1.Reg. Pappusa-Guldina

Powierzchnia zakreślona przez obrót odcinka linii płaskiej dookoła osi leżącej na płaszczy żnie tej linii i nie przecinającej jej równa się iloczynowi długości jej i drogi jaką opisuje przy obrocie środek masy tej linii. P=2pixcL

Objętość bryły zatoczonej przez obrót figury płaskiej dookoła osi leżącej na płaszczyźnie figury i nie przecinającej jej równa się iloczynowi powierzchni figury i długości drogi jaką opisuje środek masy figury V=2pixcP(powierz)

2 Skrętnik oś centralna

Układ złożony z wektora głównego i składowej momentu głównego leżącej na linii działania wektora głównego -skrętnik.

Prosta względem której punktów momenty główne są do niej równoległe nazywa się osią skrętnika. Linia działania wektora głównego i składowej momentu głównego

23Centroidy

Miejscem geometrycznym kolejnych położeń chwilowych środków obrotu ciała poruszającego się ruchem płaskim na płaszczyźnie nieruchomej jest krzywa płaska- centroida stała.

M.g.k.p.ś.o. na płaszczyźnie ruchomej poruszającej się wraz z bryłą jest krzywa płaska- centroida ruchoma (r lin ch ś ob)

Podczas r. płaskiego c. ruch. toczy się bez poślizgu po c. stał.

6Prawo zmienności energii p m

Różniczka energii kinetycznej punktu materialnego jest równa elementarnej pracy siły działającej na ten punkt dEk=d'L

Przyrost energii kinetycznej poruszającego się punktu równy jest pracy siły działającej na ten punkt na drodze jaką ten punkt przebył EkB-EkA=LAB

9Redukcja dowoli przes ukł sił

Dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne możemy zastąpić siłą R przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O równą sumie geometrycznej wszystkich sił układu (wektor główny) oraz parą sił o momencie Mo równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji (moment główny).

13Prawo zmienności krętu

Pochodna krętu punktu materialnego względem danego bieguna równa jest momentowi sił działających na dany punkt względem tego bieguna K=Mo(F)=r?F

Kręt punktu materialnego względem bieguna jest stały jeżeli moment sił działający na punkt względem tego bieguna jest równy zeru Mo(F)=0 Ko=C

17Elipsoida bezwładności

Elipsoidę będącym miejscem geometrycznym końców odcinków odwrotnie proporcjonalnych do ramion bezwładności ciała względem prostych przechodzących przez dany punkt O nazywamy elipsoidą bezwładności ciała dla punktu O

20Red ukł sił do wypadkowej

W przypadku gdy suma geometryczna układu sił P1,P2,..,Pn działających w jednej płaszczy-żnie na ciało sztywne różna jest od zera układ zastąpić możemy jedną siłą wypadkową równą wektorowi głównemu R. Jeżeli suma geometryczna jest równa zeru to układ sił może (ale nie musi) redukować się do pary której wektor jest prostopadły do płaszczyzny działania sił.

Równanie linii działania wypadkowej wyznacza się z warunku że moment wypadkowej względem początku układu równa się momentowi głównemu Mo równemu sumie momentów danych sił względem początku układu współrzędnych rw # W = Mo

10Prę i przys pkt we wsp bieg

Położenie punktu M we współrzędnych biegunowych określa-my za pomocą promienia wodzącego r i kąta jaki tworzy on ze stałym kierunkiem.

Prędkość punktu M jest pochodną względem czasu promienia- wektora r v=dr/dt=

Przyspieszenie p jest pochodną względem czasu prędkości v

24Aksoidy bryły w r. pł. rys

Chwilowym środkom obrotów płaszczyzny ruchomej odpowiadają osie obrotów chwilowych brył które są prostopadłe w punktach krzywej- centroidy ruchomej do ruchomej płaszczyzny . Osie te tworzą w układzie ruchomym powierzchnię walcową- aksoidę ruchomą.

Proste prostopadłe w punktach krzywej-centroidy stałej do płaszczyzny stałej utworzą w przestrzeni nieruchomej powierzchnię walcow --> [Author:LŁ] ą- aksoidę stałą.

W każdej chwili jedna z tworzących aksoidy ruchomej układu sztywnego poruszającego się ruchem płaskim pokrywa się z odpowiednia tworząca aksoidy stałej. Tworząca ta jest w tej chwili osią obrotu chwilowego układu. W r. płaskim układu sztywnego aks. ruchoma toczy się bez poślizgu po aks. stałej.

