1.Prędkość p. w ruchu złożonym. Wzór r=r_A+ρ v=r' u=r'_A +xρ ρ'=ρ^+ρx ρ^(lokalna) v=w+u

2.Przyspieszenie unoszenia

P.U. jest to przyspieszenie złożone z przyspieszenia punktu ruchomego oraz przyspieszenia stycznego i normalnego p_U=p_A+p_UT+p_UN= p_A+ε×ρ+ω×(ω×ρ) p_A=dV_A/dt

3. Przyspieszenie Coriolisa.

P.C.jest to przyspieszenie wynikające z ruchu unoszenia p_C=2ω×w. P.C. jest równe podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej i prędkości względnej, jest prostopadłe do wektorów ω i w pc=2ωwsinϕ gdzie ϕ kąt między wektorami w i ω. Zwrot tego przyspieszenia wynika z przyjętego przez nas zwrotu, określonego przez prawoskrętny prostokątny układ współrzędnych. P.C. jest równe 0 gdy: 1.ruch unoszenia jest postępowy ω=0, 2.w pewnej chwili prędkość względna punktu jest równa 0 w=0, 3.prędkość względna punktu jest równoległa do osi obrotu układu ruchomego sinϕ=0 ωπ=0 (ruch śrubowy). P.C. występuje gdy układ unoszenia dokonuje obrotu. Występuje, gdy punkt znajduje się w początku ruchomego układu wsp. Np. ruch obrotowy ziemi powoduje powstawanie przyspieszenia coriolisa.

4. Przypadki ruchu względnego. Człowiek w jadącym tramwaju, itp.

5. Równowaga względna. Występuje, gdy siła bezwzględna jest równoważona przez siłę unoszenia. Zakładamy że punkt znajduje się w równowadze względem układu ruchomego który porusza się względem innego układu mającego cechy układu Galileusza. Równanie ruchu punktu względem układu ruchomego mpw=F-mpu-mpc w przypadku równowagi w=0 pw=0 pc=0 Równanie równowagi względnej F-mpu=0 F+F_U=0

6. Równanie dynamiki ruchu względ

Dynamiczne równania ruchu p.m. w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod warunkiem, że do siły F_B dodamy siłę unoszenia F_U= -ma_U i Coriolisa F_C= -ma_C. F_W=F+F_U+F_C mp=m.(d²r/dt)=F (pojedyncza siła lub zbiór sił)

7. Prawo zmienności pędu w postaci całkowej. Przyrost pędu układu w przeciągu pewnego czasu = sumie impulsów wektora głównego sił zew i wektora głównego reakcji w przeciągu tego czasu. B-B₀=całka (t-t₀) Sdt + całka (t-t₀) Rdt Prawo zminności pędu poawala na wyciagnięcie ogólnych wniosków dotyczących ruchu układu: dB=0 B= stała C B_X=C_X B_Y=C_Y B_Z=C_Z - rów skalarowe pędu

8. Prawo ruchu środka masy układu punktów materialnych.

Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny w którym skupiona jest masa całego ciała i do której przyłożone są siły równe wektorom głównym sił zewnętrznych i reakcji działających na dany układ. Mp_C=S+R mx''_C=∑Fix+∑Rix Prawo to upraszcza roapatrywanie ruchu układu p.m. ale zarazem nie możemy określić stosunku ruchu tych p względem środka masy.

9. Prawo zmienności pędu i krętu układu p.m.

Pochodna wektora pędu układu materialnego względem czasu równa jest sumie geometrycznej sił zewnętrznych i reakcji działających na układ dB/dt=∑Fi+∑Ri Pochodna względem czasu krętu układu materialnego względem dowolnego stałego punktu równa jest sumie momentu głównego sił zewnętrznych i momentu głównego reakcji względem tego samego punktu. dKo/dt=Mo+Ho Całka wektorowa krętu L₀+H₀=0 dK₀/dt=0 K₀=const K₀= stała C

10. Zasada energii kinetycznej u.p.m. Przyrost elementarnej E_K u.m. = sumie prac elementarnych , sił wew zew i reakcji dE_K=d'L_Z+d'L_W+d'L_R W tym przypadku praca sił wew nie = 0 co utrudnia równanie dla ciała sztywnego siły wew równoważą się i rów jest prostsze.

Gdy więzy układu są idealne to praca reakcji jest =0 równanie upraszcza się jeszcze bardziej.

