MODUŁ 4 - WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Wstęp do modułu

W praktyce i badaniach naukowych spotykamy się z obserwacjami, które mogą być powtarzane w identycznych lub prawie identycznych warunkach. Różne wyniki możliwe do uzyskania w powtarzalnych doświadczeniach to zdarzenia, a zdarzenie losowe, to zdarzenie, które w wyniku przeprowadzonego doświadczenia może wystąpić lub nie. Zmienne losowe, to funkcje, których argumentami są zdarzenia elementarne, a wartościami - liczby rzeczywiste. Niektóre z rozkładów zmiennej losowej mają duże znaczenie (między innymi dla wnioskowania statystycznego). Stąd wynika potrzeba omówienia rozkładów zmiennych losowych (co jest celem modułu „Wybrane rozkłady zmiennych losowych”).

Spis treści:

1. Podstawowe pojęcia

2. Wybrane rozkłady dyskretne

3. Wybrane rozkłady ciągłe

4. Tablice statystyczne

1. PODSTAWOWE POJĘCIA:

ZMIENNĄ LOSOWĄ X nazywamy każdą funkcję o wartościach liczbowych (rzeczywistych),

określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych.

X: ω∈Ω → X(ω)∈R

zdarzenia→ liczby

ZMIENNA LOSOWA X TYPU SKOKOWEGO (zmienna losowa dyskretna)

przyjmuje wartości x₁, x₂, ... z prawdopodobieństwami p₁, p₂, ...

FUNKCJĄ PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ X

nazywamy przyporządkowanie

x_i → P(x_i)=p_i, i=1, 2, ...

gdzie P(x_i) jest prawdopodobieństwem wystąpienia wartości x_i oraz

dla zmiennych osiągających skończoną liczbę wartości

dla zmiennych osiągających przeliczalną liczbę wartości.

DYSTRYBUANTĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ X

nazywamy funkcję F(x) określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób:

Własności dystrybuanty:

F(x) jest funkcją niemalejącą i lewostronnie ciągłą.

WARTOŚCIĄ OCZEKIWANĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ X

nazywamy wartość

dla zmiennych osiągających skończoną liczbę wartości

dla zmiennych osiągających przeliczalną liczbę wartości

WARIANCJĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ X

nazywamy wartość

FUNKCJĄ GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ X

nazywamy funkcję f(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych i spełniającą warunki:

Dla przedziałów: (a, b), <a, b), (a, b>, <a, b> mamy:

DYSTRYBUANTĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ X

nazywamy funkcję F(x) określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób:

Własności dystrybuanty:

F(x) jest funkcją niemalejącą i  ciągłą.

WARTOŚCIĄ OCZEKIWANĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ X

nazywamy wartość

WARIANCJĄ ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ X

nazywamy wartość

Własności wartości oczekiwanej ( a, b, c- stałe, X, Y - zmienne losowe):

• E(c)=c    

• E(aX)=aE(X)    

• E(X+b)=E(X)+b    

• E(X-E(X))=0    

• E(X+Y)=E(X)+E(Y)

• E(X·Y)=E(X)·E(Y) dla zmiennych niezależnych

Własności wariancji:

• D²(c)=0

• D²(aX)=a² D²(X)

• D²(X+b)=D²(X)

• D²(X+Y)= D²(X)+D²(Y) dla zmiennych niezależnych

• D²(X-Y)= D²(X)+D²(Y) dla zmiennych niezależnych

2. WYBRANE ROZKŁADY DYSKRETNE

ROZKŁAD DWUPUNKTOWY

P(X=x₁)=p; P(X= x₂)=q (gdzie p+q=1)

Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład ZERO-JEDYNKOWY

P(X=1)=p; P(X=0)=q (gdzie p+q=1)

Dla rozkładu ZERO-JEDYNKOWEGO:

ROZKŁAD DWUMIANOWY

gdzie k=0, 1, ..., n oraz p+q=1

Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment znany pod nazwą prób Bernoulliego: przeprowadzamy n doświadczeń (n*2). Wynikiem każdego doświadczenia może być tylko jeden z dwóch stanów: sukces albo porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w kolejnych doświadczeniach. Między prawdopodobieństwem sukcesu (p) oraz prawdopodobieństwem porażki (q) zachodzi związek p+q =1. Doświadczenia są niezależne. Jeśli przeprowadzimy n niezależnych doświadczeń, to liczba sukcesów w tych doświadczeniach ma rozkład dwumianowy.

ROZKŁAD POISSONA

Zmienna losowa X, która przyjmuje wartości 0, 1, 2, ... z prawdopodobieństwami określonymi wzorem

gdzie m jest stałą dodatnią nazywa się zmienną losową o rozkładzie Poissona. Wartość oczekiwana i wariancja tej zmiennej są odpowiednio równe E(X)=m i D²(X)=m.

Rozkładem Poissona można przybliżać rozkład dwumianowy, gdy spełnione są następujące warunki:

• duża liczba doświadczeń (co najmniej 20)

• stały iloczyn np=m

• wartość parametru p<0,2.

3. WYBRANE ROZKŁADY CIĄGŁE

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY W PRZEDZIALE <a, b〉

Rys. Funkcja gęstości rozkładu jednostajnego w przedziale <a, b>.

Źródło: opracowanie własne.

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

Rys. Funkcja gęstości rozkładu wykładniczego.

Źródło: opracowanie własne.

ROZKŁAD NORMALNY

Wyrażenie „zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m i σ” zapisać można następująco: X∼N(m,σ).

Wykresem gęstości rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa. Krzywa Gaussa ma następujące własności:

• kształt funkcji gęstości zależy od wartości dwóch parametrów: m i σ (m decyduje o przesunięciu krzywej, natomiast σ o smukłości krzywej)

• jest symetryczna względem prostej x=m

• w punkcie x=m osiąga wartość maksymalną (jednomodalność)

• w x=m-σ oraz x=m+σ ma punkty przegięcia.

Rys. Funkcja gęstości rozkładu normalnego.

Źródło: opracowanie własne.

Rys. Funkcje gęstości rozkładu normalnego o różnych parametrach.

Źródło: opracowanie własne.

Reguła trzech sigm: P (m - 3 σ ≤ X ≤ m + 3σ) = 0,997 ≈ 1

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ciągła X przyjmie wartości z przedziału <m-3σ, m+3σ〉 wynosi w przybliżeniu 1.

Przy wykorzystaniu rozkładu normalnego w procedurze wnioskowania statystycznego często dokonuje się przekształcenia, zwanego standaryzacją, tak aby uniezależnić się od parametrów m i σ. Zamiast obserwowanej zmiennej losowej X wprowadzamy tzw. zmienną standaryzowaną T∼N(0,1), która jest zdefiniowana jako:

Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego standaryzowanego jest stablicowana.

ROZKŁAD CHI-KWADRAT

Rozkładem χ² z k stopniami swobody nazywamy rozkład następującej sumy: X₁²+ X₂²+ ...+ X_k², gdzie X₁, X₂, ..., X_k są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym X_i∼N(0,1) dla i=1, 2, ..., k. Zmienna losowa χ² przyjmuje wartości dodatnie i ma rozkład określony przez liczbę stopni swobody k.

Rys. Funkcja gęstości rozkładu chi-kwadrat.

Źródło: opracowanie własne.

ROZKŁAD T-STUDENTA

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N(0,1), zmienna losowa Y ma rozkład χ² o k stopniach swobody, a zmienne losowe X i Y są niezależne, to zmienna losowa

przyjmuje rozkład t-Studenta o k stopniach swobody. Rozkład tego typu po raz pierwszy otrzymał Goosset (pseudonim Student - stąd nazwa rozkładu).

Rys. Funkcja gęstości rozkładu t-Studenta.

Źródło: opracowanie własne.

