LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ
NR GRUPY T 5		NR PODGRUPY 1			ROK AKADEMICKI 2005/2006
ĆWICZENIE NR 5 TEMAT: Analiza kratownic płaskich metodą elementów skończonych.
	Imię i nazwisko		Sprawdzian pisemny	Sprawozdanie		Ocena końcowa	Uwagi:
	Piotr Majkowski

Rozwiązanie kratownicy płaskiej analityczną metodą równoważenia węzłów:

Kratownica nr 1:

Rysunek, szkic zdeformowanej struktury i szkic sił w prętach dla kratownicy nr 1 przedstawiają rysunki nr 1, 2 i 3.

Pierwszym punktem jest sprawdzenie statycznej wyznaczalności kratownicy. Jest to warunek konieczny rozwiązania kratownicy płaskiej:

p = 2*w - 3

, gdzie: w - liczba węzłów

p - liczba prętów

7 = 2*5 - 3

Kratownica jest statycznie wyznaczalna. Teraz wyznaczamy reakcje występujące w podporach ( korzystając z warunku równowagi sił i momentów w dowolnym układzie płaskim ):

P_ix = R_Ax - R_Cx - 6 = 0

P_iy = R_Cy + 4 - 5 = 0

M_iC = 5*10 - 6*20 + R_Ax*10 = 0

R_Ax = 7 kN

R_Cx = 1 kN

R_Cy = 1 kN

Następnie obliczamy siły działające w poszczególnych prętach ( korzystając z zasady równowagi sił ):

węzeł C

Pix = S₂ - S₄^* cos 18^o -1 = 0 ** S₄ = - 3,68

Piy = S₃ - S₁^* sin 18^o - 1 = 0 ** S₃ = 0,15

węzeł D

Pix = S₅^* cos 63^o - S₅^* cos 18^o - S₆ = 0 => S₆ = 6

Piy = 4 - S₁^* cos 63^o - S₅^* sin 18^o - S₃ = 0 => S₅ = - 3,68

węzeł E

Pix = - S₂ - S₁^* cos 63^o = 0 => S₂ = - 2,5

Piy = S₁^* sin 63^o - 5 = 0 => S₁ = 5,58

S₁ = 5,58 kN

S₂ = -2,5 kN

S₃ = 0,15 kN

S₄ = -3,68 kN

S₅ = -3,68 kN

S₆ = 6 kN

Wkolejnym punkcie należy obliczyć naprężenia osiowe w poszczególnych prętach.

Dla prętów rozciąganych korzystamy z następującej zależności :

σ = P\A

, gdzie σ - oznacza naprężenie osiowe działające w pręcie

P - siła osiowa działająca w pręcie

A - pole przekroju pręta

σ₁ = 55,8 MPa

σ₂ = -25 MPa

σ₃ = 1,5 MPa

σ₄ = -36,8 MPa

σ₅ = -36,8 MPa

σ₆ = 60 MPa

Sprawdzamy, czy naprężenia osiowe w prętach rozciąganych nie przekraczają dopuszczalnych naprężeń k_r = 100 MPa:

σ₁< k_r

σ₃< k_r

σ₆< k_r

Naprężenie krytyczne dla prętów ściskanych określone są wzorem:

σ_kr = (π ² * E * J) /A*L²

, gdzie: E - moduł Younga

J = a⁴/12 - moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia

L - długość pręta

σ_kr = 1,73*10⁴/L² [kN/m²]

Warunkiem bezpieczeństwa jest, aby naprężenia ściskające w pręcie były mniejsze od krytycznych:

σ₂< 1730 MPa

σ₄< 173 Mpa

Wnioski:

Dzięki statycznej wyznaczalności kratownicy możliwe było analityczne rozwiązanie zadanego układu metodą równoważenia węzłów. Jest to bardzo szybka i skuteczna metoda wyznaczenia naprężeń poszczególnych elementów danego układu.

W kratownicy występują siły rozciągające i ściskające działające na pręty. Naprężenia te powodują wygięcie się układu. Na rysunku widać działanie sił powodujących deformację w prętach, oraz postać zdeformowanej kratownicy.