11. Prawo zmienności energii u.p.m. w potencjalnym polu sił. Przyrost energii kinetycznej układu = jest spadkowi potencjału. Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest =energii całkowitej, czyli E₂+V₂=E₁+V₁ E_C2=E_C1 Energia całkowita układu w polu pot. Ma wartość stałą. Układy te nazywamy zachowawczymi.

12. Energia kinetyczna ciała sztywnego względem dowolnego punktu i środka masy. (tw. Koniga).

E=1/2 (mV²_C + I_lc²) Energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością środka masy i energii ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy. Energia kinetyczna ciała skł się więc z dwóch części. Pierwsza to energia ruchu postępowego ciała z prędkością środka masy. Jeżeli prędkość środka masy = 0, to ruch bryły jest jest chwilowym ruchem obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy. Druga część wzoru przedstawia więc energię kinetyczną w ruchu obrotowym.

13. Prawo zmienności pędu ciała sztywnego. B=mV_C Pęd ciała sztywnego równy jest iloczynowi masy ciała i prędkości środka masy. Jeżeli ruch opisany jest w układzie współrzędnych (ruchomych- nieruchomych- środka masy)to korzystając ze wzoru na prędkość możemy obliczyć wektor B ze wzoru B= m.(V_A+xρ)

14. Prawo zmienności krętu ciała sztywnego. Kręt względem punktu O może być obliczony na podstawie znanego krętu względem p. A K₀= r_AxB+K_A K_A= całka(m.)ρxVdm

15. Równania ruchu ciała sztywnego. K_A'+v_Axmv_C=M_A mv_C=B B'=S K_A'+v_AxB=M._A Wystepujące w powyższych wzorach pochodne są pochodnymi bezwzględnymi, odniesionymi do nieruchomego układu odniesienia. K_A' +xK_A+v_AxB=M_A

R.r.c.s. otrzymamy jako szczególny przypadek równań ruchu układu materialnego. Możemy je otrzymać za pomocą zasady pędu i krętu. Pochodna pędu względem czasu równa jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji a pochodna krętu względem nieruchomego punktu momentowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji. B'=S K'o=Mo B'x=Sx ...K'x=Mx...

16. Równania dynamiki ruchu postępowego bryły. Jeżeli obierzemy p A czyli początek układu ruchomego w środku masy C, wtedy jak łatwo stwierdzić kręt względem środka masy będzie równy 0. Wtedy K'=0, a z równań ruchu wynika że jest to możliwe tylko wtedy gdy moment względem środka masy jest równy 0 Tak więc rów krętu okeślają tylko war jaki musi być spełniony przez siły zew i reakcje aby ciało poruszało się ruchem postępowym. W.K ale nie dostatecznym jest to aby moment główny układu sił i reakcji względem środka masy był równy 0. d/dt (mv_CX)=S_X d/dt(mv_CY)=S_Y itd. - równania środka masy.

17. Ruch obrotowy ciała sztywnego.

Ruch obrotowy ciała sztywnego dokoła osi stałej jest ruchem o jednym sto-pniu swobody. Ruch ciała określa się jednym równaniem ruchu podającym zależność kąta obrotu od czasu. Najkorzystniej jest jako równanie to przyjąć jedno z równań krętu d/dt⋅(I⋅ω)=Ml lub Il⋅ε=Ml Il-moment bezwładności względem osi obrotu Ml-moment sił zewnętrznych i reakcji względem osi obrotu

18. Niewyrównoważenie statyczne i dynamiczne ciała sztywnego. W maszynach zawierających elementy wirujące występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska co wywołuje drgania. Dynamiczne- występują gdy środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz oś ta nie jest osią główną, ponieważ przy wykonywaniu ele nie zawsze da się to spełnić, więc każdy ele jest poddawany spr. Dodając lub odejmując masę można wpłynąć na położenie środka masy i rozkład momentów bezwładności- wyrównoważenie.

19. Reakcje dynamiczne łożysk. Jeżeli środek masy ciała leży na osi obrotu i jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla dowolnego jej punktu to reakcje dynamiczne są równe 0. Reakcje dynamiczne występują jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią główną. Do reakcji statycznych wynikających z obciążenia siłami dochodzą reakcje dynamiczne konieczne do utrzymania ciała w określonym ruchu obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian pędu i krętu ciała. Gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska. Siła ta przenosząc się na elementy fundamentu wywołuje drgania

20. Dynamika ruchu płaskiego. Jest to ruch o trzech stopniach swobody. Ciało poruszające się tym ruchem może wykonać obr dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu (przechodzącej przez śridek masy) x,y,. Są to dwa ruchy postępowe i jeden obr.

