IloczynemKartezjanskim2ZbiorowA,BnzwZbiórWszystkichUporządkowanychParTakiZePierwszyElementParyNalezyDoZbioruAaDrugiDoZbioruB

CiągFibonacciegoToCiagLiczbNaturalnychOkreslonyRekurencyjnieWNastepujSposob:Fo=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 dla n>=L Np1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

WzórDumianowyNewtona

(a+b)n=(no)anbn+(n1)an-1b1+…+(nk)an-kbk+ …+ ( nn-1)a1*bn-1+(nn) a0bn

LiczbyWzgledniePierwszeLiczbyNaturalDodatnieIchNajwiekszymWspolnymDzielnikiemJestLiczba1.

TwORozkladzLiczbyNaturalNaCzynnikiPierwsze:

KażdąLiczbeNaturalnaMoznaPrzedstawicWPostaciIloczynuLiczbPierwszych,RozkaladTakiJestJednoznacznyZdokladnosciaDoKolejnosciWystepowaniaCzynnikowPierwszych.Np100= 22*52=2*2*55=5*2*2

AlgorytmEuklidesaIdeaPozwalaNaOdnalezienieNWD2LiczbNaturalnychBezRozkladaniaTychLiczbNaCzynniki1sze,WykorzystujacDzielenieModulo.AlgorBardzoEfektywny:ALG:DaneSa2LiczbyNaturAiB;jeśliB=0toNWD=A;WprzeciwnymWypadkuOblCjakoReszteDzieleniaAprzezB;ZastapAprzezBzasBprzezCiZacznijOdPoczatku

JakOblNWWwiedzącZeNWD(m,n)=p?

NWW(m,n)=(m*n)/p

RownaniemRekurencyjnymNzwRownanieWktorymWystepujacaFunkcjaOdwolujeSieDoSamejSiebie

WzorIloscKombinK-elemBezPowtorzZbiorN-elem

Ckn=(nk)=n!/(k!(n-k)!) gdzie k<=n, n,k nalezyN+

WzorNaIloscPermutacjiZbioruN-elementowego

PermuntacjaBezPowtorzen: Pn=n! n Є N+

Zpowtorzen Pnn1..nk=n!/(n1!*n2!*..nk!) gdzie

`niЄN+; i=1,2..k; ni-liczbPowtorzElem

GrupąNzwParę(S,
)gdzie'S'toZbior.

Dzialanie
ma wlasnosci

1
; 2

3
4

5
1-domkniecie;2-istnienie ElementuNeutralnego;3-łącznośćDzialania;

4-IstnienieLelemenOdwrot;5-przemiennosc

FunkcjaPodloga

x nalez R l,x,l=max{n:n<=x^nЄC}

FunkcjaSufit

x nalez R l`x`l=min{n:n>=x^nЄC}

RelacjaBinarna'R'OkreslonaNaZbiorze'S'JestTo RCSxSgdzie(x,y)ЄR xRy np.33mod6=3;15mod6=3

^x xRx - zwrotnosc

~^x xRx - niezwrotnosc

^x ~xRx - przeciw zwrotne

^x,y xRy=>yRx - symetria

^x,y (xRy=>~(yRx)) - przeciw-symetria

^x,y xRy ^ yRx => x=y asymetria

^x,y,z (xRy^yRz)=>xRz - przechodnosc

^x,y xRy v yRx v x=y - spójność

OblWspolczynnikiFunkcjiTworzacej

(∑∞n=0 zn)( ∑∞n=0 nzn)

(z0+z1+z2+...)(0*z0+1*z1+2*z2+3*z3+...)=

0* z0+(0+1)*z1+(0+1+2)*z2+...

∑∞n=0 zn (0+1+..+n)

^ _(0+n)_ *(n+1)

2

∑∞n=0 ((n+1)n)/2 *zn

zn=z0*nzn + z1*zn-1 +...+ zn* z0

(n + n-1 +...+0)* zn

CzyZbiorA={x:xnalezR^0<x<=1)zOperacjaMnożeniaJestGrupą?NIEDzialanieMusiBycLaczne,posiadacElemNeutral;KazdyElemMusiMiecOdwrotnosc

Lacznosc:DlaKazdego'a,b,c'nalez'A' (a*b)c=a(b*c)

Przemiennosc:DlaKazdego'a,b,c'nalez'A'a*b=b*a

BioreDwieLiczbyZPrzedzialu.np1/2,1/4iSprCzy1/2*1/4MiesciSieWZbiorze

1-ElemNeutr cos*1=x i odwrotnie cos*x=1 JesliLiczbaPozaPrzedzialemToNieMaOdwrotnosci!

