zagadnienia matematyczne, INNE KIERUNKI, matematyka


ZESPOLONE

(def)Sprzężeniem liczby zespolonej Z=x+yi gdzie (x,y)εR nazywamy liczbę zespoloną Z=x-yi;

(def)Modułem liczby zespolonej Z=x+yi nazywamy liczbę rzeczywistą sqrt(x^2+y^2) i oznaczamy |Z|;

(def)Argumentem liczby zespolonej Z=x+yi ≠0 x,yεR nazywamy każdą liczbę rzeczywistą γεR spełniającą układ równań 0x08 graphic
. Argumentem głównym liczby zespolonej nazywamy jej argument spełniający warunek γε[0,2Π);

Postać trygo.

(def)Każdą liczbę zespoloną Z=x+yi można przedstawić w postaci Z=r(cosγ+isinγ) gdzie r≥0 γεR r=|Z| γ=ArgZ;

(tw)Dwie liczby zespolone Z1, Z2 postaci trygonometrycznej są równe Z1=|Z1|(cosγ1+isinγ1) Z2=|Z2|(cosγ2+isinγ2) Z1=Z2 ↔|Z1|=|Z2| γ1=γ2+2kΠ kεC;

(tw)Mnożenie i dzielenie liczb zespolonej postaci trygonometrycznej Z1*Z2=|Z1||Z2|[cos(γ1+γ2)+isin(γ1+γ2)] Z1/Z2=|Z1|/|Z2|[cos(γ1-γ2)+isin(γ1-γ2)];

Potęgowanie

(tw)Potęgowanie liczb zespolonych(wzór de Moiore'a) Niech Z=|Z|(cosγ+isinγ) Zn=|Z|n(cosnγ+isinnγ);

Pierwiastkowanie

(def)Pierwiastkiem stopni naturalnego n z liczby zespolonej Z nazywamy, każdą liczbę zespoloną W taką, że Wn=Z. Zbiór pierwiastków stopnia n oznaczmy 0x01 graphic

(tw)Każda liczba zespolona Z przedstawiona w postaci trygonometrycznej ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać 0x01 graphic
k=0,1,2,3...,n-1;

Postać wykładnicza

(def)Dla liczby rzeczywistej γ liczbę zespoloną cosγ+isinγ oznaczamy przez eiγ eiγ=cosγ+isinγ;

(tw)Wzory Eulera 0x01 graphic
0x01 graphic
;

(tw)Każdą liczbę zespoloną Z można zapisać w postaci wykładniczej Z=|Z|eiγ γεR γ=argZ

WIELOMIAMY

Wielomianem zespolonym stopnia n nazywamy funkcję W!C->C określoną wzorem 0x01 graphic
nεN∪{0}

Dzielenie wielomianów

Mówimy, że wielomian S(x) jest ilorazem a wielomian R(x) resztą z dzielenia wielomianu P(x) przez wielomian Q(x) gdy P(x)=Q(x)*S(x)+R(x), stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika. Jeżeli reszta jest wielomianem zerowym to mówimy, że wielomian P(x) jest podzielny przez wielomian Q(x);

(tw)Wielomian zespolony W(z)=az^2+bz+c a,b,cεC, a≠0 ma dwa pierwiastki zespolone 0x01 graphic
0x01 graphic

(tw)Zasadnicze tw. algebry. Każdy wielomian st. Dodatniego o wspólczynnikach zespolonych ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony.

(tw)1 Każdy wielomian zespolony stopnia nεN ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotnie). 2 niech wielomian W st. nεN ma pierwiastki zespolone Zj o krotności kj kjεN k1+k2+k3+....+kn=n wówczas 0x01 graphic

(tw) o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego. Niech 0x01 graphic
wówczas liczba zespolona Z0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)⇔ liczba Z0 jest k-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu;

(tw) o rozkładzie wielomianu. Niech W(x) będzie wielomianem rzeczywistym st. nεN i niech xj j=(1,...,R) będą jego pierwiastkami rzeczywistymi o krotności kj i niech Zi, Zi Jmzi>0 będą pierwiastkami zespolonymi tego wielomianu o krotności li przy czym musi zachodzić związek k1+k2+k3+...+kr+2(l1+l2+...+ls)=n wówczas ten wielomian 0x01 graphic
pi=-2Rez qi=|Zi|^2 i=1,....,s. Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma przynajmniej 1 pierwiastek rzeczywisty.

