Wykład 8

8. Zasada zachowania energii

1. Wstęp

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że

W = E_k

Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypadkową: F = F₁ + F₂ + F₃ +.......+ F_n. Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykonanych przez poszczególne siły: W = W₁ + W₂ + W₃ +...........+ W_n.

Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać

W₁ + W₂ + W₃ +...........+ W_n =E_k

Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na definiowanie różnych rodzajów energii.

2. Siły zachowawcze i niezachowawcze

Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił niezachowawczych.

Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.

Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.

Założenia:

• ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,

• sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest siłą wywieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x,

• masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała energia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.

Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania pracy kosztem jego ruchu (kosztem E_k). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę jest zachowawcza. Inne siły, które działają w ten sposób także, np. siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą samą prędkością i energią kinetyczną.

Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to, że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą.

Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest idealnie gładka, że mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podobnie) są niezachowawcze.

Możemy przeanalizować zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje ta siła nad punktem materialnym.

W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy sprężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest dodatnia (siła i przemieszczenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprężystą (siłę wypadkową) jest równa zero.

W drugim przykładzie (uwzględniamy tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia jest ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).

Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.

Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między siłami niezachowawczymi i zachowawczymi.
Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B do A po innej (2) (patrz rysunek).

Jeżeli siła jest zachowawcza to

W_AB,1 + W_BA,2 = 0

bo droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej

W_AB,1 = - W_BA,2

Ale gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to ponieważ zmieniamy tylko kierunek to

W_AB,2 = -W_BA,2

Skąd otrzymujemy

W_AB,1 = W_AB,2

Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć dowolny kształt byleby tylko łączyły te same punkt A i B.

Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Przedstawione definicje są równoważne.

1. Energia potencjalna

Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało się porusza będziemy mówić: stan układu się zmienia.

Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem rośnie tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub energii potencjalnej E_p. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o wartość ΔE_k to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna E_p (stanu) tego układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

ΔE_k + ΔE_p = 0

Innymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej E_k jest równoważona przez równą co do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E_p układu, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

Ek + Ep. = const.

(8.1)

Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą.

W przykładzie ze sprężyną (bez tarcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje, a zlokalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii

W = ΔE_k

więc dla zachowawczej siły F

W = ΔE_k = - ΔE_p

Stąd

(8.2)

Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną

(8.3)

Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ΔE_p a nie E_p samą. Ponieważ ΔE_p = E_pB - E_pA. Żeby znaleźć E_pB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E_pA

Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby E_p było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).

Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych:

• grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)

Ruch wzdłuż osi y

F(y) = -mg

F jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, E_p(0) = 0.

Wtedy

Sprawdzenie

• energia potencjalna sprężyny

Ruch wzdłuż osi x

F(x) = -kx

Przyjmujemy dla x = 0, E_p(0) = 0.

Wtedy

Sprawdzenie:

1. Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego

W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawitacyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną masy m znajdującej się w  dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi.

Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A do stanu B możemy zapisać jako

skąd

Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w punkcie odniesienia A i policzyć pracę W_AB.

Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa m znajdują się od siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu (r ∞) przypisujemy zerową energię potencjalną, E_pA = 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odniesienia

Musimy teraz obliczyć pracę
. Ponieważ znamy siłę

to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)

(8.4)

Energia potencjalna ma wartość równo zeru w nieskończoności (punkt odniesienia) i maleje w miarę zmniejszania się r. Oznacza to, że siła jest przyciągająca. Wzór ten jest prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności do r.

Widzimy, że z polem siły grawitacji wiąże się przestrzenny rozkład energii E(r) dany równaniem (8.4).

Omawiając na Wykładzie 6 pole grawitacyjne przedstawialiśmy siłę działającą na umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn natężenia pola i masy tego obiektu. Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezależniliśmy nasz opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.

Podobnie możemy postąpić z energią potencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyrażeniem (8.4) możemy ją przedstawić jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)

(8.5)

Funkcję V(r) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy

(8.6)

Jak już wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Przy opisie zjawisk elektrycznych również będziemy się posługiwali pojęciem pola (elektrycznego), jego natężenia i potencjału.

Przykład 1:

Skorzystajmy teraz z wyrażenia na grawitacyjną energię potencjalną, żeby znaleźć prędkość jaką należy nadać obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniósł się on na wysokość h nad powierzchnię Ziemi Stosując zasadę zachowania energii otrzymujemy

czyli

a po przekształceniach

Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału dostatecznie dużej energii kinetycznej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddalania się, a potencjalna rosła.

Przykład 2:

Teraz spróbujemy obliczyć jaką prędkość należy nadać obiektowi na Ziemi aby uciekł on z Ziemi na zawsze.

Praca potrzebna na przeniesieni ciała o masie m z powierzchni Ziemi do nieskończoności wynosi

E_p(R_Z) = -GM_Zm/R_Z

Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału energii kinetycznej większej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddalania się ciała, a potencjalna rosła, ale prędkość nie będzie zredukowana do zera. Krytyczna prędkość początkowa v₀ (prędkość ucieczki) dana jest wzorem

Oczywiście pominęliśmy inne siły jak siły grawitacyjne wywierane przez Księżyc czy Słońce itp. Ta prędkość ucieczki nosi nazwę drugiej prędkości kosmicznej. Natomiast pierwszą prędkością kosmiczną nazywamy najmniejszą możliwą prędkość jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi.

