Zestaw 1.

Zad.1 Napisać w postaci rozwiniętej wyrażenie indeksowe w przestrzeni R3

Zad.2 Wykazać , że delta Kroneckera jest tensorem kartezjańskim drugiego rzędu.

z def

korzystam z tw dla tensorów kartezjańskich drugiego rzędu

stąd

Zad.3 Wyznaczyć naprężenia główne dla tensora naprężeńZad.4 Czy następujące funkcje mogą być współrzędnymi tensora odkształceń w PSO ?

Warunki zgodności odkształceń dla ośrodka jednospójnego (PSO)

pozostałe warunki (5) zgodności są spełnione tożsamościowo (dla PSO)

funkcje te nie są współrzędnymi tensora odkształceń w PSO.

Zad.5 Zapisać indeksowo prawo Hooke`a dla materiału izotropowego.

zad.6 Jak wyrażają się naprężenia za pomocą funkcji naprężeń w przypadku obrotowej symetrii tarcz.

r.biharmoniczne we współrzędnych biegunowych:

Naprężenia:

Zad. 7 Naszkicować linie stałych naprężeń w zagadnieniach Flamonta rys.

Zad. 8 Co to jest sztywność płytowa ?

[kNm]-analogiczna sztywność giętnej belki EJ

Zad. 9 Zapisać warunki brzegowe dla swobodnego brzegu płyty.

M_n(s,0)=0

V_n(s,0)=0

zestaw2

Udowodnić równanie:

L=P

3.) Narysować wykresy naprężeń występujących na grubości t płyty.

Rys.1

4. Napisać równania równowagi dla naprężeń.

5. Prędkość fal podłużnych wyrazić za pomocą E, v, r.

n; wsp. Poissona

l,m ; stałe Lame'go

r; gęstość ośrodka

6. Narysować ruch cząsteczek i napisać ile wynosi ich prędkość⇒fale Rayleigh'a

rys.2 c=c_R=0,9194c_T.

7. Prawo Hooke'a dla ciała izotropowego dla naprężeń; wyprowadzić z niego prawo Hooke'a dla odkształceń e_ij. Opisać oznaczenia.

e_kk=J₁=tre_; prawo Hooke'a dla ciała izotropowego

zwężam:d_ij (i=j)

Prawo Hooke'a dla ciała izotr. dla odkształceń.

8. Naprężenia główne + niezmienniki.

s³-J₁s²+J₂s-J₃=0

9. Warunki brzegowe dla tarczy przesuwnej dla brzegu swobodnego.

1 M_n (s,0)=0

2 V_n (s,0)=0

10. Zagadnienie symetrii obrotowej. Podać równania i podać przykłady zastosowań.

Tarcze: np. rura grubościenna

Płyty:

11.Narysować siły wewnętrzne w płycie kołowej, rozwiązanie przy pomocy współrzędnych biegunowych.

12. Co to jest materiał ortotropowy i ile ma stałych sprężystych?

Materiał ortotropowy to materiał posiadający w każdym punkcie trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii.

Mat. Ortotr. Posiada 12 niezależnych stałych sprężystych lub 9, jeżeli C_um=C_mk.

dla układu, w którym płaszczyznami wspólrzędnych są płaszczyzny symetrii.

13. Różnice pomiędzy ugięciem pasma płytowego i belki tak samo obciążonej.

Pasmo swobodnie podparte:

Belka swobodnie podparta:

14. Sformułować słownie zagadnienia brzegowe.

1. I podstawowe zagadnienie brzegowe:

Dane są zewnętrzne obciążenia działające na ciało. Wyznaczyć stan naprężeń i stan odkształceń.

2. II podstawowe zagadnienie brzegowe:

Dane są przemieszczenia powierzchni ograniczającej ciało. Wyznaczyć stan naprężeń i stan odkształceń.

3.Zagadnienie brzegowe mieszane:

Na części powierzchni ograniczającej ciało dane są obciążenia, a na części przemieszczenia. Wyznaczyć stan naprężeń i stan odkształceń.

W zagadnieniach dynamicznych podane muszą być warunki początkowe, np.: przemieszczenia i prędkości w chwili początkowej.

15. Zapisać indeksowo związek pomiędzy wektorem naprężeń a tensorem naprężeń.

zestaw3

1.Napisać w postaci rozwiniętej r.r. Cauchego i opisać wielkości.

s_ij+rb_i=0

s₁₂,s₁₃-napręż. Ścinające

s₁₁-naprężenia normalne

r-gęstość ośrodka

b₁-siła masowa

2/3. Wyjaśnić, dlaczego tensor naprężeń Cauchego jest symetryczny. Uwarunkowane jest to tym, że za każdym razem mamy do czynienia z ciałem w równowadze.

Np.: równowaga momentów:

Podst. :

i=p.

e₁₂₃s₂₃+e₁₂₃s₃₂=0

s₂₃-s₃₂=0 s₂₃=s₃₂ c.b.d.o.

4.Wyrazić stałe Lame'go l,m. za pomocą E,n

l=En/[(1+n)(1=2n)] m.=E/[2(1+n)]

5.Wykazać zależność między średnim naprężeniem s_m. i średnim odkształceniem w punkcie ciała w ośrodku sprężystym, izotropowym.

s_m.=E/(1-2n)e_m.

wychodząc z prawa Hook'a dla ośr.spr. izotrop.

s_ij=ld_ije_kk+2m.e_ij

s_M=s_kk/3 , e_M=e_kk/3

np.

s₁₁=le_kk+2me₁₁

s_M=(3le_kk+2m.e_kk)/3=1/3 e_kk(3l+2m.)=e_m.[3nE/((1+n)(12n))+2E/(2(1+n))]=Ee_m.*(3n+1-2n)/[(1+n)(1-2n)=Ee_M(n+1)/[(1+n)(1-2n)=E/(1-2n)e_M

6.Dany jest tensor naprężeń, największe i najmniejsze styczne

równanie charakterystyczne:

rozw. r. ch.

s₁=6 s₂=4 s₃=-1

s_s=(s₂-s₃)/2 s_s=(s₃-s₁)/2 s_s=(s₁-s₂)/2

s_s=(4+1)/2=5/2 s_s=(-1-6)/2=-7/2 s_s=(6-4)/2=1

7.Dany jest tensor małych odkształceń; wyznaczyć odksz. o kier. N

2 0 4

e_ij= 0 3 2 *10^-6

4 2 1

e=2*9/10-12/10+1/10=-1/2*10^-6

8.Co to są równania konstytutywne w teorii ośrodków ciągłych.

s_ij=f(e_ij) 2) e_ij=g(s_ij)

Równania konstytutywne- funkcje które opisują związki między stanem naprężeń, a stanem odkształceń i odwrotnie.

Podac szkic i opis momentów od równomiernego obciążenia.

rysunek

14.zapisac równanie przemieszczeniowe dynamicznej teorii sprężystości ( izotropia )

dla stat. teorii sprężyst.:

dla dynam. Teorii spręzyst.:

Podać prędkość fali podłużnej w nieograniczonym ośrodku trójwymiarowym i nieograniczonym pasie:

pręt:

Podac związek między prędkościami fal podłuznych i poprzecznych w ośrodku izotropowym i jednorodnym.

W jakich warunkach mogą powstać fale Love`a

rysunek

1. Wyprowadzić stałe Lame'go

i≠j

i=j

FALE

Równanie przestępne

Równanie Rayleigha

2. Płyta

Momenty

---