21. Dynamika toczącego się koła.

Ruch taki wykonują koła pojazdu jeżeli pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po linii prostej. Przy takim ruchu koło toczy się po jezdni obracając się jednocześnie. Koło obciążone jest siłami przekazanymi przez oś na której zostało osadzone oraz reakcjami prostej (jezdni) i własną siłą ciężkości. Przyjmujemy że siły obciążające koło przekazane przez oś z uwzględnieniem własnego ciężaru sprowadzają się do dwóch składowych pionowej P i poziomej F oraz pary sił o momencie M. Siły te przyłożone są w punkcie C. Zakładamy że punkt ten pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze strony toru (jezdni) działa na koło reakcja normalna N i siła tarcia T. Reakcja normalna ze względu na opór toczny przesunięta jest o f w kierunku ruchu a siła tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x gdyż przeciwstawia się poślizgowi koła po szynie przy wskazanym kierunku działania momentu M. Jeżeli koło toczy się bez poślizgu to między prędkością środka masy C a prędkością kątową istnieje związek rω-vc=0 czyli ω=vc/r Równania ruchu są następujące mv'c=F+T 0=N-P Iω'=M-Nf-Tr mV_C'=F+T=F+(M.-Qfr-k²F)/r²+k² k-ramię bezwładności

22. Równania ruchu pojazdów. Rów ruchu środka masy (całego pojazdu) ∑F_X=(GV_C'-∑T_i-W+F-Gsin)g=0 Rów ruchu koła: -M._Bi-M._Oi+T_ir_i-N_if_i=0 M_Bi=J_i=(Gk²V_C')/gr_i z tych wzorów obliczamy T_i=(N_if_i+M._Oi)/r_i+(Q_iV_i'k²)/gr_i podstawiając to równanie do pierwszego otrzymamy rów ruchu.

23. Dynamiczne równania Eulera dla bryły sztywnej.

A'_+(C-B)___ '_+(A-C)___ '_+(B-A)__=M._ A,B,C- rzuty krętów na główne osie bezwładności

24. Zjawisko żyroskopowe.

Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły obrotowej obracającej się szybko wokół swej osi symetrii. Oś obrotu oprócz prędkości kątowej ω1 ma jeszcze prędkość kątową ω2 wokół osi z przechodzącej przez środek masy O. Ciało wykonuje ruch kulisty i ruch ten jest precesją regularną. Dla wywołania ruchu przykładamy moment sił zewnętrznych Mo. Zakładamy że ω2 obrotu osi wirującej jest dużo mniejsza od ω1 obrotu własnego a więc kręt nie zależy od ω2 tylko od ω1 i leży na osi obrotu własnego. Żyroskop wykorzystywany jest jako wskaźnik położenia i zmian kierunku ruchu oraz do sterowania ruchem obiektów ruchomych. W tym celu zostaje on zamocowany w przegubach umożliwiających swobodny ruch żyroskopu względem obiektu ruchomego. Stosow w samolotach (sztuczny horyzont) statki (stabilizacja)

25. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja regularna.

Ruch kulisty ciała sztywnego występuje, gdy jeden z punktów układy związanego z ciałem jest nieruchomy. Ruch ten jest ruchem o trzech stopniach swobody. K'=M. (można zrzutować na osie x,y,z w układzie nieruchomym). W układzie ruchomym K'^+xK₀=M₀

Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała w którym prędkości kątowe obrotu własnego i precesji są stałe ϕ'=ω1=const ψ'=ω2=const a prędkość kątowa nutacji jest równa 0 więc kąt nutacji jest stały ϑ'=0 ϑ=ϑ0=const Ruch ten cechuje się tym że ciało obraca się wokół osi własnej ζ z prędkością kątową ω1 a oś ta obraca się wokół osi stałej z z prędkością kąt-ową ω2. Kąt między osiami jest stały. Stałe prędkości oznaczają że kąty ψ i ϕ zmieniają się w sposób jednostajny. Ruch opisany jest równaniami ruchu ϕ=ω1t ψ=ω2t ϑ=ϑ0 przy założeniu że w chwili początkowej t=0 kąty ϕ i ψ są równe 0 ω=ω1+ω2

