Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

CAŠKA PODWÓJNA - zadania

Zadanie 1. Obliczy¢ caªki:

1)

2

Z

0





3

Z

0

x

2

+ 2xy

dy





dx

,

2)

1

Z

0

dx

1

Z

0

x

2

y

e

xy

dy

.

Zadanie 2. Zmieni¢ kolejno±¢ caªkowania:

1)

0

Z

−1





−4x

Z

0

f (x, y)dy





dx

,

2)

3

Z

2

dx

2x

Z

x

f (x, y)dy

,

3)

1

Z

0






√

2x−x

2

Z

0

f (x, y)dy






dx

,

4)

1

Z

0

dy

√

y

Z

y

f (x, y)dx

.

Zadanie 3. Obliczy¢ caªki podwójne:
1)

Z Z

D

x sin(xy)dxdy

, gdzie D = {(x, y) : 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 1},

2)

Z Z

D

6x

2

e

y

2

dxdy

, gdzie D jest trójk¡tem ABC, A = (0, 0), B = (0, 4), C = (4, 4),

3)

Z Z

D

(x + y)dxdy

, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0,

4)

Z Z

D

y

2

p

R

2

− x

2

dxdy

, gdzie D jest koªem o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu R,

5)

Z Z

D

sgn(x

2

− y

2

+ 2) dxdy

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

6 4}, a funkcja sgnx =







−1,

dla x < 0

0,

dla x = 0

1,

dla x > 0

,

6)

Z Z

D

p|y − x

2

| dxdy

, gdzie D = {(x, y) : |x| 6 1, 0 6 y 6 2}.

Zadanie 4. Dokonuj¡c odpowiedniej zmiany zmiennych obliczy¢ caªki:
1)

Z Z

D

e

x

2

+y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

6 1},

2)

Z Z

D

ln(x

2

+ y

2

)

x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : 1 6 x

2

+ y

2

6 e

2

}

,

3)

Z Z

D

p

4 − x

2

− y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

− 2x 6 0},

4)

Z Z

D

xy dxdy

, gdzie D =



(x, y) :

(x − 3)

2

9

+

(y − 5)

2

25

6 1



,

5)

Z Z

D

xy

3

dxdy

, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami: xy = 1, xy = 2, y − x = 0, y − 2x = 0,

6)

Z Z

D

(x + y + 2) dxdy

, gdzie D jest koªem o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu 1,

7)

Z Z

D

cos(x

2

+ y

2

) dxdy

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

6 1},

8)

Z Z

D

p

x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D jest koªem o ±rodku w punkcie (1, 0) i promieniu 1,

1

9)

2

Z

0

dx

√

4−x

2

Z

0

ln 1 + x

2

+ y

2

dy

,

10)

Z Z

D

arctg

y

x

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : 4 6 x

2

+ y

2

6 16, −x 6 y 6 x, x > 0},

11)

Z Z

D

s

1 − x

2

− y

2

1 + x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

6 1, y > 0, x > 0},

12)

Z Z

D

sin

p

x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : π

2

6 x

2

+ y

2

6 4π

2

}

,

13)

Z Z

D

(x + y) dxdy

, gdzie D obszar ograniczony krzyw¡ x

2

+ y

2

= x + y

,

14)

Z Z

D

r

1 −

x

2

a

2

−

y

2

b

2

dxdy

, gdzie D obszar ograniczony krzyw¡

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

,

15)

Z Z

D

p

x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D = {(x, y) : 0 6 x 6 2, x 6 y 6

√

3x}

,

16)

Z Z

D

(x + y) dxdy

, gdzie D obszar ograniczony liniami xy = 1, xy = 2, x − y + 1 = 0, x − y − 1 = 0.

