Wydział: MT data: 28.03.2008

Kierunek: ZiIP godz. 17⁰⁰

Grupa: 2

Ćwiczenie: C

LABOATORIUM MECHANIKI OGÓLNEJ

Temat: Macierzowa analiza sił

w prętach kratownicy płaskiej

SEKCJA 3 :

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem rachunku macierzowego do określania sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej.

2. Podstawy teoretyczne

Kratownicą statycznie wyznaczalną nazywa się kratownicę, w której liczba niewiadomych sił w prętach reakcji podporowych jest równa liczbie równań równowagi.

Dla kratownicy posiadającej m węzłów oraz n prętów możemy napisać 2m równań równowagi odpowiadających rzutom sił na osie układu współrzędnych. Taki układ równań możemy zapisać również w postaci macierzowej :

P = - A∗S ;

gdzie :

P - macierz kolumnowa składowych sił zewnętrznych przyłożonych

w więzach zawierających niewiadome podporowe

A - macierz współczynników równań równowagi więzów

S - macierz kolumnowa sił wewnętrznych.

Istota macierzowej metody wyznaczania sił w prętach kratownicy płaskiej polega więc na automatycznym generowaniu równań równowagi wszystkich węzłów kratownicy i zapisaniu ich w postaci macierzowej. Równania te umożliwiają wyznaczenie sił we wszystkich n prętach oraz wyznaczenie 3 niewiadomych reakcji podporowych. Kluczem do tej metody jest macierz A, której struktura zależy od postaci konstrukcyjnej analizowanej kratownicy.

II. 1. Budowa macierzy połączeń

Macierz połączeń zawiera konfigurację kratownicy, tzn. zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów w poszczególnych węzłach. Obliczenia rozpoczynamy od ponumerowania w dowolnej kolejności węzłów i prętów kratownicy. Przyjmujemy, że początkiem pręta jest węzeł o niższym numerze. Następnie budujemy macierz połączeń węzłów :

K = [ k_ij]; i= 1,2,...m; j= 1,2,...,n.

gdzie : m - liczba węzłów;

n - liczba prętów;

i - numer węzła;

j - numer pręta.

Wiersze macierzy A odpowiadają węzłom, a kolumny prętom. W każdej kolumnie znajdują się tylko dwa niezerowe elementy:

"1" - w wierszu o numerze równym numerowi węzła, który jest

początkiem pręta,

"-1" - w wierszu odpowiadającym końcowi pręta.

II.2. Budowa macierzy współrzędnych węzłów

Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych. Dla uproszczenia zapisu osie układu oznaczymy jako 1 i 2 miejsce x i y. Macierz współrzędnych więzów ma postać :

X = [x_ij]; i = 1,2,...m; j= 1,2.

Wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym węzłom kratownicy, natomiast kolumny współrzędnym węzłów względem osi 1 i 2.

II.3. Budowa macierzy cosinusów kierunkowych

W macierzy tej zapisane są cosinusy kierunkowe poszczególnych prętów kratownicy, a co za tym idzie, poszczególnych sił wewnętrznych. Zbudowanie tej macierzy wymaga określenia składowych długości prętów w przyjętym układzie współrzędnych oraz wyznaczenie ich całkowitej długości. Na tej podstawie możemy dopiero określić cosinusy nachylenia poszczególnych prętów kratownicy do osi układu współrzędnych.

Macierz składowych długości prętów :

D = [d_ij]; i = 1,2,...n; j = 1,2.

oblicza się z równania

D = -K^TX

Macierz cosinusów kierunkowych ma postać

C = [c_ij]

Wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym prętom kratownicy, natomiast kolumny cosinusom kątów nachylenia prętów do osi1 i 2 układu współrzędnych.

II.4. Budowa macierzy sił zewnętrznych

Zakładamy, że w węzłach kratownicy przyłożone są siły zewnętrzne, których składowe są elementami macierzy P.

Między macierzami sił zewnętrznych P i wewnętrznych S zachodzi związek wynikający z równowagi więzów

P = - A*S

II.5. Budowa macierzy współczynników równań równowagi węzłów

Macierz A powstaje z macierzy K przez podstawienie w miejsce elementów:

"1" - odpowiednich wierzy macierzy cosinusów kierunkowych z macierzy

C, odpowiadających poszczególnym prętom kratownicy,

"-1" - jw., ale ze znakiem przeciwnym,

"0" - dwuelementowego wektora zerowego.

Wyznaczenie sił wewnętrznych wymaga wyeliminowania z macierzy A wierszy, a z macierzy kolumnowej P elementów odpowiadających warunkom podparcia. Po rozwiązaniu takiego uproszczonego układu równań wyznaczymy siły wewnętrzne w prętach kratownicy. Wartość dodatnia siły oznacza, że pręt jest rozciągany, ujemna - ściskany.

Znając wartości tych sił i korzystając z odrzuconych równań zawierających składowe reakcji możemy wyznaczyć reakcje w podporach.

3. Wyniki

• Macierz połączeń:

	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
		0 0 0 0 0	1 0 0 0 0	1 0 0 0 -1	0 1 0 0 -1	0 1 0 -1 0	0 0 1 -1 0	0 0 0 1 -1	0 0 0 0 1	-1 0 0 0 0	1 -1 0 0 0	0 1 -1 0 0
S =
-1	-1	0	0	0	0	0	-1	0	0	0

• Macierz składowych długości prętów

	1	2
	-1	2
	1	2
	-1	2
	1	2
D =	-1	2
	-2	0
	-2	0
	2	0
	2	0
	2	0

• Wektor długości prętów

L =

2,361

2,361

2,361

2,361

2,361

2,361

2

2

2

2

2

• Macierz kosinusów kierunkowych

	0,4	0,9
	-0,4	0,9
	0,4	0,9
	-0,4	0,9
	0,4	0,9
C =	-0,4	0,9
	-1	0
	-1	0
	1	0
	1	0
	1	0

4. Wnioski i spostrzeżenia

Za pomocą macierzowej analizy kratownic można łatwo i skutecznie rozwiązać każdą kratownicę statycznie wyznaczalną. Program używany podczas ćwiczenia stanowi doskonałą pomoc przy rozwiązywaniu tego typu zagadnień.

Dla obu kratownic macierz połączeń S nie zmieniła się, co jest zrozumiałe, ponieważ nie nastąpiły zmiany konstrukcji kratownicy, a jedynie zmieniło się miejsce przyłożenia siły zewnętrznej.

Wyżej wymieniona zmiana przyłożenia siły zewnętrznej spowodowała, że zmienił się rozkład naprężeń w kratownicy. Nie zmienił się jedynie rozkład sił z prawej strony kratownicy oraz wartość reakcji w podporze przesuwnej.

Minus przed wartością naprężenia oznacza, że pręt jest ściskany.

---