PIOTR PIERAŃSKI ZAWIESZENI NA MAKARONIE

Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 11/2001

Ci, których życie może zawisnąć na linie, wiedzą, że każdy węzeł dramatycznie osłabia jej wytrzymałość. Są jednak węzły lepsze i gorsze. Polscy fizycy, szukając tych najbezpieczniejszych, badali... makaron.

Zerwana lina była przyczyną tragicznej śmierci Jerzego Kukuczki podczas wspinaczki na południowej ścianie Lhotse. W pobliżu zwłok George'a Mallory'ego, człowieka, który być może był pierwszym zdobywcą Everestu, także znaleziono zerwaną linę. Alpiniści, żeglarze, strażacy i komandosi wiedzą, że lina jest mniej wytrzymała, niż gwarantuje to jej producent, jeśli znajduje się na niej jakiś zapomniany węzeł. Tę ważną informację, która może decydować o życiu lub śmierci, znajdziemy w każdym podręczniku alpinizmu i żeglarstwa.

Najobszerniejszym dziełem traktującym o węzłach jest 600-stronicowa "Księga węzłów Ashleya", wydana po raz pierwszy w 1944 roku. W rozdziale wprowadzającym czytelnika w świat węzłów, Clifford W. Ashley opisuje doświadczenia nad zrywaniem związanych ze sobą lin. Znajdziemy tam takie uwagi: "węzeł jest słabszy niż lina, na której został zawiązany" oraz "lina jest najsłabsza na zewnątrz, tuż przed jej wejściem do węzła". Czy są to zdania prawdziwe? Pierwsze tak, drugie nie. Skąd mamy pewność, że tak jest? Wyjaśnię to. Najpierw jednak trochę historii.

Sztuka puszczania kółek z dymu

Początki naukowego zainteresowania węzłami łączą się z nazwiskami fizyków szkockich: Thomsona i Taita. W 1867 roku William Thomson, znany raczej pod nadanym mu tytułem szlacheckim lorda Kelvina, odwiedził w Edynburgu swego przyjaciela, Petera Taita. Tait, zainspirowany pracami Hermanna von Helmholtza, zajmował się... puszczaniem kółek z dymu i badaniem ich właściwości przy zderzeniach. Skonstruował w tym celu specjalną maszynę "pykającą z fajeczki" (zapewne po to, by oszczędzić płuca). Nie wyjaśnione są drogi ludzkiej myśli, bowiem sesje spędzone wspólnie z Taitem w "doświadczalnej palarni" nasunęły Thomsonowi myśl o... pierwiastkach. Uczony już od dawna łamał sobie głowę, usiłując dociec, czym różnią się atomy poszczególnych substancji.

Ślady tych rozważań odnajdujemy w pracy "On vortex atoms", którą Thomson opublikował w Proceedings of the Royal Society of Edinburgh w 1867 roku.

"Kółko dymu to wir powietrza. Oś tego wiru, wirtualna nitka, wokół której krąży powietrze, zamknięta jestw okrąg. Nic nie stoi na przeszkodzie, by przed połączeniem końców tej nitki zawiązać na niej jakiś węzeł powstanie nie kółko, lecz węzeł dymu. Idźmy dalej, zamiast powietrza rozważmy eter, hipotetyczną substancję będącą podłożem zjawisk elektromagnetycznych. Wprowadźmy ją w ruch wirowy wokół linii zawiązanych na różne węzły. Te zawęźlone wiry eteru - to atomy różnych pierwiastków".

Wiedziony wizją Thomsona, Tait przystąpił do klasyfikowania węzłów. Wynikiem tej pracy miał być odpowiednik tablicy Mendelejewa. Rychło jednak okazało się, że tablice węzłów są znacznie bardziej skomplikowane niż tablica Mendelejewa, a eter po prostu nie istnieje. Pomysł zawęźlonych atomów został porzucony, ale nie zainteresowanie węzłami. Prace Taita dały początek trwającym do dziś wysiłkom mającym na celu sklasyfikowanie jak największej liczby węzłów (ramka poniżej).

