Całka podwójna

Zad.1. Wyznaczyć

granice całkowania w całce

( )

∫∫

D

dxdy

y

x

f

,

, jeśli:

1. D jest trójkątem o wierzchołkach: A(1,3) , B(

−

1,

−

1), C(2,

−

4),

2. D jest ograniczony liniami: x

−

y

=

1, x

+

y

=

1, x

≥

0,

3. D jest ograniczony krzywymi:

2

x

y

=

,

2

4

x

y

−

=

,

4. D jest ograniczony krzywymi: xy

=

6, x

+

y

=

7,

5. D jest ograniczony krzywymi: :

2

2x

y

=

,

0

4

=

−

−

y

x

.

Zad.2. Obliczyć

następujące całki:

1.

∫∫

D

xydxdy

, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x

=

0, x

=

1, y

=

0, y

=

2,

2.

(

)

∫∫

−

D

dxdy

y

x

xy

, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x

=

0, x

=

a, y

=

0, y

=

b, a, b

>

0,

3.

(

)

∫∫

+

+

D

dxdy

y

x

1

3

2

, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach: A(1,3), B(

−

1,1), C(2,

−

4),

4.

( )

∫∫

D

dxdy

xy

sin

, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x

=

0, y

=

x, y

=π,

5.

∫∫

+

D

dxdy

y

x

x

2

2

, gdzie

D – obszar ograniczony liniami:

2

2

x

y

=

,

y

=

x.

Zad.3. Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:

1.

∫∫

D

dxdy

y

x

2

3

, gdzie

D

= {

(

x, y):

4

2

2

≤

+

y

x

,

1

2

2

≥

+

y

x

,

y

≥

x

},

2.

∫∫

+

D

y

x

dxdy

e

2

2

, gdzie

D:

1

2

2

≤

+

y

x

,

x

≥

0,

y

≥

0,

3.

∫∫

+

D

dxdy

y

x

2

2

, gdzie

D – obszar ograniczony prostymi: y

=

x,

x

y

3

=

i okręgiem

1

2

2

=

+

y

x

,

4.

∫∫

−

−

D

dxdy

y

x

R

2

2

2

, gdzie D

= {

(x, y):

0

2

2

≤

−

+

Rx

y

x

, y

≤

0, R

>

0

},

5.

∫∫

+

D

dxdy

y

x

x

2

2

, gdzie

( )

{

}

0

,

0

2

:

,

2

2

≥

≤

−

+

=

x

y

y

x

y

x

D

.

Zad.4. Obliczyć

pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:

1.

x

x

y

−

=

2

,

y

=

x, 2. xy

=

4,

x

+

y

=

5,

3.

x

e

y

=

,

x

e

y

2

=

,

x

=

1, 4.

3

x

y

=

,

1

2

+

+

−

=

x

x

y

,

5.

y

=

0,

y

=

x,

0

2

2

2

=

−

+

x

y

x

, 6.

0

2

2

2

=

−

+

y

y

x

,

0

4

2

2

=

−

+

y

y

x

.

Zad.8. Obliczyć

objętość

bryły ograniczonej powierzchniami:

1.

2

2

y

x

z

+

=

, x + y = 2, x = 0, y =0, z =0, 2. z = 3x,

4

2

2

=

+

y

x

, x

≥

0,

3.

z = 10 – x – y,

4

2

2

=

+

y

x

, x = 0, y = 0, z =0, 4.

2

2

4

y

x

z

−

−

=

, z = 0,

5.

4

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

3

=

z

,

(

3

≥

z

) ,

6.

4

2

2

=

+

y

x

,

2

2

16

4

y

x

z

−

−

=

,

z

=

0.

Zad.9. Obliczyć

pole płata wyciętego walcem:

1.

x

y

x

4

2

2

=

+

z paraboloidy

2

2

2

y

x

z

+

=

,

2.

16

2

2

=

+

y

x

z półsfery

2

2

25

y

x

z

−

−

=

.