Całka Podwójna-Jeżeli dla dowolnego ciągu podziałów pN obszaru D takiego, że ro(pN)->0 i przy dowolnym wyborze punktów) pośrednich istnieje skończona granica odp sum całkowych to nazywamy ją cał podówj z f na D. Tw o zamianie zmiennych w cał podwójnej: Jeżeli 1. funkcja fxy jest ciągła na ob. D 2. Przekształcenie Ψ(uv)=x(uv)y(uv) odwzorowuje regularny obszar delta na D przy czym wnętrze obszaru delta jest odwzorowane wzajemnie jednoznacznie na wnętrze ob. D 3.Funkcje x(uv) i y(uv) są klasy C1 przy czym jakobian przekształcenia Ψ jest różny od zera wewnątrz delta to(ogólne z jakobianem).Krzywa Płaska Niech x,y:[alfa beta]->R będą dwiema funkcjami ciągłymi. Zbiór T={(x(t),y(t)) Tc[alfabeta]} nazywamy k płas a przekształcenie Ψ(t)= (x(t),y(t)) jej parametryzacją. Jeżeli dla zb T istnieje param Ψ spełniająca dod warunki 1. Ψ jest przekształceniem różnowartościowym 2. funkcje x(t) y(t) są klasy C1 na [Ab]/są ciągłe 3. pochodne tych funkcji nie zerują się jednocześnie to T łuk gładki /a ponadto T da się przedstawić jako suma skończonej ilości łuków gładkich to T krzywa kawałkami głądka. Cał krzywoliniowa nieskier Jeżeli dla dowolnego ciągu podziałów takiego że ciąg średnic dąży do ) i przy dowolnym wyborze pkt pośrednich ciąg odpowiadających sum dąży do granicy S wówczas nazwiemy ją cał nieskier z f po krzywej K.War wyst istnienia całki krzyw nieskier Jeżeli f jest ciągłą a krzywa K ma skończoną dłogość wówczas całka istnieje. Cał krzyw skierowana Jeżeli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów Pm i przy dowolnym wyborze punktów pośrednich istnieje skończona granica ciągu Sm określonych sum to liczbę nazywamy cał krzyw skier pary funkcji P i Q. Warunek wyst istnienia całk krzyw skier ciągłość funkcji P i Q. Tw Greena Jeżeli funkcje P i Q oraz ich pochodne cząst Py i Qx są ciągłe na ob. D normalnym względem obu osi a brzegiem D jest skierowana dodatnio krzywa kawałkami gładka to(wzór). Niech P i Q ciągłe na D. Warun koniecz i dostat na to by całka cał AB Pdx + Qdy nie zależała od drogi cał jest, aby istniała taka F:D->R że dla każdego pkt(x0,y0)cD f liniowa P(x0,y0)x+Q(x0,y0)y jest różniczką zupełną F w (x0y0). Obszar D nazywamy jednospójnym jeżeli dla dowolnej krzywej zam T zawartej w D obszar ograniczony krzywą T zawierał się w D. Cał Pow nieskier Jeżli dla dowolnego ciągu podziałów którego średnice dążą do 0 i przy dowolnym wyborze pkt pośrednich istnieje gracica ciągu sum całkowych wówczas nawiemy ją cał pow siekier z f na pow S. Jeżeli każdemu pkt (xyz) pewnego ob. Przestrzennego V przyporządkujemy pewniem wektor W to powiemy że w obszarze V zostało określone pole wekt W(xyz)=Pxyz+ Q+ R-składowe pola. Pole wekt W w ob. V naz potencjalnym jeżeli istnieje taka F różniczkowalna w W że W=gradF, wówczas F nazywamy potencjałem pola. Rotacją różnicz Pola W=[P,Q,R] nazywamy pole rotW= odwróć delta X W=[R`y- Qz,Pz-Rz, Qx-Py]
RotW=0 pole bezwirowe. Gauss-Ostro Jeżeli W w ob. V jest Pol Wekt kl C1, S regular zew zorientow pow zamkniętą ogranicz obszar V to cał cał po S WoFdS=cał cał cał po V divW Dv F-jednostkowy wektor normalny do pow S