1. Wahadło torsyjne

Zgodnie z II Zasada dynamiki ruch drgający wahadła torsyjnego jest opisany równaniem: M = Iε

gdzie: M - wypadkowy moment sil dzialajacych na wahadlo (sil sprezystych i tarcia)

I - moment bezwladności ukladu

ε - chwilowe przyspieszenie katowe ukladu

Jak wiadomo rozwiazanie tego równania ma postac:

ϕ = ϕ₀ e^-βt cos(ωt + α₀)

Z graficznej interpretacji powyzszego wzoru otrzymujemy wyrazenie na amplitude drgan w chwili t:

ϕ_n = ϕ₀ e^-βt

gdzie ϕ_n - wspomniana wczesniej amplituda

ϕ₀ - amplituda w chwili poczatkowej

β - wspólczynnik tlumienia (β = b / 2I - b - wspólczynnik oporu)

Logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud ϕ_n i ϕ_n+1 nastepujacych po czasie Δt = T ( T - okres drgań ) nazywamy dekrementem logarytmicznym λ drgań tlumionych.

Wyliczenie wartosci dekrementu logarytmicznego tlumienia λ dla kilku wychyleń wahadla torsyjnego dla wody i cieczy wg. wzoru:

λ= ln ( _n / _n+1 ) = βT

gdzie: T - okres drgań

_n - wychylenie dla czasu t

_n+1 - wychylenie dla czasu t + T

Tabela pomiarów:

	woda		ciecz
n	n lewo	n prawo	n lewo	1 prawo
	8	9	8	8
	8	8	6	5
	7	8	5	4
	7	8	4	3
	6	7	3	2
	6	6	2	1
	5	6	1	1
	5	5
	5	5
	4	5

Powyższa tabela przedstawia pomiary amplitud wychyleń po prawej i po lewej stronie działki zerowej skali dla kilku pełnych drgań wachadła torsyjnego.

Wyliczenie kilku wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia  i wartości średniej _śr

Lp.	w	c
1	0,0000	0,2877
2	0,1335	0,1823
3	0,0000	0,2231
4	0,1542	0,2877
5	0,0000	0,4055
6	0,1823	0,6931
7	0,0000	0,4700
8	0,0000	0,2231
9	0,2231	0,2877
10	0,1178	0,4055	wartości średnie
11	0,0000	0,6931	w śr	0,0712
12	0,0000	0,0000	c śr	0,3466

Wyliczenie wartości współczynnika tłumienia β dla wody i cieczy wg. wzoru:

β = λ / T

T = t / m ( m - liczba pełnych drgań wahadła )

t_w = 60,4 s t_c = 61,4 s

m_w = 6 m_c = 6

T_w = 10,07 s T_c = 10,23 s

β_w = 7,07  10^-3 1/s

β_c = 33,88  10^-3 1/s

Wyznaczenie Δ metodą Studenta z założonym poziomem ufności α = 0,98

Δ_w =

Δ_c =

_w = 0,0712 ±

_c = 0,3466 ±

B. Kamerton

Pobudzony do drgań kamerton przyłożony do pudła rezonansowego wymusza drgania pudła. Drgania te rejestruje mikrofon umieszczony w pobliżu pudła rezonansowego. Napięcie rejestrowane przez miernik w obwodzie mikrofonu zmienia się wraz ze zmianą amplitudy drgań kamertonu.

Zmiany amplitudy drgań tłumionych w czasie opisuje równanie:

A(t) = A₀e^-βt

Czas po którym amplituda drgań maleje e - krotnie nosi nazwę czasu relaksacji. Czas relaksacji τ powiązany jest ze współczynnikiem tłumienia β następującą zależnością:

τ = 1 / β

zaś logarytmiczny dekrement tłumienia λ:

λ = β ∗ T ( T - okres drgań tłumionych)

Pomiar czasu od momentu gdy amplituda drgań A₀ = 2,00 V do momentu gdy amplituda osiągnie wartość A_t = 0,50 V dla częstotliwości f = 440 Hz:

kolejny pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t [ s ]	7,90	7,80	7,40	7,80	7,40	7,80	7,40	7,20	7,20	7,20

Pomiar czasu zmniejszania się napięcia od wartości A₀ = 2,5 V do kolejnych wartości A_t (ujętych w tabeli pomiarowej):

A0 [ V ]	At [ V ]	t [ s ]
2,50	2,00	1,00
2,50	1,50	2,40
2,50	1,00	4,60
2,50	0,50	7,80
2,50	0,30	11,40

Wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia ze wzoru:

β = ( 1 / τ ) ∗ ln ( A₀ / A_t )

kolejny pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
β [ s^-1 ]	0,176	0,178	0,187	0,178	0,187	0,178	0,187	0,193	0,193	0,193

Wartość średnia β_śr = 0,185 s^-1

Wyznaczenie Δβ metodą Studenta z założonym poziomem ufności α = 0,98

Δβ = s^-1

β = ( 0,185 ± ) s^-1

Wyznaczenie dekrementu logarytmicznego tłumienia ze wzoru: λ = β_śr / f

λ = 4,200∗ 10^-04

Wykres zależności A = A ( t )

Powyższy wykres odpowiada przebiegowi funkcji: A = 2,4 e^{-0,189 t}

gdzie A₀ = 2,4 V

β = 0,189 s^-1

Jak widać z otrzymanych wartości nieznacznie odbiegają one od wcześniej wyliczonych i tak z pomiarów wynika, że A₀ = 2,5 V a program Microsoft Excel 5.0 funkcją „wstaw linię trendu z równaniem przy wykresie” daje wartość A₀ = 2,4 V zaś wartość współczynnika tłumienia wyliczono wcześniej na β = 0,185 s^-1 zaś program dał wynik β = 0,189 s^-1. Pomimo niedoskonałości metody pomiarowej (np. mała liczbowo seria pomiarów, pomiar czasu przy pomocy ręcznego stopera, hałas w pracowni wpływający na zakłócenia w pracy mikrofonu w obwodzie pomiarowym) uważam, że uzyskana zgodność wyników potwierdza poprawność przeprowadzenia ćwiczenia.

---