Lista nr 1

EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.

Ca lka podwójna.

1. Obliczyć ca lke podwójna w prostokacie D = {−4 ≤ x ≤ −1; −3 ≤ y ≤ −1}:

,

,

,

a) RR 1 dx dy,

b) RR

1

dx dy,

c) RR

1

√

dx dy.

xy

(x+y)2

xy

D

D

D

2. Obliczyć ca lke podwójna w obszarze ograniczonym liniami, których równania podano obok ca lki:

,

,

a) RR (x + y) dx dy; x = 0, y = 0, x + y = 1;

b) RR ex+y dx dy; x + y = 1, x − y = −1, y = 0;

D

D

c) RR (x + y + 1)2 dx dy; x = 0, x + y = 1, x − y = 1;

d) RR xy dx dy; y = x2, y = 0, x = 1;

D

D

e) RR (x + 1) dx dy; xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0;

f) RR dx dy; y = x2, y = 4 − x2;

D

D

g) RR x dx dy; y = 1 dla x > 0, y = x, y = 0, x = 2;

h) RR x dx dy; y = x2 dla x ≥ 0, y = 1 x2 dla x ≥ 0, y = 1;

x

4

D

D

i) RR xy dx dy; y = x2, y = 2 + |x|;

D

3. Obliczyć pole ograniczone liniami:

a) xy = 4, y = x, x = 4;

b) y = x2, 4y = x2, y = 4;

c) y = x2, 4y = x2, x = ±2;

d) y2 = 4 + x, x + 3y = 0;

e) y = ln x, x − y = 1, y = −1;

f) xy = 1 , xy = 2, y = x , y = 2x;

2

2

g) x2 + (y − 1)2 = 1, (x − 1)2 + y2 = 1.

4. Stosujac wspó lrzedne biegunowe, obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

,

,

a) x2 + y2 = 1;

b) x2 + y2 = 1, y = 0 dla y ≥ 0;

c) x2 + y2 = 1, x = 0 dla x ≥ 0;

d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4;

√

e) x2 + y2 = 1, y = x, y = 0 dla x ≥ 0;

f) x2 + y2 = 1, y = x, y =

3x dla x ≤ 0;

g) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = −x dla y ≥ 0.

5. Obliczyć objetość bry ly ograniczonej powierzchniami:

,

a) z = x2 + y2, x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0;

b) z = x + y + 3, y2 = 3x, x = 3, y = 0, z = 0 (dla y > 0); c) x2 + y2 = 9, x2 + z2 = 9;

d) z2 = xy, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1;

e) z = x2 − y2, z = 0, x = 1;

f) z2 = xy, x + y = 2;

g) x + y + z = 3, x2 + y2 = 1, z = 0;

h) z = 2x, x2 + y2 = 1, z = 0;

i) z = 4 − x2 − y2, z = 0;

j) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 1 (na zewnatrz walca);

,

k) x2 + y2 − 2x = 0, x2 + y2 + z2 = 4;

l) x2 + y2 − 2y = 0, x2 + y2 = z.