Tablice statystyczne

Tabela. Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego

P(X<u_α)=α

	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998

Tabela. Tablice rozkładu t-Studenta P(|X|>t_α)=α

	0,99	0,98	0,95	0,9	0,8	0,7	0,3	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01
1	0,016	0,031	0,079	0,158	0,325	0,510	1,963	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
2	0,014	0,028	0,071	0,142	0,289	0,445	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
3	0,014	0,027	0,068	0,137	0,277	0,424	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
4	0,013	0,027	0,067	0,134	0,271	0,414	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
5	0,013	0,026	0,066	0,132	0,267	0,408	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
6	0,013	0,026	0,065	0,131	0,265	0,404	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
7	0,013	0,026	0,065	0,130	0,263	0,402	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
8	0,013	0,026	0,065	0,130	0,262	0,399	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
9	0,013	0,026	0,064	0,129	0,261	0,398	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250
10	0,013	0,026	0,064	0,129	0,260	0,397	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
11	0,013	0,026	0,064	0,129	0,260	0,396	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
12	0,013	0,026	0,064	0,128	0,259	0,395	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
13	0,013	0,026	0,064	0,128	0,259	0,394	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
14	0,013	0,026	0,064	0,128	0,258	0,393	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
15	0,013	0,025	0,064	0,128	0,258	0,393	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
16	0,013	0,025	0,064	0,128	0,258	0,392	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921
17	0,013	0,025	0,064	0,128	0,257	0,392	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898
18	0,013	0,025	0,064	0,127	0,257	0,392	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878
19	0,013	0,025	0,064	0,127	0,257	0,391	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
20	0,013	0,025	0,063	0,127	0,257	0,391	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845
21	0,013	0,025	0,063	0,127	0,257	0,391	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831
22	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,390	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819
23	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,390	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807
24	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,390	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
25	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,390	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787
26	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,390	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
27	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,389	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
28	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,389	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
29	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,389	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756
30	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,389	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750
31	0,013	0,025	0,063	0,127	0,256	0,389	1,054	1,309	1,696	2,040	2,453	2,744
32	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,389	1,054	1,309	1,694	2,037	2,449	2,738
33	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,389	1,053	1,308	1,692	2,035	2,445	2,733
34	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,389	1,052	1,307	1,691	2,032	2,441	2,728
35	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,388	1,052	1,306	1,690	2,030	2,438	2,724
36	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,388	1,052	1,306	1,688	2,028	2,434	2,719
37	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,388	1,051	1,305	1,687	2,026	2,431	2,715
38	0,013	0,025	0,063	0,127	0,255	0,388	1,051	1,304	1,686	2,024	2,429	2,712
39	0,013	0,025	0,063	0,126	0,255	0,388	1,050	1,304	1,685	2,023	2,426	2,708
40	0,013	0,025	0,063	0,126	0,255	0,388	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704
50	0,013	0,025	0,063	0,126	0,255	0,388	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678
60	0,013	0,025	0,063	0,126	0,254	0,387	1,045	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660
70	0,013	0,025	0,063	0,126	0,254	0,387	1,044	1,294	1,667	1,994	2,381	2,648
80	0,013	0,025	0,063	0,126	0,254	0,387	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639
90	0,013	0,025	0,063	0,126	0,254	0,387	1,042	1,291	1,662	1,987	2,368	2,632
100	0,013	0,025	0,063	0,126	0,254	0,386	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626

Tabela. Tablice rozkładu chi-kwadrat P(X>t_α)=α

	0,99	0,98	0,95	0,9	0,8	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01
1	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	1,642	2,706	3,841	5,412	6,635
2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	3,219	4,605	5,991	7,824	9,210
3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	4,642	6,251	7,815	9,837	11,345
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	5,989	7,779	9,488	11,668	13,277
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,343	7,289	9,236	11,070	13,388	15,086
6	0,872	1,134	1,635	2,204	3,070	8,558	10,645	12,592	15,033	16,812
7	1,239	1,564	2,167	2,833	3,822	9,803	12,017	14,067	16,622	18,475
8	1,646	2,032	2,733	3,490	4,594	11,030	13,362	15,507	18,168	20,090
9	2,088	2,532	3,325	4,168	5,380	12,242	14,684	16,919	19,679	21,666
10	2,558	3,059	3,940	4,865	6,179	13,442	15,987	18,307	21,161	23,209
11	3,053	3,609	4,575	5,578	6,989	14,631	17,275	19,675	22,618	24,725
12	3,571	4,178	5,226	6,304	7,807	15,812	18,549	21,026	24,054	26,217
13	4,107	4,765	5,892	7,042	8,634	16,985	19,812	22,362	25,472	27,688
14	4,660	5,368	6,571	7,790	9,467	18,151	21,064	23,685	26,873	29,141
15	5,229	5,985	7,261	8,547	10,307	19,311	22,307	24,996	28,259	30,578
16	5,812	6,614	7,962	9,312	11,152	20,465	23,542	26,296	29,633	32,000
17	6,408	7,255	8,672	10,085	12,002	21,615	24,769	27,587	30,995	33,409
18	7,015	7,906	9,390	10,865	12,857	22,760	25,989	28,869	32,346	34,805
19	7,633	8,567	10,117	11,651	13,716	23,900	27,204	30,144	33,687	36,191
20	8,260	9,237	10,851	12,443	14,578	25,038	28,412	31,410	35,020	37,566
21	8,897	9,915	11,591	13,240	15,445	26,171	29,615	32,671	36,343	38,932
22	9,542	10,600	12,338	14,041	16,314	27,301	30,813	33,924	37,659	40,289
23	10,196	11,293	13,091	14,848	17,187	28,429	32,007	35,172	38,968	41,638
24	10,856	11,992	13,848	15,659	18,062	29,553	33,196	36,415	40,270	42,980
25	11,524	12,697	14,611	16,473	18,940	30,675	34,382	37,652	41,566	44,314
26	12,198	13,409	15,379	17,292	19,820	31,795	35,563	38,885	42,856	45,642
27	12,879	14,125	16,151	18,114	20,703	32,912	36,741	40,113	44,140	46,963
28	13,565	14,847	16,928	18,939	21,588	34,027	37,916	41,337	45,419	48,278
29	14,256	15,574	17,708	19,768	22,475	35,139	39,087	42,557	46,693	49,588
30	14,953	16,306	18,493	20,599	23,364	36,250	40,256	43,773	47,962	50,892
31	15,655	17,042	19,281	21,434	24,255	37,359	41,422	44,985	49,226	52,191
32	16,362	17,783	20,072	22,271	25,148	38,466	42,585	46,194	50,487	53,486
33	17,074	18,527	20,867	23,110	26,042	39,572	43,745	47,400	51,743	54,776
34	17,789	19,275	21,664	23,952	26,938	40,676	44,903	48,602	52,995	56,061
35	18,509	20,027	22,465	24,797	27,836	41,778	46,059	49,802	54,244	57,342
36	19,233	20,783	23,269	25,643	28,735	42,879	47,212	50,998	55,489	58,619
37	19,960	21,542	24,075	26,492	29,635	43,978	48,363	52,192	56,730	59,893
38	20,691	22,304	24,884	27,343	30,537	45,076	49,513	53,384	57,969	61,162
39	21,426	23,069	25,695	28,196	31,441	46,173	50,660	54,572	59,204	62,428
40	22,164	23,838	26,509	29,051	32,345	47,269	51,805	55,758	60,436	63,691
50	29,707	31,664	34,764	37,689	41,449	58,164	63,167	67,505	72,613	76,154
60	37,485	39,699	43,188	46,459	50,641	68,972	74,397	79,082	84,580	88,379
70	45,442	47,893	51,739	55,329	59,898	79,715	85,527	90,531	96,388	100,425
80	53,540	56,213	60,391	64,278	69,207	90,405	96,578	101,879	108,069	112,329
90	61,754	64,635	69,126	73,291	78,558	101,054	107,565	113,145	119,648	124,116
100	70,065	73,142	77,929	82,358	87,945	111,667	118,498	124,342	131,142	135,807

Kontrola wiadomości

Pytania kontrolne:

1. Co to jest zmienna losowa?

2. Co to jest zmienna losowa skokowa (dyskretna)?

3. Co to jest zmienna losowa ciągła?

4. Podaj przykłady rozkładów dyskretnych.

5. Podaj przykłady rozkładów ciągłych.

6. Jakie własności ma dystrybuanta zmiennej losowej skokowej?

7. Jakie własności ma dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej?

8. Podaj własności wartości oczekiwanej.

9. Podaj własności wariancji.

10. Które wykresy funkcji gęstości rozkładów ciągłych są symetryczne względem prostej x=0?

11. Które wykresy funkcji gęstości rozkładów ciągłych są prawostronnie asymetryczne?

12. Co to jest krzywa Gaussa? Jakie ma własności?

13. Co to jest rozkład normalny standaryzowany?

14. Czy są tablice statystyczne z dystrybuantą rozkładu normalnego N(2, 8)?

15. Zapoznaj się z tablicami statystycznymi (dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego, rozkład χ², rozkład t-Studenta). Przypomnij jakie własności miały poszczególne wykresy funkcji gęstości.

