EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.
Ca lka podwójna.
1. Obliczyć ca lke podwójna w prostokacie D = {−4 ≤ x ≤ −1; −3 ≤ y ≤ −1}:
,
,
,
a) RR 1 dx dy,
b) RR
1
dx dy,
c) RR
1
√
dx dy.
xy
(x+y)2
xy
D
D
D
2. Obliczyć ca lke podwójna w obszarze ograniczonym liniami, których równania podano obok ca lki:
,
,
a) RR (x + y) dx dy; x = 0, y = 0, x + y = 1;
b) RR ex+y dx dy; x + y = 1, x − y = −1, y = 0;
D
D
c) RR (x + y + 1)2 dx dy; x = 0, x + y = 1, x − y = 1;
d) RR xy dx dy; y = x2, y = 0, x = 1;
D
D
e) RR (x + 1) dx dy; xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0;
f) RR dx dy; y = x2, y = 4 − x2;
D
D
g) RR x dx dy; y = 1 dla x > 0, y = x, y = 0, x = 2;
h) RR x dx dy; y = x2 dla x ≥ 0, y = 1 x2 dla x ≥ 0, y = 1;
x
4
D
D
i) RR xy dx dy; y = x2, y = 2 + |x|;
D
3. Obliczyć pole ograniczone liniami:
a) xy = 4, y = x, x = 4;
b) y = x2, 4y = x2, y = 4;
c) y = x2, 4y = x2, x = ±2;
d) y2 = 4 + x, x + 3y = 0;
e) y = ln x, x − y = 1, y = −1;
f) xy = 1 , xy = 2, y = x , y = 2x;
2
2
g) x2 + (y − 1)2 = 1, (x − 1)2 + y2 = 1.
4. Stosujac wspó lrzedne biegunowe, obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:
,
,
a) x2 + y2 = 1;
b) x2 + y2 = 1, y = 0 dla y ≥ 0;
c) x2 + y2 = 1, x = 0 dla x ≥ 0;
d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4;
√
e) x2 + y2 = 1, y = x, y = 0 dla x ≥ 0;
f) x2 + y2 = 1, y = x, y =
3x dla x ≤ 0;
g) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = −x dla y ≥ 0.
5. Obliczyć objetość bry ly ograniczonej powierzchniami:
,
a) z = x2 + y2, x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0;
b) z = x + y + 3, y2 = 3x, x = 3, y = 0, z = 0 (dla y > 0); c) x2 + y2 = 9, x2 + z2 = 9;
d) z2 = xy, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1;
e) z = x2 − y2, z = 0, x = 1;
f) z2 = xy, x + y = 2;
g) x + y + z = 3, x2 + y2 = 1, z = 0;
h) z = 2x, x2 + y2 = 1, z = 0;
i) z = 4 − x2 − y2, z = 0;
j) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 1 (na zewnatrz walca);
,
k) x2 + y2 − 2x = 0, x2 + y2 + z2 = 4;
l) x2 + y2 − 2y = 0, x2 + y2 = z.