Deformacja spowodowana jest wydłużeniem oraz skróceniem poszczególnych prętów, na które działają siły wewnętrzne wytworzone przez przyłożone do węzłów siły zewnętrzne i reakcje podpór. Największe siły rozciągające działają w prętach BD i DE , natomiast ściskające w prętach AC i AD. Siły te nie są jednak tak duże aby spowodować rozerwania, czy wyboczenie pręta - spełniony jest warunek bezpieczeństwa - naprężenia w prętach nie są większe od naprężeń krytycznych. Tak zaprojektowana kratownica bez problemu wytrzyma zadane obciążenia.

Analityczne wyniki obliczeń różnią się niewiele od wyników uzyskanych w programie MDSolids. Wynika to z podawania przybliżonych wartości obliczeń (do 2 miejsca po przecinku).

Kratownica nr 2:

Rysunek, szkic zdeformowanej struktury i szkic sił w prętach dla kratownicy nr 1 przedstawiają rysunki nr 4, 5 i 6.

Schemat rozwiązywania kratownicy jest taki sam, jak przy kratownicy nr 1.

p = 2*w - 3

7 = 2*5 - 3

Kratownica jest statycznie wyznaczalna.

Reakcje występujące w podporach:

P_ix = - R_Bx + R_Ax + 3 = 0

P_iy = R_Ay + 1 - 2 = 0

M_iD = R_Ay*20 - R_Ax*20 = 0

R_Ax = 1 kN

R_Ay = 1 kN

R_Bx = 4 kN

Siły działające w poszczególnych prętach ( korzystając z zasady równowagi sił ):

węzeł A

Pix = R_Ax + S₂^* cos 45^o + S₃ = 0 *> S₃ = 0

Piy = R_Ay + S₁^* sin 45^o = 0 *> S₂ = - 1,41

węzeł B

Pix = - R_Bx + S₁ = 0 => S₁ = 4

węzeł C

Pix = - S₃ + S₆^* cos 63^o = 0 => S₆ = 0

Piy = S₆^* sin 63^o - 5 +S₄ = 0 => S₄ = 2

węzeł D

Pix = S₅ - S₂^* cos 45^o - S₁ = 0 => S₅ = 3

S₁ = 4 kN

S₂ = - 1,41 kN

S₃ = 0 kN

S₄ = 2 kN

S₅ = 3 kN

S₆ = 0 kN

Naprężenia osiowe w poszczególnych prętach:

σ₁ = 40 MPa

σ₂ = -14,1 MPa

σ₃ = 0 MPa

σ₄ = 20 MPa

σ₅ = 30 MPa

σ₆ = 0 MPa

Sprawdzamy, czy naprężenia osiowe w prętach rozciąganych nie przekraczają dopuszczalnych naprężeń k_r = 100 MPa:

σ₁< k_r

σ₄< k_r

σ₅< k_r

Naprężenie krytyczne dla prętów ściskanych:

σ_kr2 = 1,73*10⁴ / 0,2*2^1/2 = 216,25 [MPa]

σ₂ < σ_kr2

Wnioski:

Podobnie jak przy kratownicy nr 1 kratownica ta okazała się statycznie wyznaczalna, dzięki czemu mogliśmy ją rozwiązać analitycznie.

Również w tym przypadku obciążenia występujące w poszczególnych prętach okazały się nie zagrażać badanej konstrukcji. Niestety tak, jak w przypadku 1 kratownicy naprężenia były rozłożone na całą konstrukcje, tak w tym przypadku obciążone są zaledwie 4 pręty na 7. Oznacza to, że konstrukcja mogłaby być w znacznym stopniu zredukowana, a tym samym odciążona. Co więcej obniżyłoby to koszty produkcji związane z ilością potrzebnego materiału do konstrukcji.

Innym rozwiązaniem jest zredukowanie masy części dolnej konstrukcji, a wzmocnienie jej górnej części. Dzięki temu byłaby ona odporna na większe obciążenia.

---