26. Uproszczona teoria precesji regularnej - wyprowadzić wzór na moment.

27. Pojęcie więzów układu mechanicznego , ich klasyfikacja.

Układ którego punkty nie mogą zajmować dowolnych położeń i mieć dowolnych prędkości niezależnie od działających sił nazywamy nieswobodnym. Na położenie i prędkości wszystkich lub niektórych punktów układu nałożone są warunki ograniczające ich swobodę zwane więzami. Więzy określone równaniami nazywają się więzami dwustronnymi, nierównościami jedno-stronnymi. Jeżeli równanie więzów zawiera tylko współrzędne punktów to nazywamy je więzami geometrycznymi. Równania więzów mogą być także zależne od prędkości punktów (więzy kinematyczne). Oba rodzaje więzów mogą być ponadto zależne od czasu (więzy niestacjonarne). Więzy niezależne od czasu- więzy stacjonarne. Więzy całkowalne są to więzy kinematyczne które można przedstawić jako pochodną innej funkcji która jest funkcją współrzędnych i czasu. Wtedy rów więzów kinematycznych może być zastąpione równoważnym rów więzów geometrycznych. Wieży idealne- są to więzy dwustronne przy których suma prac przygotowanych i reakcji wywołanych tymi więzami na dowolnym przesunięciu przygotowanym jest równa 0.

30. Zdefiniować i podać przykłady więzów niholonomicznych.

Są to więzy kinematyczne nie całkowalne. Patrz pyt. 28

31. Określenie przemieszczenia przygotowanego i pracy przygotowanej.

Przesunięciem przygotowanym nazywamy takie dowolnie pomyślane przez obserwatora przesunięcie będące jednym z przesunięć możliwych nie związane ani z działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na punkt materialny działa siła Fi to po nadaniu punktom przesunięcia przygotowanego δri zostanie wykonana praca elementarna δLi=Fi⋅δri Pracę elementarną siły na przesunięciu przygotowanym nazywamy pracą przygotowaną. W położeniu równowagi układu suma prac przygotowanych wszystkich sił zew i reakcji = 0. Zasada ta przedstawia warunek konieczny i dostateczny równowagi układu mechanicznego. Zastosowanie- dla dowolnych układów materialnych

32. Zdefiniować przyrost przygotowany, współrzędną uogólnioną i siłę uogólnioną.

Wsp uogólnione- niezależne wsp których liczba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia układu (3n-k) Mogą to być wsp kątowe bądż liniowe. Liczba wsp uogólnionych jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia i ruchu. Min liczbę wsp potrzebną do określenia położenia układu nazywamy liczba stopni swobody S=3n-k. Siła uogólniona- wielkość która pomnożona przez przyrost przygotowany wsp uogólnionej daje wartość pracy wykonanej przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych przyrostem wsp uogólnionej Przyrost przygotowany-

33. Interpretacja geometryczna przesunięcia przygotowanego.

34. Znane zasady mechaniki analitycznej. Zasady różniczkowe i całkowe. Obszar tej mechaniki nie jest precyzyjnie określony. Oprócz omówienia zasad mechaniki do mech analitycznej zalicza się rów ruchu zapisana za pomocą rów więzów, przesunięć i prac przygotowanych. Należy więc zaliczyć do tej mechaniki rów Lagrangea i Hmiltona.

35. Zasda d'Lamberta, sformuowanie i zastosowanie.

Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0. ∑(Fi+Wi-mipi)⋅δri=0. Do badania ruchu układu swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada: Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego równo-waży się w każdej chwili z układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0. S+SB+R=0 MO+MBO+HO=0

36. Równanie Lagrangea II rodzaju

d/dt⋅∂E/∂q'j-∂E/∂qj=Qj j=1,2,...,s

Są to równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi najkrótszy sposób badania ruchu. Liczba równań różniczkowych jest przy tej metodzie najmniejsza i rów-na liczbie stopni swobody układu. W równaniach tych występuje s niewiadomych przedstawiających s współrzędnych uogólnionych określających ruch układu. Równania te nie zawierają reakcji toteż nie pozwalają one na wyznaczenie wartości tych reakcji

37.Równania Lagrange'a potencjal

W przypadku gdy siły zewnętrzne działające na układ mają potencjał siłę uogólnioną można obliczyć jako pochodną potencjału względem odpowiedniej współrzędnej Qj=-∂V/∂qj wtedy równania Lagrange'a d/dt(∂E/∂q'j)-∂E/∂qj+∂V/∂qj=0 Potencjał kinetyczny L=E-V jest to różnica energii kinetycznej i potencjału sił. Ponieważ potencjał nie zależy od prędkości uogólnionej d/dt(∂L/∂q'j)-∂L/∂qj=0 Potencjał kinetyczny przedstawia nadmiar energii kinetycznej nad potencjalną.