Szacowany czas wykonania: 45 min.

Słownik

Doświadczenie losowe - każdy proces, którego wyniku nie jesteśmy w stanie dokładnie przewidzieć

Zdarzenie elementarne - każdy wynik doświadczenia losowego

Przestrzeń zdarzeń elementarnych - zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia (zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Zdarzenie losowe - Podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, zawierający wyróżnione ze względu na daną cechę zdarzenia elementarne

Zmienna losowa - funkcja X, przyporządkowująca każdemu zdarzeniu losowemu ω dokładnie jedną liczbę rzeczywistą X(ω), co można zapisać X: ω∈Ω → X(ω)∈R

BIBLIOGRAFIA:

1. Hellwig Z., Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970

2. Krysicki W., Bartos J., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa 1995, s. 7-135.

3. Luszniewicz A., Statystyka nie jest trudna. Metody wnioskowania statystycznego, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1994

4. Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, 59-70, 89-91.

5. Metody statystyczne w zarządzaniu, pod red. D. Witkowskiej, Wydawnictwo „Menadżer”, Łódź 1999, 9-42.

6. Ostasiewicz S, Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław 1997

7. Sobczyk M., Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s.2783-105.

8. Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 166-227.

9. Wieczorkowska G., Kochański P., Eljaszuk M., Statystyka. Wprowadzenie do analizy danych sondażowych i eksperymentalnych. Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2004.

MODUŁ 5 - ELEMENTY TEORII ESTYMACJI

Wstęp do modułu

Uogólnianie wyników próby losowej na całą populację, z której pochodzi próba, to wnioskowanie statystyczne. Estymacja, której poświęcony jest moduł „Elementy teorii estymacji” jest procesem wnioskowania o numerycznych wartościach nieznanych wielkości charakteryzujących populację generalną na podstawie danych próbkowych.

Spis treści:

1. Podstawowe pojęcia

2. Estymacja punktowa

3. Estymacja przedziałowa

4. Minimalna liczebność próby

1. Podstawowe pojęcia

Proces uogólniania zaobserwowanych w próbie losowej wyników na całą zbiorowość statystyczną nazywamy wnioskowaniem statystycznym. Metody wnioskowania statystycznego obejmują estymację parametrów zbiorowości generalnej oraz weryfikację hipotez statystycznych.

Wnioskowanie statystyczne jako oparte na częściowej informacji dostarcza jedynie wniosków wiarygodnych. Dowolne dwie n-elenentowe próby z populacji są na ogół różne. Wygodnie jest zatem traktować ciąg liczbowy x₁, x₂, …, x_n jako realizację ciągu X₁, X₂, …, X_n, gdzie X_i, i=1, 2, …, n, jest zmienną losową, której zbiorem możliwych wartości są wartości i-tego spośród n wylosowanych elementów. Ciąg zmiennych losowych X₁, X₂, …, X_n nazywa się n-elementową próbą losową, natomiast jeśli zmienne X₁, X₂, …, X_n są niezależne i każda z nich ma rozkład taki jak rozkład badanej cechy populacji, to próbę nazywamy PRÓBĄ PROSTĄ.

Jednym z rodzajów wnioskowania jest estymacja. ESTYMACJA (szacowanie, ocenianie) jest procesem wnioskowania o numerycznych wartościach nieznanych wielkości charakteryzujących populację generalną na podstawie danych próbkowych.

ESTYMATOREM parametru
nazywa się statystykę

(1)

służącą do oszacowania nieznanej wartości parametru zbiorowości generalnej
.

Wyróżnia się dwa rodzaje estymacji:

• ESTYMACJĘ PUNKTOWĄ, czyli metodę szacunku za pomocą której jako wartość parametru zbiorowości generalnej przyjmuje się konkretną wartość estymatora wyznaczonego na podstawie n-elementowej próby

• ESTYMACJĘ PRZEDZIAŁOWĄ, za pomocą której wyznacza się przedział liczbowy, który z ustalonym prawdopodobieństwem zawiera nieznana wartość szacowanego parametru zbiorowości generalnej. Prawdopodobieństwo to nosi nazwę WSPÓŁCZYNNIKA (POZIOMU) UFNOŚCI i oznaczane jest jako 1-α, a znaleziony przedział nazywany jest PRZEDZIAŁEM UFNOŚCI.

Interpretacja poziomu ufności jest następująca: przy wielokrotnym pobieraniu prób n-elementowych i wyznaczaniu na ich podstawie granic przedziałów ufności, średnio w (1-α)⋅100% przypadków otrzymujemy przedziały pokrywające nieznaną wartość
.

2. ESTYMACJA PUNKTOWA

Wartość liczbową
estymatora
policzoną na podstawie realizacji (x₁, x₂, …, x_n) próby prostej (X₁, X₂, …, X_n) nazywamy oceną parametru Q.

Wyrażenie
nazywa się błędem szacunku, a jego miarą jest zwykle
. Wielkość błędu szacunku zależy od doboru próby i od wyboru możliwie najlepszego estymatora.

O wykorzystaniu estymatora dla dokonania oszacowania decydują jego własności, spośród których szczególnie pożądane są:

• nieobciążoność

• zgodność

• efektywność.

Estymatorem zgodnym nazywamy estymator stochastycznie zbieżny do parametru estymowanego, tzn. taki, który dla każdego ε>0 spełnia równość:

(2)

Estymator nieobciążony to taki estymator, którego wartość oczekiwana jest równa estymowanemu parametrowi, tzn.
. Jeśli równość ta nie zachodzi, to estymator nazywa się obciążonym.

Obciążeniem estymatora nazywamy wyrażenie
. (3)

Estymator, dla którego nazywamy estymatorem asymptotycznie nieobciążonym.

Estymator nieobciążony o najmniejszej wariancji nazywamy estymatorem najefektywniejszym. Efektywnością estymatora
nazywamy wyrażenie

(4)

gdzie
oznacza estymator najefektywniejszy. Estymator, dla którego
nazywamy estymatorem asymptotycznie najefektywniejszym.

Estymator
jest dostateczny, jeżeli zawiera wszystkie informacje o parametrze
, które występują w próbie.

Korzystanie z estymatora posiadającego własności zgodności, nieobciążoności i będącego najbardziej efektywnym pozwala najlepiej oszacować nieznany parametr
, ponieważ z dużym prawdopodobieństwem można przyjąć, że wyznaczona ocena estymatora jest bliska rzeczywistej wartości.

Podstawowymi parametrami, które szacowane są dla populacji generalnej są: wartość oczekiwana (średnia), wariancja, odchylenie standardowe, frakcja.

• 
  
  Nieobciążonym, zgodnym i efektywnym estymatorem wartości oczekiwanej (średniej) m w populacji jest średnia w próbie

(5)

• Estymatorem zgodnym, ale obciążonym wariancji σ² w populacji jest wariancja w próbie

(6)

• Nieobciążonym i zgodnym estymatorem wariancji σ² w populacji jest wyrażenie

(7)

W badaniach statystycznych często pojawia się problem oszacowania prawdopodobieństwa wystąpienia danego wariantu cechy (zwanego sukcesem) lub oszacowania, jaki procent zbiorowości generalnej posiada wyróżnioną cechę (ewentualnie wariant cechy). Jest to szczególnie ważne w przypadkach, gdy cecha opisująca zbiorowość jest cechą niemierzalną i podstawową charakterystyką populacji jest frakcja (procent) wyróżnionych elementów, zwana też wskaźnikiem struktury w populacji. Zadanie sprowadza się do estymacji parametru p w rozkładzie dwumianowym

(8)

W przypadku, gdy szacujemy p na podstawie n-elementowej próby prostej, estymatorem zgodnym, nieobciążonym i efektywnym jest częstość względna

(9)

gdzie k - liczba elementów wyróżnionych, zaobserwowanych w n-elementowej próbie.