Zadanie 5. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami/powierzchni¡ (lub okre±lonej warunkami):

1) y = x

2

, z = x

2

+ y

2

, y = 1 i z = 0,

2) z = 3 − x

2

− y

2

, x

2

+ y

2

= 3

,

3) x

2

+ y

2

+ z

2

= 1

, z = 0,

4)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

, a, b, c > 0,

5) z

2

= x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= 2x

, z = 0,

6) x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z − 1 = 0,

7) y =

√

x

, y = 2

√

x

, z = 0, x + z = 1,

8) x

2

+ y

2

= 1

, x

2

+ z

2

= 1

,

9) x

2

+ y

2

+ z

2

= 1

, x

2

+ y

2

+ 2z = 1

,

10) x

2

+ y

2

+ z

2

= 2az

, x

2

+ y

2

6 z

2

, a > 0,

11) 2z = x

2

+ y

2

, z = px

2

+ y

2

,

12) x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a, a(z − a) = xy, z > 0, a > 0,

13) z = 1 + x + y, z = 0, x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0,

14) x + y + z = a, z = 0, x = 0, y = 0, x

2

+ y

2

> 1,

15) z = x + y, z = x

2

+ y

2

,

16)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

,

x

2

a

2

+

y

2

b

2

6

z

2

c

2

, z > 0, a, b, c > 0,

17)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= −1

,

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

, a, b, c > 0,

18)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

z

c

,

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

x

a

+

y

b

, z = 0, a, b, c > 0.

Zadanie 6. Obliczy¢ obj¦to±ci obu cz¦±ci, na które zostanie podzielona kula x

2

+ y

2

+ z

2

6 a

2

, gdy przetniemy

j¡ powierzchni¡ sto»ka z

2

= x

2

+ y

2

.

Zadanie 7. Obliczy¢ pole obszaru D ograniczonego liniami:

1) y = 0, y = x, x

2

+ y

2

− 2x = 0

,

2) y = 3, y = x

2

− 1

,

3) xy = 1, xy = 2, y − x = 0, y − 2x = 0,

4) x + y = 1, x + y = 3, y =

1
2

x

, y = 2x,

5) xy = a

2

, xy = 2a

2

, y = x, y = 2x, dla x, y > 0,

6)

r x

a

+

r y

b

= 1

,

r x

a

+

r y

b

= 2

,

x

a

=

y

b

, 4

x

a

=

y

b

, dla a, b > 0.

2

Zadanie 8. Obliczy¢ pole gury ograniczonej lini¡:
1)

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

, a, b > 0,

2) x

2

+ y

2

3
2

= 2xy.

Zadanie 9. Obliczy¢ pole powierzchni kuli o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu r.

Zadanie 10. Obliczy¢ pole powierzchni elipsoidy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

, a, b, c > 0.

Zadanie 11. Obliczy¢ pole cz¦±ci powierzchni kulistej x

2

+ y

2

+ z

2

= r

2

wyci¦tej walcem x

2

+ y

2

= rx

, r > 0.

Zadanie 12. Obliczy¢ pole pªata powierzchni paraboloidy z = x

2

+ y

2

wyci¦tego walcem x

2

+ y

2

= 4

.

Zadanie 13. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy i pole jej powierzchni cz¦±ci sto»ka y

2

+ z

2

= x

2

wyci¦tego walcem

x

2

+ y

2

= R

2

.

Zadanie 14. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci pªytki materialnej jednorodnej o g¦sto±ci powierzch-
niowej ρ(x, y) = 1 i ograniczonej parabol¡ y =

x

2

4

i prost¡ y = 2.

Zadanie 15. Wyznaczy¢ moment bezwªadno±ci kwadratu D o boku a i g¦sto±ci ρ(x, y) = y wzgl¦dem jednego

z wierzchoªków tego kwadratu.

Zadanie 16. Wyznaczy¢ moment statyczny póªkola o promieniu r i g¦sto±ci ρ(x, y) = 1 wzgl¦dem ±rednicy.

Zadanie 17. Obliczy¢ caªk¦ Gaussa

∞

Z

0

e

−x

2

dx

.

3