MACIERZE

Macierz to funkcja która parze liczb naturalnych (i,j) i,jεN przyporządkowuje pewną liczbę aij (aijεR, C);

Transpozycja

Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz AT której zamieniono wiersze i kolumny. Macierz symetryczna - jest to macierz kwadratowa o tej własności że AT=A. Macierz asymetryczna(skośnie symetryczna) - to jest macierz kwadratowa AT=-A;

Wyznacznik

Inwersja - niech a1,a2,a3,...,an -będzie skończonym ciagiem różnych liczb rzezczywistych. Para liczb aj, ak tego ciągu tworzy inwersję gdy aj>ak dla j<k;

Minorem elementu aij macierzy kwadratowej st. n A nazywamy wyznacznik stopnia n-1 macierzy powstałej z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza oraz j-kolumny;

Dopełnieniem algebraicznym Aij elementu aij jest jego minor pomnożony przez (-1)i+j

(tw)Laplace'a. Dowolny wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza lub kolumny i ich dopełnień algebraicznych 0x01 graphic
;

Kombinacja liniowa- mówimy że element jest kombinacją liniową innych elementów jeżeli jest sumą iloczynów pewnej liczby przez te elementy;

Własności wyznaczników: 1. Wartość wyznacznika nie ulega zmainie, gdy w jego macierzy zmieniamy wiersza na kolumny i odwrotnie det A= det AT, 2. jeżeli 1 z kolumn wyznacznika skałada się z samych zer to wyznacznik równy jest zero, 3. przestawienie dwóch kolumn zmienia wartość wyznacznika na przeciwny, 4. jeżeli 2 kolumny są identyczne to wartość wyznacznika jest równa zero, 5. pomnożenie 1 kolumny w wyznaczniku przez liczbę jest równoważne z pomnożeniem całego wyznacznika prze tą liczbę, 6. 0x01 graphic
, 7. jeżeli 1 kolumna jest kombinacją liniową pozostałych to wyznacznik jest równy zero, 8. jeżeli wyznacznik jest równy zero to przynajmniej 1 z jego kolumn jest kombinacją liniową pozostałych, 9. jeżeli do pewnej kolumny w wyznaczniku dodamy kombinację liniową pozostałych to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie;

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem elementów na głównej przekątnej;

(tw)Cramera. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozw. jest ono dane wzorem 0x01 graphic
k=1,2,...,n Ak - powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b1,b2,...,bn. det A=0 i det Ak=0 to układ posiada nieskończenie wiele rozwiązan(nieoznaczony). detA=0 0x01 graphic
to układ jest sprzeczny nie ma rozwiazań. Gdy 0x01 graphic
to układ niejednorodny;

(tw)Układ jednorodny (tzn bk=0 b=1,2,...,n) równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe ⇔ wyznacznik główny jest równy zero

Macierzą odwrotna do macierzy nieosobliwej A(tzn |A|≠0) nazywamy macierz 0x01 graphic
. macierz AD jest to macierzą transponowana dopełnień algebraicznych elementów macierzy A;

(def)Rząd macierzy.1. macierz zerowa ma rząd zero. 2. jeżeli nie wszystkie elementy macierzy są zerami, ale wszystkie wyjęte z niej wyznaczniki stopnia 2 lub wyższego są równe 0, to macierz ma rząd 1. 3. jeżeli wszystkie wyznaczniki stopnia wyższego niż r wyjęte z macierzy są równe zeru, a prznajmniej jeden wyznacznik stopnia r jest różny od zera to macierz ma rząd r.

(tw)rząd macierzy nie ulega zmainie gdy:1. kolumny ppomnożymy przez liczby różne od zera. 2. przestawimy kolumny. 3. do jednej kolumny dodamy kombinacje liniowe innych kolumn(to samo dla wierszy);

(tw) kroneckera-Capelliego, Układ równań liniowych (L) jest rozwiązywalny ⇔ rzA=rzU gdy rzA=rzU=n to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rzA=rzU=r<n to wóczas układ (L) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnyhc od n-r parametrów;

W układach równań gdy m=n możemy zapisać w postaci macierzy A*X=B X=B*A-1;

FUNKCJE

Niech g=f(x) będzie różnowartościowa w przedziale [a,b] i niech przedział [c,d] będzie zbiorem wartości tej funkcji wówczas każdej yε[c,d] odpowiada dokładnie jedna wartość xε[a,b] taka, że f(x)=y. Tę wartość x oznaczamy przez g(y) zatem x=g(y) określa w zbiorze [c,d] funkcję zmiennej y. Nazywamy ją funkcją odwrotną do funkcji y=f(x);

