11. Termodynamika - przemiany gazowe

1. Dwa naczynia o jednakowych objętościach zawierają powietrze, jedno o temperaturze 100 stopni Celsjusza i ciśnieniu 150 kPa, drugie o temperaturze 0 stopni Celsjusza i ciśnieniu 100 kPa. Naczynia zostały połączone. Po połączeniu powietrze miało temperaturę 75 stopni Celsjusza. Jakie było ciśnienie? [134 kPa]

V1=v2

T1=373K

P=150kPa

T2=273K

P=100kPa

2. Objętość pęcherzyka powietrza w miarę wypływania z dna jeziora na powierzchnię powiększa się trzy razy. Obliczyć głębokość jeziora. Ciśnienie atmosferyczne 100 kPa. Temperatura wody jest wszędzie jednakowa. [20 m]

Dla ułatwienia przyjąć musimy, że temperatura jest stała i nie zmienia się w funkcji głębokości. Utożsamiamy powietrze z gazem doskonałym i piszemy jego równanie: Dla ułatwienia przyjąć musimy, że temperatura jest stała i nie zmienia się w funkcji głębokości. Utożsamiamy powietrze z gazem doskonałym i piszemy jego równanie:

pV=nRT

Jako, że T=const., wyrazenie po prawej stronie będzie stałe, stały będzie też iloczyn objętości i ciśnienia. Ciśnienie panujące wewnątrz pęcherzyka równe jest ciśnieniu wody dookoła - stąd mamy doczynienia z przemianą izotermiczną:

pV=const.

Ciśnienie działające na pęcherzyk będzie sumę ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wody, zależnego od głębokości. Indeksem 1 oznaczmy wszelkie wielkości odnoszące się do dna jeziora, indeksem 2 - do powierzchni:

(p_1 +p_a)V_1=(p_2 +p_a)V_2

Wiemy, że v_2=3V_1 i p_2=0; obliczamy p_1:

p_1 V_1 +p_a V_1=3p_a V_1

p_1=2p_a

Zapisujemy teraz ciśnienie wody w funkcji głębokości:

p(h)=\rho gh, gdzie \rho to gęstość wody

Teraz:

p_1=\rho gh =2p_a

h=\frac{2p_a}{\rho g}

Przymując za ciśnienie atmosferyczne nominalną wartość 101300 Pa, za gęstość wody 1000 kg/m^3 i za przysp. ziemskie 9.81 m/s², otrzymać powinniśmy circa 20,6 m.

3. Stalowy zbiornik zawiera azot pod ciśnieniem 1200 [kPa]. Temperatura gazu wynosi 27 oC. Zbiornik zabezpieczony jest zaworem bezpieczeństwa, który otwiera się gdy ciśnienie gazu przekroczy 1500 [kPa]. Zbiornik wystawiono na działanie promieni słonecznych, w wyniku czego temperatura gazu wzrosła do 77 oC. Podaj, czy w opisanej sytuacji nastąpi otwarcie zaworu. [nie, 1400 kPa]

V=const
T₁=27+273=300K
T₂=77+273=350K
p₁/T₁=p₂/T₂
p₂=p₁T₂/T₁
p₂=1200 kPa×350K/300K
p₂=1400kPa ,zawór nie otworzy się

4. W objętości 0,4 [m3] znajduje się masa 12 [g] gazu, którego temperatura wynosi 177[°C]. W jakiej temperaturze gęstość tego gazu jest równa 0,06 [kg/m3], jeżeli ciśnienie pozostaje stałe? [-48C]

dane: m=12g V1=4dm3 t1=177*C = 450K =T1 d2 = 6*10^-3g/cm3
p = const
szukane: T2
Z równania Clapeyrona pV = (m/M)RT mamy

d = pM/RT lub d*T = pM/R = const bo p = const
Zatem d1*T1 = d2*T2 czyli T2 = d1*T1/d2 = [m/V1]*[T1/d2] =
T2 = [12g/4ooocm3]*[450K/o,006g] =
T2 = 225K = -48stC

5. Z butli o pojemności 0,01 m3 ulatnia się gaz o masie molowej 32 g/mol, W temperaturze 280 K manometr wskazuje ciśnienie 5·106 Pa. Po pewnym czasie w temperaturze 290 K manometr wskazał to samo ciśnienie. Obliczyć masę gazu, który się ulotnił. [23,7 g]

M=m-m2

Podstawiasz pod wzory

6. Temperaturę pewnego gazu podwyższono z 25°C do 100°C. Jego ciśnienie nie zmieniło się. Jak zmieniła się objętość tego gazu? [wzrosła o 25%]

P=const p1=p2

T₁  = 100°C = 373K

T₂ = 23° = 298K

p₁V₁ / T₁ = p1 · V2 / T2

V1/V2=p1*T1/p1T2

V1/v2=373/298 =1,25

Czyli V1 jest większe o 23% od V2

7. Gaz o masie m=0,012 kg umieszczono w zbiorniku z ruchomą pokrywą. W temperaturze t1=127 stopni Celsjusza gaz zajmuje objętość V1=4·10-3 m3. W jakiej temperaturze gęstość tego gazu osiągnęłaby wartość d2=6 kg/m3 przy założeniu,że ciśnienie pozostaje stałe. [-73 stopni Celsjusza]