Porzucone przez fizyków węzły na długie lata stały się niemal wyłącznie obiektem zainteresowania matematyków. Stworzona przez nich teoria węzłów jest działem topologii. Dla topologa ani rozmiar węzła, ani jego kształt, ani materiał, na jakim został zawiązany, nie są istotne. Odpowiedzi na pytanie, gdzie i dlaczego właśnie tam pęka lina, na której zawiązano węzeł, nie znajdziemy w podręcznikach teorii węzłów. Trzeba jej szukać w pracach fizyków.

W maju 2001 roku wraz z Sandorem Kasassem, Giovannim Dietlerem, Jacques'em Dubochetem i Andrzejem Stasiakiem z uniwersytetu w Lozannie opublikowaliśmy pracę pt. "Lokalizacja punktu zrywania zawęźlonych lin". Pomysł, sformułowany przez Andrzeja Stasiaka, był prosty: trzeba wziąć linę, zawiązać na niej jakiś węzeł, najlepiej najprostszy, i obserwując proces zrywania, określić jego miejsce. Wykonania doświadczeń podjęli się Giovanni i Sandor.

Nasz artykuł wzbudził ogromne zainteresowanie specjalistów i prasy codziennej. Obszerne omówienie naszych wyników znalazło się nawet na łamach londyńskiego Timesa! A przecież New Journal of Physics (http://njp.org), w którego trzecim tomie zamieściliśmy nasz artykuł, jest czasopismem, którego żaden numer nigdy nie został wydrukowany! Istnieje ono wyłącznie w wirtualnym świecie Internetu!

Liny wspinaczkowe nie są dobrym materiałem do badań laboratoryjnych ich zerwanie wymaga olbrzymiej siły. Lepsza byłaby żyłka wędkarska. Do jej zerwania potrzebna jest siła kilkudziesięciu niutonów. Analiza zerwanej żyłki wskazywała, że zerwanie następowało na węźle. Gdzie dokładnie? Gołym okiem nie można było tego określić. Postanowiliśmy sfilmować proces zrywania.

Okazał się on jednak zbyt szybki nawet dla kamery filmującej z prędkością 1000 klatek na sekundę (używanej na co dzień do filmowania pocisków przebijających pancerze czołgów). Na jednej klatce widniał nie uszkodzony węzeł, na kolejnej nie było nic... zerwana żyłka uciekła z pola widzenia kamery. Jaki więc inny materiał zastosować? Pomysł, tym razem mój, pojawił się podczas lunchu. Dobrze ugotowane spaghetto (to w języku włoskim liczba pojedyncza od spaghetti), pokryte cienką warstewką oliwy z oliwek dawało się i łatwo zawiązać w dowolny węzeł, i równie łatwo zerwać. Wysłałem e-mail do Andrzeja Stasiaka i wkrótce Giovanni i Sandor zabrali się do roboty.

Doświadczenia przy obiedzie

Ponieważ makaron zrywał się wolniej, filmowanie kamerą nie przedstawiało już trudności. Analiza kolejnych klatek pozwoliła na znalezienie miejsca zerwania: znajdowało się ono wewnątrz węzła, tuż za wejściem do niego. Dlaczego właśnie tam? Odpowiedzi udzieliły symulacje numeryczne prowadzone na Politechnice Poznańskiej za pomocą opracowanego przeze mnie algorytmu znanego w literaturze jako SONO (shrink-on-no-overlaps). W symulacjach tych idealnie wiotka i śliska, lecz nieskończenie twarda lina, na której zawiązano żądany węzeł, ciągnięta jest za końce tak długo, aż węzeł ulegnie maksymalnemu zaciśnięciu. Procedury numeryczne badają kształt liny. Jedną z istotnych informacji, jaką w ten sposób można uzyskać, są dane o stopniu zgięcia liny w kolejnych jej punktach. Oczywiście na zewnątrz węzła, tam, gdzie linę ciągnie się za końce, jest ona idealnie wyprostowana. Dopiero wchodząc do węzła, ulega zakrzywieniu. Symulacje ujawniły, że są dwa punkty, w których lina ulega zerwaniu, i że znajdują się one tuż za wejściem do węzła. Fragment liny znajdujący się na zewnątrz zgięcia jest rozciągany mocniej niż tam, gdzie lina jest prosta. Im silniejsze zakrzywienie, tym większa siła rozciągająca. Jeśli więc na odcinkach prostych naprężenie liny bliskie jest maksymalnemu dopuszczalnemu naprężeniu, to w miejscach, gdzie lina jest zagięta, próg ten już będzie przekroczony. To właśnie tam lina ulega zerwaniu. Proste? No właśnie.