38. Wyznaczenie siły uogólnionej odpowiadającej danej współrzędnej uogólnionej w równaniach Lagrnge'a , przykład.

Siłę uogólnioną można obliczyć jako pochodną potencjału względem odpowiedniej współrzędnej w przypadku gdy potencjał jest przedstawiony jako funkcja współrzędnych uogólnionych Q_i=-deltv/deltq_i. Niezależne współrzędne których licz-ba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia układu nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą być dowolnymi współrzędnymi liniowymi lub kątowymi. Siłą uogólnioną nazywamy taką wielkość która pomnożona przez przyrost przygotowany δqj współrzędnej uogólnionej daje wartość pracy wykonanej przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych przyrostem współrzędnej uogólnionej. Qj=δLj/δqj.

39. Ogólne równanie mechaniki. Zasada d'Alamberta dla układu nieswobodnego

Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0. ∑(Fi+Wi-mipi)⋅δri=0. Do badania ruchu układu swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada: Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego równo-waży się w każdej chwili z układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0. S+SB+R=0 MO+MBO+HO=0

40. Siły zderzeniowe

Jeżeli zderzenie następuje w chwili t₀ i trwa przez przeciąg czasu τ to możemy impuls siły określić wzorem J=całka(t0+tał-t0)Fdt. Gdy tał dąży do zera to F dąży do niesk.- s. Zderz. lub chwilowa.

41. Uderzenie punktu mat o przegrodę.

Punkt uderzenia o powierzchnię przegrody będącej w spoczynku z prędkością v1 której kierunek tworzy kąt α (padania) z normalną powierzchni przegrody. Po uderzeniu punkt odbija się i porusza się z prędkością v2 tworząc kąt β (odbicia) z normalną. W trakcie zderzenia wystąpi reakcja mająca charakter siły zderzeniowej

mv₂cosβ + mv₂cosα = J

mv₂sinβ - mv₂sinα = 0

J - impuls reakcji normalnej.

Współczynnik restytucji - stosunek bezwzględnych wartości normalnych składowych prędkości po i przed zderzeniem i jest niezależny od prędkości i wymiarów ciał zderzających się tylko od materiałów z których są wykonane.

k = ¦v_2n/v_1n¦= v₂cosβ/v₁cosα

Przy uderzeniu idealnie sprężystym k = 1 przy plastycznym k = 0.

42. Udowodnić że dla ciała idealnie sprężyst impuls jest dwukrotnie większy niż dla ciała idealnie plast.

J = mv₁(k+1)cosα kspręż=1, kplast=0

43. Rozpraszanie en. Kinetycznej przy zderzeniu

Punkt uderza w przegrodę prostopadle do jej powierzchni α=β=0 k=v2/v1 v2=kv1. Różnica energii kinetycznej po i przed zderzeniem wynosi E2-E1= Następuje więc ubytek energii kinetycznej tym większy im mniejszy jest współczynnik restytucji. W przypadku zderzenia plastycznego cała energia kinetyczna zostaje stracona. W przypadku uderzenia idealnie sprężystego nie ma straty energii. W przypadku częściowo sprężystego zderzenia część energii kinetycznej zostaje stracona, zamienia się w ciepło.

44. Ruch ciała sztywnego pod działaniem sił zderzeniowych

Uderzenie jest to suma impulsów sił zderzeniowych J oraz reakcji zderz R jeżeli ciało nie jest swobodne. Moment główny impulsów sił zderzeniowych-L, a moment reakcji-H Ruch ten bada się za pomocą prawa zmienności pędu i krętu. B₂-B₁=J+R, K₂-K₁=L+H 2-po zderz, 1-przed. Rzutując te równania na osie układu współrzęn. Otrzymamy równania określające przyrosty prędkości postępowej i kątowej ciała wywołanej impulsami sił zderzeniowych m.(x'₂-x'₁)=J_x+R_x itd.