Dane:
m=0,012kg
v=0,004m³
T=400K
p=const
d=6kg/m³
Szukane:
T2, V2

Rozwiązanie:
p*v=n*R*T

p*v/T=n*R
p*v/T=p*v2/T2
v/T=v2/T2
T2=v2*T/v
d=m/v2
v2=m/d (podstaw to do równania T2=v2*T/T2)
T2=m*T/dv=0,012*417/(6*0,004)=200K= -73st Celsjusza

8. Do ścianek cylindra wypełnionego gazem doskonałym przylega szczelnie ruchomy tłok, który dzieli objętość cylindra w stosunku 1:2. Ciśnienie gazu i temperatura są początkowo w obu częściach cylindra jednakowe. Gaz zawarty w pierwszej części cylindra ogrzewamy do temperatury 127 [C], a gaz w drugiej części cylindra oziębiamy do -73 [C]. Jakie położenie zajmie tłok po wyrównaniu ciśnień w obu częściach cylindra? [tłok będzie po środku cylindra, czyli podzieli cylinder w stosunku 1:1]

12. Teoria względności

9. Elektron porusza się z szybkością 0,5 c. Oblicz energię kinetyczną elektronu. Masa spoczynkowa elektronu 9 x 10-31 kg. [1,26 ∙ 10-14J]

1. Elektron porusza się z v = 0,6c . Oblicz masę tego elekronu i jego energię kinetyczną.
   
   Założyłem sobie, że skoro 1eV = 1.6 * 10^-19 J to masę obliczę z energii spoczynkowej. Dobrze? więc,
   
   no i z tego mi wyszlo, że m = 2 * 10^-4 kg
   Mając już m liczę E. kinetyczna i otrzymuje 4,5 * 10^12 J
   
   3. Oblicz prędkość elekronu, przy której jego masa jest 9 razy większa od masy spoczynkowej.
   
   Nie wiem, czy dobrze to robie ale przyrównałem
   
   Wyszło mi z tego
   

10. Rakieta porusza się z szybkością v = 0,8 c. Dla pilota rakiety czas trwania lotu wyniósł 1 dobę (24 godzin). Jaki czas upłynął na Ziemi? [40 godzin]

11. Akceleratory wytwarzają dwa strumienie cząstek, które poruszają się naprzeciw siebie. Szybkość pojedynczej cząstki w każdej z wiązek, mierzona w laboratoryjnym układzie odniesienia wynosi 0,9 c. Ile wynosi względna szybkość cząstek? [0,9945 c]

12. Oblicz, jak długo świeciłaby żarówka o mocy 100 W, jeśli źródłem jej energii byłaby anihilacja 1 kg materii i 1 kg antymaterii? [58 milionów lat]

Dane:                                                        Szukane:

P = 100 W                                          t = ?

m = 1 kg + 1 kg = 2 kg

c = 3·10⁸ m/s

Obliczmy, ile energii uzyskamy z anihilacji 2 kg masy ze wzoru (sprawdź jednostkę):

 

E = m·c²

 

Energia ta zostanie zużyta na pracę prądu elektrycznego przepływającego przez żarówkę:

E = W = P·t

stąd

t=1,8*10 do potęgi 17/100[s]=1,6*10 do potęgi 15

 

Jest to bardzo duża liczba. Np. rok ma około 32 miliony sekund (3,2·10⁷ s). Żarówka świeciłaby tą energią około 50 milionów lat.

 

Odp.: Żarówka świeciłaby tą energią około 50 milionów lat.

13. Rakieta porusza się z szybkością v = 0,8 c. Obserwator na Ziemi zmierzył czas trwania pewnego zjawiska na Ziemi i otrzymał wynik 800 s. Jak długo trwało to zjawisko wg pilota rakiety? [1333 s]

Z treści zadania wynika, że obserwator na Ziemi jest nieruchomy wobec zjawiska. Liczysz kinetyczną dylatację czasu:

dt=y*dt0
y=1pierwiastek(1-v^2c^2) - czynnik Lorentza

gdzie

dt0 = 800s - czas trwania w układzie nieruchomym
v = 0,8 c - prędkość obserwatora poruszającego się

dt=1333,(3) s

14. Oblicz wielkość skrócenia pręta o długości 1 m (w układzie nieruchomym), jeśli pręt porusza się względem obserwatora z szybkością 0,5 c. [0,134 m]

15. Przy jakiej szybkości masa cząstki jest 10 razy większa niż jej masa spoczynkowa? [2,985 x 108 m/s]

Dane:                                                        Szukane:

m = 2 m_o                                          v = ?

               wychodzisz z tego wzoru

          

  

16. Gdy elektron porusza się z prędkością 4/5 prędkości światła, to jak zmienia się jego masa? [stosunek jego masy do masy spoczynkowej wynosi 5/3]

m = m₀ ÷ √(1 - v² ÷ c²)
v = 0,8c => v² = 0,64c²
m = m₀ ÷ √(1 - 0,64) = m₀ ÷ √0,36 = m₀ ÷ 0,6 = m₀ × 1⅔

m ÷ m₀ = m₀ × 1⅔ ÷ m₀ = 1⅔.

---