Funkcja złożona. Dane są 2 funkcje y=f(u) u=g(x) pierwsza określona w przedziale [α,β] natomiast 2 w przedziale [a,b]. Jeżeli wartość u=g(x) należy do przedziału [α,β] to zmienną g możemy uważać jako zależną od x. Mówumy wówczas, że y jest funkcją x złożoną z funkcji y=f(u) i u=g(x) y=f(g(x)) y- funkcja wewnętrzna f- funkcja zewnętrzna;

Granica funkcji 0x08 graphic

Pochodna i różniczka

(def)Niech f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 obierzemy w tym otoczeniu dowolną liczbę x1≠x0 i oznaczymy x1-x0=Δx (x1=x0+Δx). Różnicę Δx=x1-x0 nazywamy przyrostem zmiennej x natomiast różnicę f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) nazywamy przyrostem funkcji, a iloraz przyrostu Δf/Δx=f(x1)-f(x0)/x1-x0=f(x0+Δx)-f(x0)/ Δx nazywamy ilorazem różnicowym

(def)Pochodna funkcji. Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę przy Δx->0 (x1->x0) w punkcie x0 to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcje x0 i oznaczamy f'(x0) 0x08 graphic
;

Różniczka funkcji f(x0+Δx)=f(x0)+f'(xo)dx

Pochodne wyższych rzędów. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w pewnym przedziale i pochodna jest f. Różniczkowalną to jej pochodna nazywasię 2 pochodną f(x) i oznaczany f(n)(x). Funkcję f(x) mającą w przedziale [a,b] n pochodnych nazywamy n-krotnie różniczkowalną. Jeśli ponadto funkcja f(n)(x) jest ciągła to mówimy, że funkcja jest w przedziale [a,b] klasy Cn.

(tw)wzór Leibnitca. Niech f i g będą funkcjami n-krotnie różniczkowalnymi w pewnym przedziale wówczas 0x01 graphic

(tw)o wartości średniej Lagronge'a. Jeżeli 1. fεC[a,b], 2. fεC1(a,b) to istenieje punkt cε(a,b) taki że f'(c)=f(b)-f(a)/b-a. Wniosek 1 jeżeli f'(x)=0 dla xε[a,b] f(x)=const. Wniosek 2 Jeżeli f'(x)>0[<0] to f(x)↑[f(x)↓] w [a,b];

(tw) Rolle'a. Jeżeli 1. fεC[a,b] 2. fεC1(a,b) 3. f(a)=f(b) to istnieje cε(a,b) takie że f'(c)=0;

(tw) Taylora. Jeżeli f(x) jest klasy Cn[x0,x0+h] to istnieje punkt c=x0+θh θε(0,1) taki, że 0x01 graphic
;

(tw)Maclourina. X0=0 niech f(x) spełnia założenia Taylora h=x 0x01 graphic
;

(tw) Couchy'ego. Jeżeli 1. f,yεC[a,b] 2. f,yεC1(a,b) 3. g'(x)≠0 dla xε(a,b), to istnieje taki punkt cε(a,b) taki że f'(c) /f'(c)=f'(b)-f'(a)/g'(b)-g'(a);

(tw) reguła de L'Hospitala. Jeżeli 1. f(x), g(x) 0x01 graphic
2. jeżeli istnieje granica 0x01 graphic
to istanieje również 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
(tw.) to dotyczy również granic jednostronnych oraz x0 jest +∝ -∝

Symbole nieoznaczone 1. 0*∝ 0x01 graphic
2. ∝-∝ 0x01 graphic
3. 00 0 1 0x01 graphic
;

Maksima i minima.

(def)Mówimy, że funkcja f określona w pewnym otoczeniu x0 ma w tym pumkcie max[min] lokalne jeśli f(x0)>f(x) dla xε(x0,δ) f(x0)<f(x) dla xε(x0,δ);

(tw)warunek konieczny istnienia extremum. Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x0 extermum to pochodna funkcji w tym punkcie =0 f'(x0)=0;

(tw)warunek dostateczny istnienie extremum. 1. jeżeli f'(x) zmienia znak w punkcie x0 to funkcja f ma w tym punkcie extremum lokalne dokładniej 1:f'(x)>0 dla xε(x0-δ,x0) i f'(x)<0 xε(x0,x0+δ) w punkcie x0 funkcja ma max, 2: 1:f'(x)<0 dla xε(x0-δ,x0) i f'(x)>0 xε(x0,x0+δ) w punkcie x0 funkcja ma min. 2. jeżeli pochodna w punkcie f'(x0)=0 i f''(x0)≠0 to funkcja ma w punkcie x0 extremum jest to max gdy f''(x0)>0 a min f''(x0)<0.

