KLASYFIKACJA GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW

POLA POWIERZCHNI I OBJĘTOŚĆ GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW

Autorzy programów nauczania różnie rozdzielają treści nauczania dotyczące graniastosłupów i ostrosłupów pomiędzy poszczególne klasy.

I. ROZKŁAD TREŚCI KSZTAŁCENIA

Na podstawie własnego doświadczenia mogę stwierdzić, że najbardziej odpowiada mi następujący rozkład treści kształcenia:

SZKOŁA PODSTAWOWA

Klasa IV - PROSTOPADŁOŚCIANY - własności, kreślenie, siatki, modele, pola , objętości.

Klasa V - GRANIASTOSŁUPY - własności, kreślenie, siatki, modele, pola , objętości .

Klasa VI - OSTROSŁUPY - własności, kreślenie, siatki, modele, pola , objętości .

GIMNAZJUM

Klasa I - Przypomnienie materiału nauczania dotyczącego graniastosłupów i ostrosłupów

obowiązującego w szkole podstawowej (twierdzenie Eulera W - K + S = 2).

- Rzuty równoległe graniastosłupów i ostrosłupów.

- Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów.

- Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w graniastosłupach i ostrosłupach.

Klasa II - Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach.

- Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w graniastosłupach i ostrosłupach.

- Pola i objętości graniastosłupów i ostrosłupów podobnych.

Klasa III - Geometria w przestrzeni - lekcje powtórzeniowe.

II. KLUCZOWE TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGAJĄCE SZCZEGÓLNEJ UWAGI

Klasa IV - Wymiary prostopadłościanu.

• Kreślenie prostopadłościanów w zeszycie.

• Rysowanie siatek prostopadłościanów.

• Klejenie modeli prostopadłościanów.

• Jednostki pola i ich przeliczanie.

• Objętość i pojemność.

• Jednostki objętości i ich przeliczanie.

• Wzory na pole powierzchni i objętość prostopadłościanów.

• Rozwiązywanie zadań dotyczących prostopadłościanów.

Klasa V - Kreślenie graniastosłupów w zeszycie.

• Rysowanie siatek (szczególnie graniastosłupy pięcio- i sześciokątne).

• Klejenie modeli (szczególnie graniastosłupy pięcio- i sześciokątne).

• Graniastosłupy prawidłowe.

• Klasyfikacja graniastosłupów.

• Jednostki pola powierzchni i objętości i ich przeliczanie.

• Wzory na pole powierzchni i objętość graniastosłupów.

• Rozwiązywanie zadań dotyczących graniastosłupów.

Klasa VI - Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni.

• Pojęcie wielościanu i ostrosłupa.

• Ostrosłupy prawidłowe.

• Czworościan i czworościan foremny.

• Klasyfikacja ostrosłupów.

• Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa i wzory.

• Objętość ostrosłupa i wzory (wyprowadzenie wzorów: 1- graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości, 2- model sześcianu złożonego z trzech ostrosłupów, 3- sześcian z dachem).

Klasa I - Rzuty równoległe graniastosłupów i ostrosłupów.

• Dowolne przekroje graniastosłupów i ostrosłupów.

• Kształcenie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących graniastosłupów i ostrosłupów z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

Klasa II - Kształcenie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących graniastosłupów i ostrosłupów

z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Talesa.

Klasa III - Kształcenie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących graniastosłupów i ostrosłupów

z wykorzystaniem wiedzy i umiejętności, które powinien uczeń III klasy gimnazjum

powinien posiadać.

III. PRZYDATNE POMOCE DYDAKTYCZNE

• Modele brył geometrycznych pełne nieprzezroczyste

• Modele brył geometrycznych pełne przezroczyste z przekątnymi i przekrojami

• Szkieletowe modele brył geometrycznych

• Siatki figur przestrzennych

• Model 1 dm³

• Tablica - jednostki pola powierzchni

• Tablica - jednostki objętości

• Tablica - klasyfikacja figur przestrzennych,

• Foliogramy

• Rzutnik foliogramów + biały ekran

• Graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości

• Model sześcianu zbudowanego z trzech lub sześciu ostrosłupów

• Model sześcianu z piramidokształtnym dachem

• Zestaw komputerowy

• Programy komputerowe

• Prezentacje multimedialne

IV. METODY AKTYWIZUJĄCE

1. Praca przy komputerze z wykorzystaniem programu graficznego do rysowania figur geometrycznych.

2. Praca w grupach - opis własności figur geometrycznych, porównywanie własności grup figur.

3. Praca ćwiczeniowa - samodzielne kreślenie figur geometrycznych w zeszycie.

4. Metoda problemowa - nauczyciel stawia pytanie lub problem, uczeń próbuje odpowiedzieć na pytanie

lub stara się rozwiązać problem. Nauczyciel naprowadza, radzi.

V. CIEKAWE ZADANIA I SPOSOBY ICH ROZWIĄZANIA

1. Łączna liczba wierzchołków, ścian i krawędzi pewnego ostrosłupa wynosi 62. Jaki wielokąt jest

jego podstawą? (Matematyka-2001 - dalej w skrócie M-2001).

2. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, zawierający przekątną podstawy i wierzchołek

ostrosłupa, jest trójkątem równoramiennym, o polu równym 3
i kącie przy podstawie 30⁰. Oblicz

objętość ostrosłupa. (M-2001).

3. Jaką długość ma krawędź sześcianu o objętości dwa razy większej od objętości sześcianu o krawędzi

równej 20 cm. (M-2001).

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy wynosi 26 cm, kąt miedzy ściana boczną

i podstawą ma 60⁰. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. (M-2001).

5. Która bryła ma większą objętość: ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy równej 10 cm

i kącie nachylenia ściany bocznej do podstawy wynoszącym 30⁰ czy graniastosłup prawidłowy

czworokątny, w którym przekątna ściany bocznej o długości 10 cm jest nachylona do krawędzi

podstawy pod kątem 30⁰? Jaka jest różnica objętości tych brył? (M-2001).

6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie są równe. Oblicz pole powierzchni

całkowitej i objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że suma długości jego krawędzi wynosi 128 cm.

7. Pole powierzchni sześcianu wynosi 216 cm². Podaj jego objętość. (M-2001).

8. Krawędź ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 10 cm, a przekątna podstawy

ma długość 12 cm. Oblicz wysokość ostrosłupa, długość krawędzi podstawy i objętość tego ostrosłupa.

(M-2001).

9. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wyznaczono trójkątny przekrój utworzony

przez przekątną podstawy oraz dwie przekątne ścian bocznych. Oblicz długość boków

tego przekroju, jeżeli długość krawędzi podstawy ma 2 cm, a wysokość ma 8 cm. (M-2001).

10. Oblicz pole powierzchni i objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości 12 cm. (Kalina i in.-

- Przewodnik po matematyce. Geometria).

VI. ZDANIA O TEMATYCE REALISTYCZNEJ

1. Z narożników arkusza blachy o wymiarach 70 cm x 80 cm wycięto kwadraty o bokach 10 cm,

a następnie zagięto wystające prostokąty tak, aby powstało otwarte pudełko. Jaka jest jego objętość?

Wynik podaj w litrach. (M-2001).

2. Z sześciu kostek sześciennych o krawędzi 2 cm złożono prostopadłościan, którego przekątna

ma długość 2
cm. Znajdź pole powierzchni tego prostopadłościanu. (M-2001).

3. Piramida Cheopsa jest w przybliżeniu ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Wysokość piramidy

wynosi 147 m, a krawędź jej podstawy osiąga długość 230 m. Oblicz długość krawędzi bocznej

tej piramidy. Jak długi mur o wymiarach 50 cm x 2 m można zbudować z materiału, z którego

wykonano piramidę? (M-2001)

4. Wykopano rów długości 1 km i głębokości 1 m. Przekrój tego rowu jest trapezem równoramiennym

o podstawach 3 m i 2 m . Ile metrów sześciennych ziemi wywieziono z wykopu. (M-2001).

5. Masa 1 dm³ drewna sosnowego wynosi 0,8 kg. Jaką masę ma deska sosnowa o długości 4,5 m,

szerokości 2,4 dm i grubości 4 cm? (Kalina i in. - Przewodnik po matematyce. Geometria).

6. Kostka masła w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 10 cm x 8 cm x 4 cm rozdzielono na małe

porcje w ten sposób, że długość każdej krawędzi podzielono na cztery równe części i pocięto tworząc

małe prostopadłościany. Oblicz objętość porcji masła. Ile takich porcji otrzymano z jednej kostki

masła? (Kalina i in. - Przewodnik po matematyce. Geometria).

7. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratu wlano 150 litrów wody zapełniając

¾ jego objętości. Jaka jest krawędź podstawy naczynia, jeżeli jego wysokość wynosi 80 cm?

(G. Mysłowska, Państwowe Liceum Sztuk Plastycznych w Olsztynie).

8. Ile litrów wody należy wlać do basenu o wymiarach: 25 m x 10 m x 3 m. (G. Mysłowska, Państwowe

Liceum Sztuk Plastycznych w Olsztynie).

9. Na działkę w kształcie prostokąta o wymiarach: 10 m x 15 m należy przywieźć nową ziemię, której

warstwa na powierzchni całej działki ma mieć 20 cm grubości. Ile m³ ziemi potrzeba? (G. Mysłowska,

Państwowe Liceum Sztuk Plastycznych w Olsztynie).

10. Jaka jest kubatura pracowni matematycznej o wymiarach: 3,5 m x 10 m x 5 m? Ile m³ tlenu znajduje

się w tej pracowni? Oblicz, na ile czasu wystarczy powietrza do oddychania, jeżeli w klasie przebywa

25 uczniów. Tlen stanowi 21% objętości powietrza. Jeden człowiek zużywa 0,2 m³ tlenu w ciągu

1 godziny. (G. Mysłowska, Państwowe Liceum Sztuk Plastycznych w Olsztynie).

VII. Klasyfikacja figur przestrzennych - tablice poglądowe

1. Klasyfikacja figur przestrzennych z wyróżnieniem wielościanów.

2. Klasyfikacja wielościanów w innym ujęciu.

3. Klasyfikacja graniastosłupów.

4. Klasyfikacja ostrosłupów.

Antoni Pawlukowski

3

---