38Aksjomaty mech klasycznej

1Jeżeli na ciało nie działa żadna siła to ten punkt porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (może być bezruch).

2Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost proporcjonalne do siły działającej na punkt. Współczynnikiem proporcjonalności jest masa p=F/m

3Dwa punkty materialne oddziaływają na siebie siłami które są równe co do wartości, przeciwnie skierowane i leża na linii łączącej te punkty.

Przestrzeń jest jednorodna gdy odcinek umieszczony w każdym miejscu tej przestrzeni ma tą samą długość.

Przestrzeń jest izotropowa gdy właściwości przestrzeni nie zależą od kierunku.

Przestrzeń jest anizotropowa gdy właściwości zmieniają się w zależności od kierunku (ruch w jedną stronę jest trudniejszy niż w drugą).

4Czas jest jednorodny.

27Środki geom,masy,ciężkości

Środek masy-punkt mający tę właściwość że wektor wodzący tego punktu pomnożony przez masę układu równa się sumie iloczynów wektorów wodzących wszystkich punktów układów pomnożonych przez ich masy.

Na układ lub ciało znajdujące się w polu przyciągania Ziemi działają siły ciążenia punktów układu lub ciała. Siły te zastępu-jemy wypadkową siłą ciężkości. Przy założeniu że wymiary układu są małe w stosunku do wymiarów Ziemi można siły ciężkości punktów układu uważać za równoległe. W takim razie możemy wyznaczyć środek równoległych sił ciężkości. Punkt ten to środek ciężkości ciała lub układu. W punkcie tym można przyłożyć wypadkową siłę ciężkości układu. Na położenie tego punk-tu nie wpływa obrót układu lub ciała.

Gdy układ o małych rozmiarach- siły ciężkości punktów zależą tylko od ich mas a pomijalne są różnice przyspieszenia ziemski-ego wynikające z różnych odległości punktów układu od środka Ziemi.

W warunkach ziemskich występuje więc pokrywanie się położeń środka masy i środka ciężkości. Istnieje jednak zasadnicza różnica między tymi pojęciami. Pojęcie środka masy ma sens niezależnie od działających sił oraz rozmiarów układu. Pojęcie położenia środka ciężkości przestaje być ścisłe przy dużych rozmiarach układu a w przestrzeni pozbawionej ciążenia traci sens.

32Stożek tarcia rys

Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe położenia reakcji ciał chropowatych odpowiadające różnym kierunkom działania siły stycznej P otrzymamy jako miejsce geometryczne wektorów R stożek którego osią jest prosta działania reakcji normalnej N a którego tworząca zawiera z osią kąt tarcia .Stożek ten to stożek tarcia. W przypadku ciał izotropowych tarcie nie zależy od kierunku działania siły T stożek ten jest stożkiem kołowym, dla ciał anizotropowych stożek ma podstawę eliptyczną.

33Ciało kuliste

Ciało kuliste-ciało którego elipsoidą bezwładności jest kula. Wszystkie proste przechodzące przez środek masy są osiami głównymi (kula, jednorodny sześcian). Dla tego ciała wszystkie momenty bezwładności są jednakowe.

42Kąty Eulera rys

Kąty Eulera określają położenie układu osi związanego z ciałem sztywnym względem układu x,y,z. Kątami Eulera są:

kąt obrotu właściwego -utworzony przez linię węzłów (prosta powstała z przecięcia płaszczyzny AXY z A ) A i oś

kąt precesji -utworzony przez oś X i linię węzłów A

kąt nutacji -utworzony przez osie Z i

39Prawo zmienności pędu p m

Pochodna pędu punktu materialnego równa jest sile działającej na ten punkt 1B'=F 2B=mv

Rzutując równanie 1 na osie układu współrzędnych otrzymujemy trzy równania skalarne:

Bx'=d/dt(mx')=Fx y i z

Przyrost pędu p.m. równy jest elementarnemu impulsowi siły działającej na ten punkt dB=dI=Fdt

Pęd p.m. na który nie działają żadne siły jest stały F=0 ,B=C

Prawo pędu w postaci różniczkowej 1 może służyć do układania równań różniczkowych ruchu na równi z II prawem Newtona. W przypadku siły stałej prawo pędu pozwala na szybkie rozwiązanie pewnych zadań dynamiki bez konieczności pełnego rozwiązywania równań ruchu. Prawo pędu jest wtedy określone równaniami wiążącymi ze sobą prędkości początkowe i końcową wartość siły oraz przedział czasu.