Na poruszający się po orbicie obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodkowa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się

i stąd znajdujemy

Pierwszej prędkości kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybliżeniu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy wartość v = 7.9 km/s.

1. Zasada zachowania energii

Gdy działają siły zachowawcze to

W = ΔE_k = E_kB - E_kA

oraz

W = -ΔE_p = - (E_pB - E_pA)

więc

- (E_pB - E_pA) = E_kB - E_kA

czyli

EkA + EpA = EkB + EpB

(8.7)

Równania (8.1, 8.4) nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej.

Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia potencjalna jest równa E_p, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).

Przykład 3:

Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie linę, której wytrzymałość na zerwanie jest 25 razy większa niż jego własny ciężar (F_liny = 25mg). Lina (nylonowa) podlega prawu Hooke'a aż do zerwania, które następuje gdy lina wydłuży się o 25% w stosunku do długości początkowej. Czy wyposażony w taką linę wspinacz przeżyje spadek (niezależnie od wysokości)?

Ponieważ

F_liny = k(0.25l)

więc

25mg = k(0.25l)

skąd

k = 25mg/0.25l

czyli

k = 100mg/l

Przed spadkiem (punkt W)

E_pw = mg(h + l)

Po spadku (punkt S)

E_ps = mg(h - l - y) + ky²/2

Ponieważ w punktach W i S energia kinetyczna wspinacza jest równa zeru, więc E_pw = E_ps czyli

mg(h + l) = mg(h - l - y) +ky²/2

Uwzględniając k = 100 mg/l otrzymujemy

mgl = -mgl - mgy + (1/2)(100mg/l)y²

co daje

50y² - ly - 2l² = 0

Rozwiązanie fizyczne: y = 0.21l mieści się w granicy wytrzymałości 0.25l.

Oszacujmy teraz maksymalne przyspieszenie

F_wyp = ky - mg

więc

ma = ky - mg

skąd

a = ky/m - g = 20g

Duże ale lina musi być sprężysta żeby "złagodzić" hamowanie.

A co z zachowaniem energii w przypadku gdy działa siła niezachowawcza?

Dla sił zachowawczych

lub

Wielkość po lewej stronie to po prostu zmiana całkowitej energii mechanicznej ΔE. Zatem równanie to ma postać ΔE = 0.

Jeżeli oprócz kilku sił zachowawczych działa siła niezachowawcza (np. tarcie) to wtedy

czyli

co jest równoważne

Widać, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozpraszającą czyli dysypatywną).

Co stało się ze "straconą" energią mechaniczną?

Zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem temperatury. U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Więcej o energii wewnętrznej powiemy w dalszych rozdziałach. Uogólnijmy naszą dyskusję

F_wyp = F_zew + F_Z + F_NZ

Z twierdzenia o pracy i energii wynika, że praca wykonana przez siłę wypadkową jest równa zmianie energii kinetycznej.

co jest równoważne

W_zew - ΔE_p - ΔU = ΔE_k

czyli

Wzew = ΔEk + ΔEp + ΔU

(8.8)

Z równania (8.5) wynika, że każda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost energii wewnętrznej. Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko zachowanie energii (całkowitej).

Wynika z niego, że energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

Przykład 4:

Energia i biologia. Człowiek może wykonywać pracę mechaniczną tylko z mocą 100 W.

Na wykładzie z fizyki osoby śpiące zużywają energię w tempie około 80 J/s a osoby uważające ok. 150W. Łagodne ćwiczenia 500 W intensywne 1000 W ale tylko 100 W na zewnątrz ciała jako energia mechaniczna.

Jak długo trzeba ćwiczyć (np. gimnastyka łagodna 500W) aby stracić (spalić) 500 g tłuszczu?

Tłuszcz zawiera ok. 40000 J/g. Stąd 500 g tłuszczu zawiera 2·10⁷ J. Ponieważ P = E/t więc t = E/P = 2·10⁷ J/ 500W = 11 h

Ile kalorii musi zawierać pożywienie aby utrzymać się przy życiu ?

Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy się nie śpi, średnio 110 W.

E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·10⁶ J

Ponieważ 1 kilokaloria = 4180 J więc E = 2260 kcal (często mylona z cal).

Przykład 5:

Energia i samochód.

Samochód jedzie z prędkością 100 km/h i zużywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka moc jest potrzebna do utrzymania tej stałej prędkości?

1 litr benzyny - 3.7*10⁷ J więc P = (8·3.7·10⁷ J)/(3600s) = 7·10⁴ W = 70 kW.

Dla porównania w mieszkaniu zużywamy około 1 - 1.5 kW energii elektrycznej.

Samochód zużywa kilkadziesiąt razy więcej.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

8-7

8-10

---