UdowodnijZe cO(f(n))=O(f(n))

0<=f(n)<=ckg(n)

i=ck no=no

SprawdźCzyPrawdziwaJestRownosc 50n²=O(n²)

PokazacZeIstnieje'No,c'TakieZe

`DlaKazdego'n>no 0<=50n²<=cn²

50n²<=cn²/n²; c>=50; c=51

0<=50n²<=51n² dla n>0; no=0

SprawdźCzyPrawdziwaJestRownosc 5nn+2=O(5 n)

0<=5n+2<=C5n; > 5n+2<=C5n;

5n*25<=C5n /5n > 25<=C > C=26

0<=5n+2<=26*5n > 5n+2<=26*5n

5n*25<=26*5n no=2

OkreślNaZbiorzeZ15WszystkieRozwiazaniaRownania 3*15x=6

3x=6 (mod 15) /3 NWD(3,15)=3

x=2 (mod 5) x należy{0..14)

0:5=0 r0 8 :5=1 r3

1:5=0 r1 9 :5=1 r4

2:5=1 r2 10:5=2 r0

3:5=1 r3 11:5=2 r1

4:5=1 r4 12:5=2 r2

5:5=1 r0 13:5=2 r3

6:5=1 r1 14:5=2 r4

7:5=1 r2 Wynik 2, 7, 12

RelacjaPrzystawModuloP(WlasnRelacjiBinarnej)

m nalezC m≡m mod p - zwrotnosc

m,n nalezC m≡n mod p=>n≡m mod p -symetria

m,n,r m≡n(mod p)^n≡r(mod p)=>m≡r(mod p) -przechodniosc

WłasnościRelacjiRownoważnościKażdaRelacjaMającaWłasności(z),(p),(s)jestRelacjąRównoważności

m-n=k1*p; n-r=k2*p

m-r=m-n+n-r=k1*p+k2*p=(k1+k2)p=>m≡r(mod p)

[x]t={t: tЄ^t≡x(mod p)} t nzwKlasęRównowElem'x

np. p=3 [0]3={...,-18,-15,-12,...,0,2,6,...}

[1]3={...,-17,-14,-11,...,1,4,7,...}

[3]3={...,-16,-13,-10,...,2,5,8,...}

MocZbioruJestToLiczbaElemeZbioru

PrawaSumy:Niech'S'oraz'T'będą zbioramiSkoncz

JeżeliS^T=ф to |SvT|=|S|+|T|; |SvT|=|S|+|T|-|S^T|

{1,2,..,1000}

D3={x:xЄS i 3|x}; D5={x: xЄS i 5|x}

|D3|=333; |D5|=200

|D3vD5|=|D3|+|D5|-|D3^D5|=333+200-66

DefSymbol(~)tetaDlaDanejFunkcji G(n) przez (~)(G(n))notacja(~)tetaOznZbiórFunkcj:(~)(G(n))={

f(n)=(~)(g(n)fЄ(~)(g(n)) (ograniczZDoluIzGóru)

DefSymbolu'O'(o duże)oszacowanieZGóry

f(n)=O(g(n)) f(n)=(~)(g(n))=>f(n)=O(g(n))

DefSymb'Ω'(duże) oszacowanieZDolu

Symb'o'(o małe)

DefSymb'Ω'(male)

JakiElemNzwGeneratoremGrupy(S,(+))?Jeżeli (S,(+))JestGrupąToPodzbiórS1CS^S1<>0 oraz (S1,(+))JestPodgrupąTo|S1|JestPodzielnikiem|S|

KlasyRównoważWzględemRelacjiRówmnowR

Niech a,bЄC oraz pЄP p>1 wtedy:

1) (a+b)MODp=(aMODp)+p(bMODp)

2) (a*b)MODp=(aMODp)*p(bMODp)

3) (a+pb)*pc=a*pc+pb*pc

a,bЄZ => a+pbЄZp a*pbЄZp

DefFunkcjiTworzącejCiągu{Xn}n=0,1,2…

G(z)=Σ∞n=0 xn*Zn=x0+x1*Z+x2*Z2+...+xn*Zn

---