Na początek pojęcie przestrzeni probabilistycznej. Jest to nic innego, jak matematyczny model (matematyczne przedstawienie) doświadczenia losowego. Na ten model składają się trzy elementy:
. Ten pierwszy element to przestrzeń zdarzeń elementarnych, albo inaczej zbiór możliwych wyników doświadczenia. S to podzbiory zbioru
oznaczające zbiór zdarzeń. Może to być więc także pojedyncze zdarzenie spośród wszsytkich (
). No i P to prawdopodobieństwo, czyli funkcja przyporządkowująca zdarzeniom szansę ich zajścia w skali od 0 do 1, czyli:
. Skoro S jest podzbiorem zbioru
, oznacza to, że możemy wykonywać działania na zdarzeniach. Na matematyce dyskretnej omówione zostały pojęcia sumy, iloczynu, różnicy. Dodatkowo jednak czasem skorzystamy z dopełnienia zbioru. Niech A będzie podzbiorem zbioru
. Wówczas A', czyli nasze dopełnienie będzie wynosiło
\ A, a graficznie:

Mówimy, że zdarzenie A pociąga zdarzenie B, gdy
(A zawiera się w B), co oznacza, że zdarzeniu A sprzyjają pewne wyniki (zdarzenia) elementarne, a zdarzeniu B sprzyjają te same plus jeszcze jakieś inne. Mówimy także, że zdarzenia A i B się wykluczają (są rozłączne - ich część wspólna jako zbiory jest zbiorem pustym, albo inaczej, że nie ma żadnego wyniku który by sprzyjał jednocześnie zdarzeniu A lub zdarzeniu B) wtedy, gdy
. Zbiór zdarzeń S, aby był zbiorem zdarzeń (ciałem zdarzeń
) powinien spełniać nastepujące trzy warunki:

1.
(cała przestrzeń powinna być zdarzeniem)

2. Jeśli
, to

3. Jeśli mamy ciąg zdarzeń, to ich suma też musi być zdarzeniem, czyli jeśli
,

to
.

Kolejna ważna rzecz, z której będziemy korzystali, to aksjomaty prawdopodobieństwa. Mamy trzy:

1.
- Prawdopodobieństwo powinno być nieujemne

2.
- Zdarzenie pewne, gdzie każdy wynik mu sprzyja.

3.
- Prawdopodobieństwo sumy równe jest sumie

prawdopodobieństw, a inne zdarzenia się parami

wykluczają (
.

Następne to własności prawdopodobieństwa i jest ich 5:

1. 
   - Zdarzenie niemożliwe (prawdopodobieństwo zerowe)

2. 
   , gdzie
   jest zdarzeniem przeciwnym

3. 
   - Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń równy jest sumie prawdopodobieństw z uwzględnieniem korekty na część wspólną.

4. 
   dla
   - Prawdopodobieństwo jest monotoniczne ze względu na inkluzję.

5. Jeśli
   , to
   i tylko wtedy.

Teraz przejdziemy do definicji prawdopodobieństwa. Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie wiele i są one jednakowo prawdopodobne, to możemy skorzystać z takzwanej klasycznej definicji prawdopodobieństwa, czyli:

Aby lepiej to zrozumieć rozpatrzmy nastepujący przykład. W portfelu mamy umieszczone w przypadkowy sposób 1000 złotych w banknotach po 200 złotych i 100 złotych. Wiadomo, że banknotów po 200 złotych jest dwa razy więcej niż banknotów po 100 złotych. Wyjmujemy losowo z portfela 3 banknoty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęte banknoty będą łączną wartość 500 złotych ?

Wiemy, że banknotów 200 zlotowych było 4, a banknotów 100 złotowych - 2. Razem 1000 złotych. To 500 złotych, które mamy wylosować można uzyskać jedynie z banknotów 2 razy po 200 i raz po 100. Obliczamy zatem
:

czyli 60 % !!

Rozpatrzmy teraz dyskretną przestrzeń probabilistyczną. Niech

(2 do omega to rodzina wszystkich podzbiorów). Jeśli określimy prawdopodobieństwo dla zdarzeń jednoelementowych, to:
, gdzie
.

Wtedy dla
mamy:
.

Popatrzmy na przykład zastosowania tej metody w postaci rozkładu Poissona. Powiedzmy, że mamy
, gdzie lambda to parametr rozkładu (pewna stała). Wówczas
(prawdopodobieństwo od zbioru jednoelementowego k).

Kolejne ważne zagadnienie, jakie dziś poruszymy, to prawdopodobieństwo geometryczne. Jeśli zdarzenia elementarne są podzbiorem w mierze skończonej przestrzeni
(jeśli n = 1, to miara jest długość. Dla n = 2 - pole, a dla n = 3 - objętość) i są one jednakowo prawdopodobne, to stosujemy takzwane prawdopodobieństwo geometryczne określone wzorem:

I rozpatrzmy taki przykład odnoszacy się do powyższego strwierdzenia. W trójkącie równobocznym ABC o boku a losowo wybieramy punkt D. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABD ma pole nie większe niż pole trójkąta ABC?

Widać, że niektóre położenia punktów D będą sprzyjały rozpatrywanemu zdarzeniu, a niektóre nie. Ten punkt przykładowy na rysunku jest punktem sprzyjającym. Punkty niesprzyjające to będą te, które wybiegają poza prostą e (przecinająca trójkąt na pół), czyli te, które znajdują się na płaszczyźnie poprowadzonej od prostej e do punktu A. Widzimy, że te 2 trójkąty zarówno ABC, jak i BCD mają tą samą podstawę. Aby obliczyć pole wystarczy znać podstawę i wysokość. A więc ważna jest tu wysokość. I teraz jak obliczyć prawdopodobieństwo. Najlepszym sposobem będzie tu odcięcie tej prostej e. Powstanie nam trapez i trójkąt o wierzchołku A. Wystarczy wówczas podzielić pole trapezu (E) przez pole trójkąta ABC i to będzie nasze prawdopodobieństwo. Ale też istnieje drugi sposób prostszy, który polega na dostrzeżeniu, że ten nasz mniejszy trójkąt jest podobny do tego dużego ABC. I jest on podobny w skali 1:2. A pola w stosunku 1:4 (skala podobieństwa podniesiona do kwadratu), czyli 25 %. Jednakże jest to zdarzenie przeciwne, a zatem P(E) wyniesie ¾, czyli 75 %.

I na zakończenie wykładu taka uwaga. Jeśli mamy możliwość wielokrotnego powtarzania (niezależnie) doświadczenialosowego w tych samych warunkach, to możemy wyznaczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa wybranego zdarzenia za pomocą wzoru:

,

gdzie n to liczba wykonanych doświadczeń, a k to liczba tych doświadczeń, w którtch zaszło zdarzenie A. Sposób ten jednak nie znajduje zastosowania w statystyce.

A

A', czyli
bez zbioru A

A B

B

A

C

D

e

E

Zdarzenia sprzyjające

---