3.ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Przypomnijmy, że interpretacja poziomu ufności jest następująca: przy wielokrotnym pobieraniu prób n-elementowych i wyznaczaniu na ich podstawie granic przedziałów ufności, otrzymujemy średnio w (1-α)⋅100% przypadków przedziały pokrywające nieznaną wartość
(porównaj rysunek.

Rys. Interpretacja (1-α)⋅100% realizacji przedziałów ufności dla parametru
.

Źródło: Opracowanie własne.

Wzrostowi deklarowanego poziomu ufności odpowiada wzrost przedziału ufności, co prowadzi do znanego paradoksu statystycznego, że im chcemy być bardziej ufni, tym jesteśmy mniej precyzyjni i odwrotnie. Wzrostowi ufności odpowiada wzrost długości przedziałów, a zatem spadek precyzji oszacowania parametru
. Dlatego też nie należy ustalać przesadnie wysokich prawdopodobieństw 1-α, bowiem może odpowiadać im zbyt niska precyzja oszacowań parametrów. Deklarowany poziom ufności zawiera się zazwyczaj w granicach od 0,90 do 0,99.

1. Przedziały ufności dla wartości przeciętnej m

Średnia wartość badanej cechy jest najczęściej stosowanym parametrem populacji generalnej. Estymatorem wartości przeciętnej jest średnia arytmetyczna z próby. Jest ona zmienną losową, ma swój rozkład i spełnia wszystkie własności dobrego estymatora. Konkretna wartość liczbowa średniej arytmetycznej jest punktową oceną wartości oczekiwanej. Dlatego też, wykorzystując rozkład średniej i deklarując poziom ufności 1-α, konstruujemy przedział ufności dla wartości przeciętnej. W zależności od przyjętych założeń, otrzymuje się konkretne przedziały ufności w oparciu o rozkład normalny lub rozkład t-Studenta.

1. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); σ - znane

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzoru:

(10)

gdzie u_α - wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

(11)

Uwaga!

W zależności od typu tablic zawierających dystrybuantę rozkładu normalnego może zajść potrzeba skorzystania z innej zależności. Na przykład dla tablic zamieszczonych w S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 1997, wartość u_α odczytuje się z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

(12)

2. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); σ - nie jest znane, próba - mała

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzoru:

(13)

gdzie t_α,n-1 - wartość odczytana z tablic rozkładu t-Studenta dla poziomu istotności α oraz n-1 stopni swobody, tak aby spełniony był warunek

(14)

Uwaga!

W zależności od typu tablic może zajść potrzeba skorzystania z innej zależności. Jeżeli korzystamy z tablic zbudowanych wyłącznie dla obszaru dwustronnego, chcąc ustalić wartość krytyczną dla obszaru jednostronnego, bierzemy podwojoną wartość poziomu istotności 2α.

3. Rozkład dowolny, σ - nie jest znana, próba - duża

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzoru:

(15)

gdzie u_α - wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

(16)

2. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego

W badaniach statystycznych ze względu na cechę mierzalną do najczęściej szacowanych parametrów populacji obok średniej należy wariancja (lub odchylenie standardowe) badanej cechy. W zależności od przyjętych założeń, otrzymuje się konkretne przedziały ufności w oparciu o rozkład normalny lub rozkład χ².

1. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); próba - mała

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzoru:

(17)

(18)

gdzie:

• 
  wartości odczytane z tablic rozkładu chi-kwadrat dla n-1 stopni swobody w ten sposób, aby spełniały równości:

(19)

(20)

2. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); próba - duża

Przedział ufności wyznaczamy na podstawie wzoru:

(21)

(22)

gdzie u_α - wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

(23)

3. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury (prawdopodobieństwa sukcesu, procentu, odsetka, frakcji)

Nie zawsze badanie statystyczne jest prowadzone ze względu na cechę mierzalną. Czasami badana cecha ma charakter jakościowy. Wtedy, zamiast wartości liczbowej badanej cechy, z badania próbnego uzyskujemy jedynie informację o tym, czy dany element populacji generalnej ma badaną, wyróżnioną cechę jakościową, czy też jej nie ma. Elementy możemy podzielić wówczas na dwie klasy:

• posiadające daną cechę (tj. elementy wyróżnione)

• nie posiadające danej cechy (tj. elementy niewyróżnione).

Podstawowym parametrem szacowanym w przypadku badań statystycznych ze względu na cechę niemierzalną jest frakcja elementów wyróżnionych w populacji, zwana także wskaźnikiem struktury w populacji. Wskaźnik struktury (frakcję) oznacza się zwykle literą p.

Podstawą konstrukcji przedziału ufności dla prawdopodobieństwa sukcesu p jest częstość występowania tego sukcesu, czyli k/n, gdzie k - liczba wystąpień sukcesu w n-elementowej próbie.

Przedział ufności wyznaczamy tylko na podstawie dużej próby (przyjmuje się nawet n≥100) ze wzoru:

(24)

gdzie u_α - wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

(25)

4. WYZNACZANIE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY

Wyznaczenie niezbędnej liczebności próby należy do podstawowych problemów badawczych. Chodzi bowiem o wyznaczenie takiej liczebności próby, która pozwala oszacować podstawowe parametry populacji generalnej z zakładaną dokładnością.

Można wskazać następujące sposoby określania liczebności próby:

• badacz wybiera próbę na podstawie własnych osądów

• liczebność próby jest określona poprzez minimalne liczby potrzebnych w tablicy kontyngencji obserwacji (porównaj testowanie hipotez nieparametrycznych - test niezależności χ²)

• liczebność próby zostaje ograniczona w związku z kosztami (ograniczenia budżetowe)

• ustalenie liczebności próby na podstawie określonego z góry poziomu precyzji (konstruowanie przedziałów ufności).

Praktyczna użyteczność wyznaczonych przedziałów ufności zależy od popełnianego maksymalnego błędu szacunku. Z kolei długość przedziału zależy od współczynnika ufności 1-α oraz liczebności próby n. W calu zapewnienia odpowiedniej dokładności estymacji przy zadanym poziomie ufności istnieje konieczność obliczania niezbędnej liczebności próby dla konstruowanych przedziałów ufności.

Niech cecha X na rozkład normalny N(m, σ). Minimalną liczebność próby, niezbędną do oszacowania wartości m na poziomie ufności 1-α, z maksymalnym błędem szacunku nie przekraczającym
, przy założeniu, że σ² jest znane, obliczamy ze wzoru:

gdzie

u_α - wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby był spełniony warunek

Jeżeli σ² nie jest znane, to na podstawie wstępnej próby liczącej n₀ elementów, przedstawionych w postaci szeregu szczegółowego wyznacza się:

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy t_α,n0-1 dla n₀-1 stopni swobody, tak aby spełniony był warunek

Wówczas:

Uwagi!

• Jeżeli n nie jest liczbą całkowitą, to wynik należy zaokrąglić w górę.

• Jeżeli obliczona liczebność próby jest ze względów praktycznych za duża, to mniejszą liczebność otrzymamy zwiększając maksymalny błąd szacunku, a więc zmniejszając dokładność oszacowania.

Kontrola wiadomości

Pytania kontrolne:

1. Co to jest wnioskowanie statystyczne? Jakie metody obejmuje?

2. Co oznacza pojęcie „estymacja”?

3. Jakie są rodzaje estymacji?

4. Jakie własności estymatora uznawane są za pożądane?

5. Co to jest estymator zgodny?

6. Co to jest estymator nieobciążony?

7. Co to jest estymator efektywny?

8. Co to jest estymator dostateczny?

9. Podaj przykład estymatora zgodnego.

10. Podaj przykład estymatora efektywnego.

11. Podaj przykład estymatora nieobciążonego.

12. Podaj przykład estymatora obciążonego.

13. Uzupełnij zdanie: „Do najczęściej szacowanych parametrów populacji należą:…”.

Problemy do dyskusji:

1. Od czego zależy praktyczna użyteczność wyznaczonych przedziałów ufności?

2. Dlaczego nie należy ustalać przesadnie wysokich poziomów ufności 1-α?

Szacowany czas wykonania: 60 min.