47Ruch post płas obrót śrub

Ruch postępowy- szczególny przypadek ruchu bryły taki, że wartości wszystkich kątów są stałe (osie zachowują swoje kierunki w czasie ruchu).Każdy odcinek łączący dwa punkty bryły zachowuje stale położenie równoległe do pierwotnego.(tłok)

Ruch kulisty- ruch bryły przy którym jeden z punktów układu ruchomego związanego z bryłą jest nieruchomy.(koła stożk,bąk)

Ruch obrotowy- ruch przy którym dwa punkty bryły pozostają stale nieruchome. Wszystkie punkty prostej przeprowadzone przez te dwa punkty także pozo-staną nieruchome. Pozostałe punkty powinny zostać w stałej odległości od nieruchomej prostej a więc mogą one poruszać się po okręgach których płaszczyzny są prostopadłe do danej prostej a ich środki leżą na tej prostej.

Ruch płaski-ruch w którym odległości wszystkich jego punktów od pewnej nieruchomej płaszczyzny są stałe. Wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do danej płaszczyzny nieruchomej. Kąty precesji i nutacji są stałe zmieniać się może jedynie kąt

Ruch śrubowy-ruch bryły przy którym obraca się ona wokół nieruchomej prostej i jednocześnie przemieszcza postępowo wzdłuż tej prostej. Każdy punkt bryły porusza się po powierzchni walcowej której osią jest oś obrotu. Torem punktu jest linia śrubowa.

15Zakleszczenie

Zakleszczenie jest to zjawisko utrzymania stanu równowagi przy dowolnie dużych siłach zewnętrznych.(musi być tarcie).

Musi być odpowiednia relacja pomiędzy alfa, ni, promień

Samohamowność jest to zjawisko w którym ruchome ciało po usunięciu siły powodującej ruch utrzymane jest w równowadze tylko przez siły tarcia

Pmin=0- układ samohamowny

Pmax—nieskończoność - układ zakleszczający się

8Red pł uk sił wielobok sznur

Dowolny płaski układ sił można zastąpić przez dwie siły działające wzdłuż skrajnych boków wieloboku sznurowego. Wartości tych sił są wyrażone przez dług-ości odpowiednich promieni wieloboku sił a zwroty są takie że wektorowa suma tych sił jest równa wektorowi głównemu R. Linia działania wypadkowej W=R przechodzi przez punkt przecięcia skrajnych boków wieloboku sznurowego.

Przy redukcji płaskiego układu sił mogą występować przypadki:

1Wielobok sił nie zamyka się - układ sił redukuje się do jednej siły wypadkowej

2Wielobok sił zamyka się a wielobok sznurowy nie zamyka się- układ sił redukuje się do pary sił

3Wielobok sił i wielobok sznurowy zamykają się- układ sił znajduje się w równowadze

49Precesja regularna rys

Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała, w którym ciało obraca się wokół osi własnej z prędkością kątową a oś ta obraca się wokół osi stałej z z prędkością kątową .Kąt między osiami jest stały. W ruchu tym prędkości kątowe obrotu własnego i precesji są stałe = =const, = =const a prędkość kątowa nutacji jest równa zeru więc kąt nutacji jest stały =0, = =const

Przykładem precesji regularnej jest ruch bąka symetrycznego. Bąk wiruje z prędkością wokół osi własnej która obraca się wokół stałej osi pionowej z prędkością kątową .Osie tworzą kąt . Moment sił zewnętrznych utrzymujący ruch precesyjny jest momentem siły ciężkości bąka.