Zrywanie ósemki na makaronie. Z prawej komputerowa symulacja naprężeń w linie. Kolor czerwony to obszar najmocniejszych naprężeń. Tam lina zostanie zerwana. Kolor Niebieski to najmniejsze naprężenia

Przedstawiony wyżej model jest bardzo uproszczony. Wyeliminowano z niego czynnik tarcia, niezmiernie istotny w węzłach wiązanych na realnych linach. Jak tarcie to uwzględnić? Realne liny nie są też idealnie wiotkie. Jak uwzględnić ich sztywność? Poddane ściskaniu, deformują się. Jak uwzględnić i te deformacje? Pytań jest więcej. Jednak dziś już wiemy, które węzły są bardziej niebezpieczne od innych.

Świat wokół nas nadal pełen jest niespodzianek. Istnieją w nim obszary zjawisk ciągle mało zbadanych. Nie trzeba ani akceleratorów, ani superkomputerów, by zająć się nimi i doznać tej niezwykłej przyjemności, jaką daje odkrycie naukowe. Pamiętajmy o tym, jedząc makaron i delektując się jego smakiem.

Z matematycznego punktu widzenia węzeł to krzywa zamknięta zanurzona w przestrzeni trójwymiarowej. Należy to sobie wyobrażać jako bardzo cienki, splątany sznurek zawiązany na końcach. Kilkanaście prostych węzłów tworzy szlaczek na górze ramki. Węzły zostały sklasyfikowane przez matematyków według stopnia "zasupłania". Dobrą miarą zasupłania jest liczba skrzyżowań sznurka. Jedynym węzłem o trzech przecięciach jest "trójlistek" - na górze pierwszy z lewej. Jedyny węzeł o czterech przecięciach to ósemka. Są dwa węzły o pięciu przecięciach, trzy o sześciu i siedem z siedmioma przecięciami. Węzłów, w których lina krzyżuje się nie więcej niż 13 razy jest 12 965, a takich, gdzie lina krzyżuje się najwyżej 16 razy - 1 701 935.

Teoria węzłów stara się rozstrzygnąć, które węzły są naprawdę różne, tj. czy jeden da się otrzymać z drugiego przez rozplątywanie bez cięcia. Animację komputerową pokazującą sposoby rozwiązania tego problemu można obejrzeć na stronie: www.cs.vbc.ca/nest/imager/contributions/scharein/knot-theory/knottheory.htm/

Mówi Bogusław Szczerba, instruktor taternictwa

Jeszcze kilka lat temu zagadnienie wytrzymałości węzłów było dla nas bardzo ważne. Już na wstępnym kursie kandydat na taternika uczył się, o ile procent dany węzeł zmniejsza wytrzymałość liny. Odradzano wówczas niemal w ogóle stosowanie kluczki jako zbyt niebezpiecznej i w jej miejsce zalecano ósemkę, a nawet dziewiątkę. Węzły te są masywniejsze niż kluczka, mniej zaginają, a co za tym idzie, mniej osłabiają linę. Ostatnio problem wytrzymałości węzłów stracił na znaczeniu. Teraz liczy się przede wszystkim wygoda i łatwość zawiązania węzła i prosta kluczka znów wraca do łask. Produkowane dziś liny są niezwykle wytrzymałe i o ile nie zostaną przetarte na ostrej krawędzi skał lub zmiażdżone spadającymi kamieniami, nieomal nic nie jest w stanie im zaszkodzić. Pit Schubert prowadził badania, w jakim stopniu różnorakie "przygody", które mogą spotkać linę na wspinaczce, wpływają na jej wytrzymałość. I co się okazało? Linie nie szkodzi zmoczenie, zmarznięcie ani nawet kąpiel w oleju z puszki sardynek. Najgorsze, co ją może spotkać, to gdy wspinacz po nocy spędzonej w skale, zrosi ją rankiem... moczem.

---