Słownik

Estymacja punktowa - sposób szacunku nieznanej wartości parametru Q populacji, w którym jako wartość tego parametru przyjmuje się wartość estymatora q otrzymaną na podstawie wyników n-elementowej próby losowej

Estymacja przedziałowa - sposób szacunku nieznanej wartości parametru Q populacji za pomocą przedziału liczbowego zwanego przedziałem ufności

Estymator - dowolna statystyka q zastosowana do oszacowania (estymacji) nieznanej wartości parametru Q populacji generalnej

Estymator najefektywniejszy - estymator q parametru Q charakteryzujący się najmniejszą ariancją

Estymator nieobciążony - estymator q mający tę własność, że E(q)=o, tzn., że estymator q pozwala na oszacowanie nieznanej wartości parametru Q bez błędu systematycznego

Estymator zgodny - estymator, który wykazuje zbieżność stochastyczną do parametru Q

Populacja generalna (zbiorowość generalna) - zbiór elementów podlegających badaniu ze względu na jedną lub więcej właściwości (cech), mający przynajmniej jedną właściwość (cechę) wspólną dla wszystkich jego elementów (kwalifikującą je do tego zbioru) oraz przynajmniej jedną właściwość ze względu na którą elementy zbioru mogą się różnić między sobą.

Poziom ufności (współczynnik ufności) - prawdopodobieństwo 1-α oznaczające prawdopodobieństwo z jakim nieznana wartość parametru Q objęta jest (pokryta) przez ten przedział

Próba (próbka) - podlegający badaniu skończony podzbiór populacji generalnej

Przedział ufności - przedział liczbowy charakteryzujący się tym, że z dużym (przyjętym z góry prawdopodobieństwem) pokrywa wartość estymowanego parametru

Bibliografia

1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.

2. Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000, s. 105-133.

3. Greń J., Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 19-50.

4. Krysicki W., Bartos J., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, 38-77.

5. Luszniewicz A., Słaby T., Statystyka stosowana, PWE, Warszawa 1997, s. 118-178.

6. Luszniewicz A., Słaby T., Statystyka z pakietem komputerowym STATISTICA ^TM PL, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa 2001, s. 154-175.

7. Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s. 99-118.

8. Mansfield E., Statistics for Business & Economics. Methods and Applications, Norton&Company, New York, London 1987.

9. Metody statystyczne w zarządzaniu, pod red. D. Witkowskiej, Wydawnictwo „Menadżer”, Łódź 1999, s. 227-310.

10. Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 1997.

11. Sej-Kolasa M., Zielińska A., Excel w statystyce. Materiały do ćwiczeń, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 2004.

12. Sobczyk M., Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s.118-124, 131-151.

13. Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 228-246.

MODUŁ 6 - TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Wstęp do modułu

Uogólnianie wyników próby losowej na całą populację, z której pochodzi próba to wnioskowanie statystyczne. Kolejnym rodzajem wnioskowania statystycznego (po estymacji) jest weryfikacja hipotez. Termin ten oznacza sprawdzanie sądów (przypuszczeń) o populacji, sformułowanych bez zbadania jej całości. Zagadnienie weryfikacji hipotez zostało zaprezentowane w module „Testowanie hipotez statystycznych”.

Spis treści:

1. Wiadomości ogólne

2. Weryfikacja hipotez parametrycznych

3. Weryfikacja hipotez nieparametrycznych

1. WIADOMOSCI OGÓLNE

Proces uogólniania zaobserwowanych w próbie losowej wyników na całą zbiorowość statystyczną nazywamy wnioskowaniem statystycznym. Metody wnioskowania statystycznego obejmują estymację parametrów zbiorowości generalnej oraz weryfikację hipotez statystycznych.

Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej próbki. Hipotezą zerową H₀ nazywamy hipotezę sprawdzaną (testowaną, weryfikowaną). Hipotezą alternatywną H₁ nazywamy hipotezę, którą jesteśmy skłonni przyjąć, gdy odrzucamy hipotezę H₀.

Poniżej zaprezentowano przebieg procedury weryfikacyjnej:

Źródło: Opracowanie własne na podstawie A. Balicki, W. Makać, Reguły wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000, s. 136.

Proces weryfikacji hipotezy przebiega według pewnego schematu postępowania, nazywanego testem statystycznym. Weryfikując daną hipotezę ponosimy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Sytuację wobec jakiej stajemy można ilustruje poniższa tabela.

Test, który przy ustalonym prawdopodobieństwie błędu I rodzaju minimalizuje prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nazywamy testem najmocniejszym dla hipotezy zerowej względem prostej hipotezy alternatywnej.

Tabela poniżej prezentuje możliwe decyzje w procesie testowania hipotez:

Decyzja	Hipoteza H0 jest prawdziwa	Hipoteza H0 jest fałszywa
Brak podstaw aby odrzucić weryfikowaną hipotezę H0	decyzja poprawna	decyzja błędna - błąd II rodzaju
Odrzucić weryfikowaną hipotezę H0	decyzja błędna - błąd I rodzaju	decyzja poprawna

Źródło: W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 79.

Poziomem istotności α nazywamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju. Przyjmujemy je arbitralnie (najczęściej α=0,01 lub α=0,05 lub α=0,1).

Sprawdzianem hipotezy nazywamy taką statystykę T (o znanym rozkładzie), której wartość t policzona na podstawie próby losowej, pozwala na podjęcie decyzji czy odrzucić hipotezę H₀.

Zbiorem (obszarem) krytycznym nazywamy zbiór tych wartości sprawdzianu hipotezy, które przemawiają za odrzuceniem hipotezy H₀. Rozkład sprawdzianu hipotezy określa z jakich tablic należy odczytać wartość krytyczną wyznaczającą obszar krytyczny. Obszar krytyczny może być w zależności od hipotezy alternatywnej zbiorem jednostronnym (prawostronnym lub lewostronnym) bądź zbiorem dwustronnym.

Testy statystyczne są zróżnicowane ze względu na:

• rodzaj porównywanych charakterystyk

• skale pomiaru

• liczbę badanych prób

• zależność bądź niezależność w obrębie prób.

Hipotezy, które dotyczą wyłącznie wartości parametru określonej klasy rozkładów nazywamy HIPOTEZAMI PARAMETRYCZNYMI. Każdą hipotezę, która nie jest parametryczna nazywamy NIEPARAMETRYCZNĄ.

Wykorzystanie parametrycznych testów statystycznych do opracowywania wyników badań naukowych jest ograniczone określonymi założeniami (zmienne mierzalne o rozkładzie normalnym, jednorodność zbioru itd.). Warunkiem użycia tych testów jest więc sprawdzenie założeń. Jeśli nie zostały one spełnione, wyciągnięte wnioski nie są w pełni poprawne lub tracą wiarygodność. Testy te stają się też bezużyteczne dla danych jakościowych i danych typu porządkowego. W tych wszystkich przypadkach stosuje się odpowiednie testy nieparametryczne.

W przypadku pojedynczej próby losowej testy statystyczne ograniczają się w zasadzie do porównywania zgodności charakterystyk z próby z odpowiednimi parametrami populacji (testy parametryczne) bądź do porównywania rozkładów empirycznych z próby z odpowiednimi rozkładami hipotetycznymi w populacji (testy nieparametryczne). W przypadku większej liczby prób, ze względu na charakter zależności między próbami, tworzy się znacznie większe zróżnicowanie w grupie testów parametrycznych i nieparametrycznych.

