^-2x dla x>=0

 

Dystrybuanta:

/ 0 dla x<0

F(x)=<

\ 1-e^-2x dla x>=0

gdzie:

ၬ - współczynnik Lambda = 1/E(x)

 

Dodatkowe wzory:

E(x) = 1/ၬ

V(x) = 1/ၬ²

Mediana Me = ln0,5 / ၬ

 

Przykład:

Czas oczekiwania ma rozkład wykładniczy i E(x)=0,5. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie większy od 1.

P(X>1) = 1-e^-2x1=0,865.

 

 

Dwumianowy

P(X=k) = C_n^k Ⴗ p^k Ⴗ q^n-k

gdzie:

C_n^k - kombinacja - wzór: n! / (n-k)!Ⴗ k!

 

Dodatkowe wzory:

E(x)=n Ⴗ p

V(x)=n Ⴗ p Ⴗ q

 

Przykład:

W grupie studentów 20% jest wysokich. Oblicz prawdopodobieństwo, że gdy wybierzemy 5 to 3 z nich będzie wysokich:

P(X=3) = C₅³ Ⴗ 0,2³ Ⴗ 0,8² = 0,05.

 

Jednostajny

Oznaczamy: X[a,b].

 

Dystrybuanta:

/ 0 dla x<a

F(x)=<

\ (x-a)/(b-a) dla a<=x<=b

\ 1 dla x>b

 

Funkcja gęstości:

/ 0 dla x<a

f(x)=<

\ 1/(b-a) dla a<=x<=b

\ 0 dla x>b

 

Dodatkowe wzory:

E(x) = (a+b)/2

V(x) = (b-a)²/12

 

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---