45. Równanie przyrostów prędkości postępowej

Impulsowi zderzenia odpowiadającemu niesk małemu przedziałowi czasu  odpowiada skończony przyrost prędkości p. m. Wynikający ze wzoru m.(v-v₀)=J Stąd wartość prędkości po zderzeniu v=v₀+J/m.

46. Środek uderzenia

Jest to punkt w którym nie zaobserwuje się wstrząsu wywołanego uderzeniem ciała Współrzędna tego punktu-y_a=k_x²/y_c Uderzenie nie wywoła wstrząsu jeżeli kierunek jego jest prostopadły do płaszczyzny przech przez oś obrotu i środek masy Oś obrotu jest osią główną punktu będącego rzutem punktu uderzenia na oś obr oraz punkt uderzenia leży w odległości danej od osi obrotu Wykorzystuje się to przy projektowaniu narzędzi i maszyn

47. Zderzenia proste, centralne

Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie tych ciał zetkną się w jednym punkcie. Punkt A I ciała zetknął się z punktem D II ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie zetknięcia mają wspólną normalną (linia zderzenia). Prędkość względna punktu A w stosunku do punktu D jest równa i przeciwna prędkości względnej punktu D w stosunku do punktu A. Jeżeli te prędkości względne są położone na linii zderzenia to zderzenie nazywamy prostym w przeciwnym razie ukośnym. Przy zderzeniu prostym siły chwilowe działają na linii zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi przez środek masy ciała to zderzenie nazywamy centralnym w odróżnieniu od zderzenia mimośrodowego w przypadku przeciwnym.

48. Zderzenie dwóch kul

Zakładamy że dwie kule o masach m1 i m2 poruszają się ruchem postępowym z prędkościami v11 i v12 przed zderzeniem tak że torem środka masy każdej z nich jest prosta na której znajdują się ich środki O1 i O2. Aby zderzenie było możliwe v11-v12>0. Rzut wektora pędu na oś x wobec braku sił zewnętrznych jest stały. Po uderzeniu kule zaczną poruszać się z prędkościami v12 i v22 skierowanymi także wzdłuż osi x. Stałość pędu oznacza że pęd układu po i przed zderzeniem jest taki sam m1v12+m2v22=m1v11+m2v21 Stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem jest równy współczynnikowi restytucji k=v12-v22/v11-v21 Przy zderzeniu plastycznym k=0 przy idealnie sprężystym k=1.

49. Współczynnik restytucji przy zderzeniu dwóch kul

W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają różne znaki gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie k=v12-v22/v11-v21

50. Określenie impulsu i rozpraszania energii przy zderzeniu kul

38-40

51 .Równanie ruchu punktu o zmiennej masie

mdv/dt+dm/dt(v-u)=F v-prędkość punktu u-prędkość dołączającej się cząstki

52. Równanie ruchu punktu materialnego o zmiennej masie w postaci II pr Newtona

Gdy prędkość względna dołączającej się masy jest równa zero w=0 mdv/dt=F. Równanie ma formalnie postać identyczną z równaniem ruchu punktu o stałej masie, z tym że masa jest funkcją czasu.

53. Kiedy równanie Mieszczerskiego

Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się masy jest równa 0. Otrzymuje-my m⋅dv/dt+dm/dt⋅v=F, więc d/dt(mv)=F.

54. Równanie ruchu rakiety

Ruch rakiety w czasie działania silnika rakietowego jest ruchem ciała o zmiennej masie podczas którego następuje wypływ gazów spalinowych z dyszy silnika z prędkością względną uzyskiwaną w wyniku spalania paliwa. Zakładamy że prędkość względna gazów jest styczna do trajektorii oraz prędkość względna gazów jest stała w=u-v=-wτ τ-wektor jednostkowy styczny do trajektorii. m⋅dv/dt=F-w⋅dm/dt⋅τ

55. Równanie ruchu p.m. o zmiennej masie na kierunek styczny do toru.

Przyjmijmy że do wyznaczenia rów zakładamy prawo zmienności prądu. Zakładamy że w czasie t mamy masę m.,V. W czsie dt do pm. Dołącza się cząstka o dm i u. W skutek tego w czasie t+dt masa całkowita wynosi m.+dm i prędkość V+dV. Sumaryczny pęd dołączającej się masy w chwili t wynosi B(t)=mV+dmU U-prędkość bezwzględna Po dołączeniu wynosi B(t+dt)=(m.+dm)(V+dV)

---