Próby niezależne to próby nie związane ze sobą żadnymi relacjami czasowymi bądź przestrzennymi. Najczęściej są to próby różnoliczne, na których dokonuje się pomiarów jednokrotnych i niezależnych w czasie i  w przestrzeni. W odróżnieniu od prób niezależnych, próby zależne są powiązane ze sobą pewnymi relacjami. Na próbach tych dokonuje się najczęściej pomiarów wielokrotnych (powtarzalnych w różnych odcinkach czasu). Systematykę testów, uwzględniającą poszczególne kryteria (rodzaj porównywanych charakterystyk, skale pomiaru, liczbę badanych prób, zależność bądź niezależność w obrębie prób) przedstawia poniższy rysunek.

Rys. Podział testów statystycznych

Źródło: S. Mynarski, Analiza danych rynkowych i marketingowych z wykorzystaniem programu STATISTICA, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2003, s. 21.

Testy statystyczne mogą być szeroko stosowane w analizach danych uzyskanych w badaniach ankietowych. Dzięki testom statystycznym można między innymi weryfikować sądy oraz przypuszczenia odnośnie:

• kształtowania się sytuacji rynkowej przedsiębiorstw (itp. przychodów),

• występowania ewentualnych różnic istotnych statystycznie pomiędzy przedsiębiorstwami (itp. współpracującymi z sektorem B+R oraz przedsiębiorstwami niewspółpracującymi),

• występujących zależności (itp. skuteczności oddziaływania instytucji otoczenia biznesu na możliwość korzystania z funduszy UE, zależności między spektrum wprowadzanych innowacji a łączną liczbą tworzonych specjalistycznych stanowisk pracy)

• określenie wpływu czynnika klasyfikującego (itp. rodzaju działalności przedsiębiorstwa) na skalę zmienności zmiennej (itp. przychodów) itp.

Przypomnijmy stosowane wcześniej wzory (wariancja w próbie):

(1)

(2)

2. WERYFIKACJA WYBRANYCH HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Testy parametryczne najczęściej weryfikują sądy o takich parametrach populacji jak średnia arytmetyczna, wariancja i wskaźnik struktury. W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości” . Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀ tzw. hipotezą bezkierunkową lub może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”, tzw. hipotezą kierunkową.

H₀: Θ₁=Θ₂

H₁: Θ₁≠Θ₂ lub H₁: Θ₁<Θ₂ lub H₁: Θ₁>Θ₂

1. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach populacji jednowymiarowej - testy dla średniej

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀, może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”.

H₀: m=m₀

H₁: m≠m₀ lub H₁: m<m₀ lub H₁: m>m₀

1. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); σ- znane

Obliczamy statystykę testową

(3)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: m≠m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: m<m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: m>m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

2. Rozkład populacji - dowolny, wariancja nie jest znana, próba - duża

Obliczamy statystykę testową

(4)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: m≠m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: m<m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: m>m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

3. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); σ - nie jest znane, próba - mała

Obliczamy statystykę testową

(5)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta dla poziomu istotności α oraz n-1 stopni swobody.

Dla H₁: m≠m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - t_α/2,n-1 lub t≥ t_α/2,n-1 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: m<m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - t_α,n-1 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: m>m₀ wartość statystyki obliczona z próby t≥ t_α,n-1 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

Rys. Zbiory krytyczne dla różnych postaci hipotezy alternatywnej (rozkład normalny).

Źródło: opracowanie własne.

Rys. Zbiory krytyczne dla różnych postaci hipotezy alternatywnej (rozkład t-Studenta).

Źródło: opracowanie własne.

2. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach populacji jednowymiarowej - testy dla wariancji

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀, może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”.

H₀: σ²=σ₀²

H₁: σ²≠σ₀² lub H₁: σ²<σ₀² lub H₁: σ²>σ₀²

1. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); m - znane

Obliczamy statystykę testową

(6)

gdzie

(7)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat, dla n stopni swobody oraz dla założonego poziomu istotności α.

Dla H₁: σ²≠σ₀² odczytujemy dwie wartości krytyczne. Wartość statystyki obliczona z próby
lub
powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: σ²<σ₀² odczytujemy jedną wartość krytyczną. Wartość statystyki obliczona z próby χ²≤ χ_α² powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: σ²>σ₀² odczytujemy jedną wartość krytyczną. Wartość statystyki obliczona z próby χ²≥ χ_α² powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

2. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); m - nie jest znane, próba - mała

Obliczamy statystykę testową

(8)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat, dla n-1 stopni swobody oraz dla założonego poziomu istotności α.

Dla H₁: σ²≠σ₀² odczytujemy dwie wartości krytyczne. Wartość statystyki obliczona z próby
lub
powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: σ²<σ₀² odczytujemy jedną wartość krytyczną. Wartość statystyki obliczona z próby χ²≤ χ_α2² powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: σ²>σ₀² odczytujemy jedną wartość krytyczną. Wartość statystyki obliczona z próby χ²≥ χ_α1² powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

Rys. Zbiory krytyczne dla różnych postaci hipotezy alternatywnej (test χ²)

Źródło: opracowanie własne.

3. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); m - nie jest znane; próba - duża

Obliczamy statystykę testową

(9)

Porównujemy ją z wartością krytyczną testu u_α odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H_a: σ²≠σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H_a: σ²<σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H_a: σ²>σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

4. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ); m - znane; próba - duża

Obliczamy statystykę testową

(10)

Porównujemy ją z wartością krytyczną testu u_α odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H_a: σ²≠σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H_a: σ²<σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H_a: σ²>σ₀² wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

3. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach populacji jednowymiarowej - testy dla wskaźnika struktury

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀, może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”.

H₀: p=p₀

H₁: p≠p₀ lub H₁: p<p₀ lub H₁: p>p₀

Niech populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p oznaczającym prawdopodobieństwo, że badana cecha przyjmie wyróżnioną wartość. Chcemy zweryfikować na podstawie n-elementowej próby (n≥100) hipotezę zerową wobec postawionej hipotezy alternatywnej.

Obliczamy statystykę testową

(11)

gdzie k- liczba jednostek o wyróżnionej wartości cechy w n-elementowej próbie.

Porównujemy ją z wartością krytyczną (wartościami krytycznymi) testu u_α odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: p≠p₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: p<p₀ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: p>p₀ wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

4. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach dwóch populacji generalnych - testy dla dwóch średnich

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀, może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”.

H₀: m₁=m₂

H₁: m₁≠m₂ lub H₁: m₁<m₂ lub H₁: m₁>m₂

Dane są dwie zbiorowości generalne o rozkładach normalnych N(m₁, σ₁) i N(m₂, σ₂). Chcemy zweryfikować hipotezę zerową wobec hipotezy alternatywnej. Niech n₁, n₂ oznaczają wielkości prób prostych, wylosowanych z każdej zbiorowości, a 
oraz
oznaczają odpowiednio średnie arytmetyczne i wariancję S² z prób. W zależności od założeń dotyczących zbiorowości generalnych oraz od liczebności prób - sprawdzian hipotezy H₀ ma różną postać i jest związany z rozkładem normalnym lub rozkładem t-Studenta.

1. σ₁ - znane; σ₂ - znane; n₁ ≤30; n₂ ≤30

σ₁ - znane; σ₂ - znane; n₁ >30; n₂ >30

σ_1, σ₂ - nie są znane; n₁ >30; n₂ >30, to

Obliczamy statystykę testową

(12)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: m₁≠m₂ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: m₁<m₂ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: m₁> m₂ wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

2. σ_1, σ₂ - nie są znane; σ₁=σ₂ ; n₁ ≤30; n₂ ≤30

Obliczamy statystykę testową

(13)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (lub wartościami krytycznymi) odczytaną z tablic t-Studenta o r=n₁+n₂-2 stopniach swobody i przy założonym poziomie istotności α.

Dla H_a: m₁≠m₁ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - t_α/2,_r lub t≥ t_α/2,r powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H_a: m₁<m₂ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - t_α,_r powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H_a: m₁> m₂ wartość statystyki obliczona z próby t≥ t_α,_r powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

5. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach dwóch populacji generalnych - testy dla dwóch wariancji

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna jest hipotezą „o większości” .