12Tarcie opasania

Tarciem opasania nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi i cięgnami taśmami sznurami pasami lub linami na nie nawiniętymi. Siły te w hamulcach taśmowych hamują wzajemny poślizg koła i taśmy natomiast w przypadku kół pasowych nie dopuszczają do wzajemnego poślizgu koła i pasa

22Ruch pod działaniem siły za

F=F(t) x''=1/mFx(t) y z}

x'=S1/mFx(t)dt+C1

x=S[S1/mFx(t)dt+C1]dt+C2

x(0)=x0, vx(0)=v0x

x=S[S1/mFx(t)dt]dt+v0xt+x0

mx''=F(x') mdv/dt=F(v) t=Sm/F(v)dv+C1 t=t(v) v=v(t)

dx=v(t)dt x=x(t) mdx/dtdv=F(v)dx|mvdv/F(v)=dx x=Smvdv/F(v)+C2 x=x(v)

18Moment bezwładnoś Steiner

Iloczyn masy punktu materialne-go i kwadratu odległości od danego punktu, prostej lub płaszczyzny nazywamy momentem bez-władności tego p.m. odpowiednio względem punktu, prostej lub płaszczyzny I=mro2

xyz-nieruchomy o osiach XYZ II do poprzednich związany z ciałem i przyłożony do jego środka masy C roi wektor określający położenie dowolnego punktu ciała względem środka masy ri- względem punktu O(xyz) ri=rc+roi Moment bezwładności ciała względem punktu O Io= Druga z całek jest =0 pierwsza =masie ciała trzecia=momentowi bezwładności ciała względem środka masy Io=Ic+mrc2

Moment bezwładności ciała względem dowolnego punktu równy jest sumie momentu względem środka masy i iloczynu masy ciała i kwadratu odległości danego punktu od środka masy

21Potencjał energ pot pola sił

Obszar przestrzeni w której na znajdujący się w nim punkt materialny działa siła nazywamy polem sił. Istnieje dla danego po-la funkcja V=V(r,t) taka że siła działająca na punkt może być określona jako gradient tej funkcji ze znakiem ujemnym F=-gradV(r,t) Funkcję V nazywamy potencjałem a pole sił polem potencjalnym. Jeżeli potencjał zależy od czasu to pole jest niestacjonarne jeśli zaś od czasu nie zależy polem stacjonarnym. Potencjał jest nazywany w tym przypadku także energią potencjalną a pole jest polem zachowawczym V=Ep=V(r)

16Prawo zmien ene w po poten

Praca sił pola przy przemieszczaniu punktu z jednego położenia w drugie równa jest różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym i nie zależy od toru po którym przemieszcza się punkt przyłożenia siły i równa jest pracy siły działającej na punkt materialny przy tym przejściu. Sumę energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego nazywamy energią mechaniczną p.m. E. Energia mechaniczna p.m. poruszającego się w polu potencjalnym ma wartość stałą.

34Promień bezwładności ciała

Promień bezwładności ciała k względem punktu, prostej lub płaszczyzny jest to odległość punktu materialnego odpowiednio od danego punktu, prostej lub płaszczyzny. Gdyby masę całego ciała zgrupować w jednym punkcie położonym w odległości k od danego punktu, prostej lub płaszczyzny to moment bezwładności takiego p.m. byłby taki sam jak moment bezwładności danego ciała

mk2=I k=pierw I/m k2=I/m=niSpoVro2dV/niV=I'/V

Wartość promienia bezwładności jest jednakowa zarówno dla ciała jednorodnego jak i dla figury geometrycznej określającej jej kształt.

19Moment dewiacji Steiner

Momentem dewiacji ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała i odległości tych elementów od danych płaszczyzn

Ixy=S po m xydm

Układ wsp XYZ o środku w środku masy ciała. Odległości płaszczyzn xyz od XYZ są równe xc, yc, zc. Całka 2 i 3 to momenty statyczne ciała względem płaszczyzn przechodzących przez środek masy są więc =0

Ixy=IXY+mxcyc Moment dew. względem dwóch płaszczyzn prostopadłych =jest sumie momentu dew wzgl płasz II do danych i przechodzących przez środek masy ciała oraz iloczynu masy skupionej w środku masy ciała i odległości odpowiednich płaszczyzn.

45Int geo skład przys w r kul

Przyspieszenie można przedstawić jako sumę 3 składowych:

pA-przysp dowolnego punktu A bryły przyjętej za początek ruchomego układu odniesienia, jednakowe dla wszystkich punktów ciała

po-przysp obrotowe skierowane prostopadle do promienia ro

pd-przysp dośrodkowe gdzie d jest wektorem prostopadłym do osi obrotu przedstawiającym odległość punktu bryły od osi obrotu.

W ruchu kulistym o środku w A składowa pA=0 i pozostają tylko składowe wynikające z ruchu kulistego

---