Ogólnie: Jeżeli f'(x0)=0 f(n-1)(x0)=0 natomiast f(n)(x0) ≠0 to wówczas gdy n jest nieparzyste to extremum nie istnieje a gdy n jest parzyste, to funkcja ma extremum w punkcie x0 i gdy f(n)(x0)>0 to w x0 jest min, a gdy f(n)(x0)<0 to w x0 jest max;

Wklęsłość, wypukłość.

(def)Funkcja jest ∪ w przedziale (a,b) gdy 0x08 graphic
f(λx1+(1-λ)x2)≤ λf(x1)+(1-λ)f(x2);

(def)Funkcja jest ∩ gdy w przedziale (a,b) 0x08 graphic
f(λx1+(1-λ)x2)≥ λf(x1)+(1-λ)f(x2);

(tw)Funkcja f(x) jest ∪ w przedziale (a,b) gdy 0x08 graphic
f''(x)>0 natomiast jest ∩ w przedziale (a,b) 0x08 graphic
f''(x)<0;

(def)Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f(x) gdy funkcja jest określona w punkcie i ma w nim pochodną i w przedziale (x0-δ,x0) jest wypukła[wklęsła] a w przedziale (x0,x0+δ) jest wklęsła[wypukła];

(tw)warunek konieczny istnienia punktów przegięcia. Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f(x) gdy f''(x0) istnieje i jest f''(x0) =0;

(tw)Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia. Jeżeli f'' zmienia znak w punkcie x0 to punkt o współrzędnych (x0,f(x0) jest punktem przegięcia wykresu;

CAŁKA NIEOZNACZONA

(def)Niech f(x) będzie funkcja określoną w pewnym przedziale [a,b] każdą funkcję F(x) różniczkowalną w tym przedziale [a,b] i spełniającą w nim związek F'(x)=f(x) nazywamy funkcją pierwotna funkcji f(x);

(tw)Dwie różne funkcje pierwotne F(x) i G(x) tej samej funkcji f(x) różnią się w przedziale [a,b] tylko o stałą;

(def)Całą nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] nazywamy każdą jeje funkcję pierwotną ჲf(x)dx=F(x)+c;

Całkowanie przez podstawienie.

(tw)Niech f(x) będzie f. Ciągą w przedziale (ၡ,ၢ) i niech F(t) będzie f. Pierwotną tzn. ჲf(x)dt=F(t) niech ponadto t=g(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a,b) spełniającą w nim nierówność ၡ<g(x)<ၢ i mającą pochodną g'(x) wówczas ჲf(g(x))*g'(x)dx=ჲf(t)dt dla t=g(x);

Całkowanie przez części

(tw)Niech U(x) i V(x) będą funkcjami mającymi w pewnym przedziale ciągłe pochodne U'(x) V'(x) wówczas ჲU(x)+V'(x)dx=U(x)*V(x)- ჲV(x)*U'(x)dx V'(x)=dV/dx U'(x)=dU/dx ჲUdV=U*V-ჲVdU;

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów W(x)/G(x). Funkcja wymierna postaci 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
nazywa się ułamkiem prostym to k,lၥN oraz a,b,c,p,q są stałymi b2-4q<0;

0x01 graphic
mogą zajść następujące przypadki: 1. mႳn wówczas dzielimy Wm(x) przez Wn(x) 0x01 graphic
, 2. m<n iloraz Wm(x)/Wn(x) rozkładamy na sumę ułamków prostych po uprzednim rozłożeniu wielomianu Wn(x) na czynniki 0x01 graphic

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
prawo konstytucyjne-Wybór kilkudziesięciu zagadnień egzamina, INNE KIERUNKI, prawo
Zagadnienia z prawa, INNE KIERUNKI, prawo
Prawo organizacji społecznych - zagadnienia egzaminacyjne, INNE KIERUNKI, prawo
ściąga z matmy6 (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy2 (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
Matematyka finansowa - zadania 2, INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy5 (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
algorytmika i metody numeryczne - wykład, INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy (ustny)2, INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy7 (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy3 (zadania), INNE KIERUNKI, matematyka
Matematyka finansowa - zadania, INNE KIERUNKI, matematyka
ściąga z matmy (ustny) DUZE, INNE KIERUNKI, matematyka

więcej podobnych podstron