H₀: σ₁²=σ₂²

H₁: σ₁²>σ₂²

populacje generalne mają rozkłady normalne N(m₁, σ₁) i N(m₂, σ₂); σ_1, σ₂ - nie są znane; n₁ ≤30; n₂ ≤30

Chcemy zweryfikować hipotezę zerową wobec hipotezy alternatywnej. Niech n₁, n₂ oznaczają liczebności prób prostych, wylosowanych z każdej zbiorowości, a 
oznaczają wariancję S₁² z prób. Ze względu na postać hipotezy alternatywnej tak numerujemy zbiorowości, żeby

Obliczamy statystykę testową

(14)

Porównujemy ją z wartością krytyczną F_α odczytaną z tablic F-Snedecora dla r₁=n₁-1 i r₂=n₂-1 stopni swobody, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: σ₁²>σ₂² wartość statystyki obliczona z próby f≥ F_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

Uwaga!

Przedstawiony powyżej test wykorzystuje się najczęściej do sprawdzenia prawdziwości założenia, że σ₁= σ₂, które jest konieczne, aby można było testować hipotezę o równości wartości przeciętnych w dwóch populacjach.

6. testy parametryczne dla wnioskowania o własnościach dwóch populacji generalnych - testy dla dwóch wskaźników struktury

W testach tych hipoteza H₀ jest hipotezą „o równości”. Hipoteza alternatywna, w zależności od pytania sformułowanego w zadaniu, może być prostym zaprzeczeniem hipotezy H₀, może być hipotezą „o większości” lub „o mniejszości”.

H₀: p₁=p₂

H₁: p₁≠p₂ lub H₁: p₁<p₂ lub H₁: p₁>p₂

Niech badana cecha ma w dwóch populacjach generalnych rozkład dwupunktowy z parametrami p₁ i p₂. Z obu populacji losujemy próby proste o liczebnościach n₁ ≥100; n₂ ≥100. Niech k₁/n₁ i k₂/n₂ oznaczają wskaźniki struktury z pierwszej i drugiej próby. Chcemy zweryfikować hipotezę zerową wobec postawionej hipotezy alternatywnej.

Obliczamy statystykę testową

(15)

gdzie

(16)

Porównujemy ją z wartością krytyczną (wartościami krytycznymi) u_α odczytaną z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, przy założonym poziomie istotności α.

Dla H₁: p₁≠p₂ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α/2 lub t≥ u_α/2 powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny dwustronny).

Dla H₁: p₁< p₂ wartość statystyki obliczona z próby t≤ - u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny lewostronny).

Dla H₁: p₁> p₂ wartość statystyki obliczona z próby t≥ u_α powoduje odrzucenie H₀ (zbiór krytyczny prawostronny).

3. WERYFIKACJA WYBRANYCH HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

TESTY NIEPARAMETRYCZNE służą do weryfikacji hipotez dotyczących zgodności rozkładu cechy w populacji z określonym rozkładem teoretycznym, losowości doboru próby czy też zgodności rozkładów w dwóch populacjach.

H₀: F(x) = F₀(x)

H₁: F(x) ≠ F₀(x)

1. test zgodności χ²

Testy zgodności służą do weryfikacji hipotez odnoszących się do postaci rozkładu badanej cechy w populacji. Ich budowa opiera się na ocenie zgodności rozkładu empirycznego, otrzymanego w próbie losowej z rozkładem teoretycznym o określonej postaci.

H₀: F(x) = F₀(x) dystrybuanta badanej cechy F(x) jest zgodna                       z hipotetyczną dystrybuantą określonego typu F₀(x)

H₁: F(x) ≠ F₀(x) dystrybuanta badanej cechy F(x) nie jest zgodna                       z hipotetyczną dystrybuantą określonego typu F₀(x)

Do najczęściej stosowanych testów zgodności należy test zgodności χ² . Test zgodności χ² może być stosowany zarówno do zmiennych skokowych, jak i ciągłych. Próba - duża, a jej wyniki pogrupowane w szereg rozdzielczy o k przedziałach, tak aby n_i≥5. Szereg ten przedstawia rozkład empiryczny badanej zmiennej. Na podstawie rozkładu empirycznego dokonuje się aproksymacji (przybliżenia) założonego w H₀ rozkładu teoretycznego. Dla każdej klasy ustala się prawdopodobieństwo p_i. W przypadku zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo p_i oblicza się jako różnicę dystrybuanty dla granic przedziałów:

p_i=P(x_i0<X<x_i1)=F(x_i1) - F(x_i0) (17)

a następnie oblicza się liczebności teoretyczne   hipotetycznego rozkładu (jakie powinny wystąpić w n-elementowej próbie, gdyby rozkład był zgodny z określonym w H₀).

Obliczamy wartość statystyki:

(18)

Wyznaczamy prawostronny obszar krytyczny. Wartość krytyczną χ_α² odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat, dla k-r-1 stopni swobody (gdzie r jest liczbą parametrów określających rozkład hipotetyczny, które należy wstępnie obliczyć na podstawie próby) oraz dla założonego poziomu istotności α. Wartość statystyki obliczona z próby χ²≥ χ_α² powoduje odrzucenie H₀.

2. test niezależności χ²

Test niezależności χ² pozwala na sprawdzenie, czy dwie badane cechy (niekoniecznie mierzalne) są niezależne. Wymogiem jest duża liczebność próby, której wyniki zostały podzielone na odpowiednie grupy wartości (kategorie) ze względu na obie cechy jednocześnie. Sporządza się zatem tzw. tablicę wielodzielczą (lub inaczej tablicę niezależności / kontyngencji).

H₀: X i Y są cechami niezależnymi

H₁: X i Y są cechami zależnymi

Ocena skojarzenia cech opiera się na statystyce χ², która pokazuje odchylenie zaobserwowanych liczebności dla wyodrębnionych klas obu cech od liczebności, których należałoby oczekiwać, gdyby cechy były niezależne. Statystykę χ² oblicza się dla tablicy o wymiarach r × s, która powstaje w wyniku grupowania badanej zbiorowości według dwóch cech i składa się z r wierszy odpowiadających wariantom jednej cechy oraz s kolumn odpowiadających wariantom drugiej cechy (najmniejsze wymiary tablicy wynoszą 2 × 2 - jest to tzw. tablica czteropolowa). Ze względu na wymaganą liczebność w każdej klasie, zachodzi czasem konieczność połączenia za pomocą spójnika „lub” dwóch kategorii danej cechy w jedną.

Tabela . Możliwe decyzje w procesie testowania hipotez - tablica wielodzielcza.

yj xi	y1	y2	...	ys	ni.
x1	n11	n12	...	n1s	n1.
x2	n21	n22	...	n2s	n2.
…	…	…	…	…	…
xr	nr1	nr2	...	nrs	nr.
n.j	n.j	n.j	...	n.j	n

Źródło: opracowanie własne.

Prawdopodobieństwa brzegowe: p_i.=n_i./n oraz p_.j=n_.j/n (19)

Prawdopodobieństwo p_ij=p_i.p_.j (20)

Dla każdego pola tablicy wyznacza się liczebności teoretyczne

(21)

Po ustaleniu liczebności teoretycznych, zakładających niezależność cech, statystykę oblicza się według wzoru:

(22)

Obszar krytyczny (prawostronny) w tym teście określa relacja P{χ²≥χ²_α}=α, gdzie χ²_α jest wartością krytyczną odczytaną z tablicy rozkładu χ² dla zadanego poziomu istotności α oraz dla (r-1)(s-1) stopni swobody.

Jeżeli χ²≥χ²_α to hipotezę H₀ o niezależności badanych cech należy odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej, natomiast gdy χ²<χ²_α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Miarą zależności jest współczynnik zbieżności T-Czuprowa (bazujący na wartości statystyki χ²) postaci:

(
23)

Gdy r=s to 0≤T≤1. Gdy r≠s to T może być znacznie mniejsze od 1.

Kontrola wiadomości

Pytania kontrolne:

1. Co nazywamy hipotezą statystyczną?

2. W jakim celu stosuje się testowanie hipotez?

3. Jaki jest schemat procedury weryfikacyjnej?

4. Jakiego typu obszary krytyczne mogą wystąpić w hipotezach parametrycznych? Od czego to zależy?

5. Jakiego typu obszar krytyczny występuje w teście zgodności χ²?

6. Jakiego typu obszar krytyczny występuje w teście niezależności χ²?

7. Od czego zależy wybór testu statystycznego?

8. Jakie znasz przykłady testowania hipotez nieparametrycznych?

9. Co to jest poziom istotności? Jaki jest jego związek z błędem I rodzaju?

10. Czego dotyczą hipotezy parametryczne?

11. Czego dotyczą hipotezy nieparametryczne?

12. W jakim celu stosuje się test zgodności χ²?

13. W jakim celu stosuje się test niezależności χ²?

Problemy do dyskusji:

1. Zapoznaj się z różnymi typami tablic statystycznych zawartych w podręcznikach do statystyki (dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego, rozkład chi-kwadrat, rozkład t-Studenta, rozkład F-Snedecora). Jakie poziomy istotności spotyka się najczęściej?

2. Czy poziom istotności może przyjąć wartość α=2? Dlaczego? Jakie wartości może przyjmować α?

Szacowany czas wykonania: 60 min.

Słownik

Błąd pierwszego rodzaju - błąd polegający na tym, że w trakcie weryfikacji hipotezy statystycznej podjęto decyzję o odrzuceniu hipotezy prawdziwej

Błąd drugiego rodzaju - możliwy do popełnienia przy sprawdzaniu hipotezy statystycznej błąd polegający na przyjęciu hipotezy fałszywej

Hipoteza statystyczna - dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu populacji generalnej

Hipoteza parametryczna - hipoteza statystyczna sformułowana w stosunku do wartości parametru w rozkładzie populacji generalnej znanego typu

Hipoteza nieparametryczna - hipoteza statystyczna precyzująca typ rozkładu populacji generalnej

Hipoteza zerowa (H₀) - hipoteza statystyczna (parametryczna lub nieparametryczna) bezpośrednio sprawdzana za pomocą testu

Hipoteza alternatywna (H₁) - hipoteza statystyczna konkurująca w teście z hipotezą zerową w ten sposób, że ilekroć podejmuje się decyzję o odrzuceniu hipotezy zerowej, tyle razy przyjmuje się hipotezę alternatywną

Obszar krytyczny testu - obszar mający tę właściwość, że ilekroć uzyskana w teście wartość odpowiedniej statystyki trafi do tego obszaru, podejmuje się decyzję o odrzuceniu hipotezy zerowej i przyjęciu hipotezy alternatywnej

Poziom istotności α - prawdopodobieństwo mierzące szansę popełnienia podczas weryfikacji hipotezy statystycznej błędu pierwszego rodzaju. Najczęściej bierze się pod uwagę następujące wartości poziomu istotności: 0,1; 0,05; 0,01 i 0,001.

Test statystyczny - „narzędzie statystyczne”, za pomocą którego dokonuje się weryfikacji hipotez statystycznych. Wynikiem zastosowania testu statystycznego jest decyzja o przyjęciu lub odrzuceniu sprawdzanej hipotezy statystycznej. Test statystyczny to reguła postępowania, która na podstawie wyników próby ma doprowadzić do decyzji przyjęcia lub odrzucenia postawionej hipotezy statystycznej.

Wnioskowanie statystyczne polega na uogólnianiu wyników uzyskanych dla próby na całą populację generalną z wykorzystaniem metod probabilistycznych.

Bibliografia

1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.

2. Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000, s. 134-187.

3. Greń J., Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 51-152.

4. Krysicki W., Bartos J., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 78-148.

5. Luszniewicz A., Słaby T., Statystyka stosowana, PWE, Warszawa 1997, s. 138-178.

6. Luszniewicz A., Słaby T., Statystyka z pakietem komputerowym STATISTICA ^TM PL, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa 2001, s. 176-221.

7. Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s. 119-180.

8. Mansfield E., Statistics for Business & Economics. Methods and Applications, Norton&Company, New York, London 1987.

9. Metody statystyczne w zarządzaniu, pod red. D. Witkowskiej, Wydawnictwo „Menadżer”, Łódź 1999, s. 179-226.

10. Mynarski S., Analiza danych rynkowych i marketingowych z wykorzystaniem programu STATISTICA, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2003.

11. Mynarski S. , Badania rynkowe w warunkach konkurencji, Oficyna Wydawnicza Fogra, Kraków 1995.

12. Mynarski S., Praktyczne metody analizy danych rynkowych i marketingowych, Kantor Wydawniczy Zakamycze, Zakamycze 2000.

13. Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 1997.

14. Sej-Kolasa M., Zielińska A., Excel w statystyce. Materiały do ćwiczeń, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego, Wrocław 2004.

15. Sobczyk M., Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s.125-128, 152-189.

16. Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 247-284.

Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 166.

Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 167.

Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 167.

Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 167.

Por. Starzyńska W., Statystyka praktyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 188 oraz Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000, s. 42.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.93.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Por. Krysicki W., Bartos J., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 5; Luszniewicz A., Słaby T., Statystyka z pakietem komputerowym STATISTICA ^TM PL, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa 2001, s. 6.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Krysicki W., Bartos J., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 5.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.94.

Zob. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 81.

Zob. A. Stanisz, Przystępny kurs statystyki w oparciu o program STATISTICA PL na przykładach z medycyny, Kraków 1998, s. 263-292. Por. S. Mynarski, Badania rynkowe w warunkach konkurencji, Oficyna Wydawnicza Fogra, Kraków 1995, s. 55-61.

Należy jednak pamiętać, że klasy, na jakie dzieli się wyniki próby powinny być odpowiednio liczne. Większość autorów określa liczność klas na „co najmniej 5”, ale J. Greń podaje już „co najmniej 8”. Por. J. Greń, Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 104; A. Luszniewicz, T. Słaby, Statystyka z pakietem komputerowym STATISTICA ^TM PL, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa 2001, s. 210.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Greń J., Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 15.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.96.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Greń J., Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 15.

Maliński M., Statystyka matematyczna wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2000, s.95.

Greń J., Modele i zadania statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1970, s. 15.

Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2000, s.7.

11

-u_α

lewostronny zbiór krytyczny

α

0

x

f(x)

dwustronny zbiór krytyczny

u_α/2

-u_α/2

α/2

α/2

0

x

f(x)

Odrzucić H₀

Nie odrzucać H₀

Podjęcie decyzji

Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

Określenie poziomu istotności 

Obliczenie statystyki na podstawie próby

Wybór statystyki testowej

Sformułowanie hipotezy zerowej H₀ i alternatywnej H₁

f(x)

x

0

α

prawostronny zbiór krytyczny

u_α

f(x)

x

0

α/2

α/2

-t_α/2

t_α/2

dwustronny zbiór krytyczny

f(x)

x

0

α

lewostronny zbiór krytyczny

-t_α

f(x)

x

0

α

prawostronny zbiór krytyczny

t_α

x

dwustronny zbiór krytyczny

f(x)

x

χ_α²

α

lewostronny zbiór krytyczny

f(x)

α/2

α/2

f(x)

x

α

prawostronny zbiór krytyczny

χ_α²

Test z

Test t

Test F

(ilorazu wariancji)

Wilcoxona

Friedmana

Znaków

Mediany

Kruskala- Wallisa

U Manna-Whitneya

Walda-Wolfowitza

Kołmogorowa-Smirnowa

Mc Nemara

Q Cochrana

Niezależności Chi-kwadrat

Test z

Test t

Kołmogorowa

Serii

Test zgodności

Chi-kwadrat

NIEZALEŻNE

NIEZALEŻNE

ZALEŻNE

ZALEŻNE

ZALEŻNE

NIEZALEŻNE

DWIE I WIĘCEJ

DWIE I WIĘCEJ

JEDNA

DWIE I WIĘCEJ

JEDNA

PRZEDZIAŁOWA I ILORAZOWA

PORZĄDKOWA

NOMINALNA

PARAMETRYCZNE

TESTY STATYSTYCZNE

S K A L E

NIEPARAMETRYCZNE

Z M I E N N E

f(x)

b

x

a

f(x)

x

f(x)

f(x)

x

f(x)

x

0

---