CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w x₀ jeżeli

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału

ODOSOBNIONY PUNKT NIECIĄGŁOŚCI

Def. Odosobnionym punktem nieciągłości nazywamy punkt x ∈ R, w którym funkcja nie jest ciągła, ale jest ciągła w (sąsiedztwie tego punktu) w pewnym zbiorze (x₀ - δ, x₀) ∪ (x₀, x₀ + δ).

KLASYFIKACJA PUNKTÓW NIECIĄGŁOŚCI

Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica jednostronna.

Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości drugiego rodzaju jeżeli choć jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą.

WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH

Tw. Jeżeli funkcja ciągła w punkcie x₀ spełnia warunek f (x₀) > 0 lub f (x₀) < 0, to istnieje przedział (x₀ - δ, x₀ + δ) w którym funkcja przyjmuje wartości (tylko) dodatnie (ujemne).

Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje wszystkie wartości leżące pomiędzy f (a) i f (b).

Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.

POCHODNA FUNKCJI

Def. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x₀ jeżeli istnieje skończona granica:

Styczna do wykresu y=f(x) w (x₀,f(x₀)):

y - f(x₀) =f' (x₀) (x-x₀)

RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI

Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie x₀ jest w tym punkcie ciągła

Przykład:

Nie istnieje pochodna w punkcie 0!

Tw. Jeżeli f i g są różniczkowalne to:

POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ

Tw. Jeżeli f(x) jest rosnąca (malejąca), istnieje pochodna f `(a) ≠ 0 , jeżeli b= f (a) to f^-1 (x) jest różniczkowalna w punkcie b oraz pochodna tej funkcji odwrotnej w punkcie b

Przykład:

POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Tw. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie x oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie g(x), to istnieje pochodna funkcji złożonej fog w punkcie x oraz (fog)'(x)=f'(g(x))*g'(x).

Przykład:

Przykład:

PRZEDSTAWIENIE PRZYROSTU FUNKCJI

Tw. Jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie (Ux₀) punktu x₀ oraz istnieje pochodna f ` (x₀), to dla każdego h takiego, że x + h ∈ Ux₀ zachodzi wzór:

f(x₀+h)-f(x₀)=f'(x₀)*h+α(h)*h,

przy czym:

(x→0) lim α(h)=0.

RÓŻNICZKA FUNKCJI f W PUNKCIE X₀

Def. df (x₀) = f ' (x₀) * h.

h = Δx

Def. df (x₀) f ' (x₀) * Δx

x→ df (x)

Przykład:

f (x₀+h) ≈ f (x₀) + f ' (x₀) * h

więc h = 0,01

TWIERDZENIE DE L'HOSPITALA

Stosujemy tylko kiedy występuje symbol nieoznaczony)

Tw. (Z: - założenie)

są określone i różniczkowalne w

sąsiedztwie punktu x₀ (Sx₀).

Teza (T) Istnieje:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład :(nieskończony)

ASYMPTOTY

Asymptoty pionowe:

Def. x = x₀ jest asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) jeśli:

Przykład:

x = 3 nie jest asymptotą pionową lewostronną

x = 3 jest as. pionową prawostronną.

Asymptoty ukośne:

Def. y = ax + b jest asymptotą ukośną f(x) w + ∞ (- ∞) jeżeli:

(x→∞) lim [ f(x) - ax + b)] = 0

Jeżeli istnieją skończone granice

to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f(x) w + ∞ (- ∞).

Przykład:

y= x + 1 as. ukośna w +∞.

TWIERDZENIE ROLLE'A

Tw. Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), oraz f(a) = f(b), to istnieje c ∈ (a,b) taki, że f ` (c) = 0.

Przykład:

Udowodnić, że równanie x³ - 3x + a = 0 nie może mieć 2 różnych pierwiastków ∈<0,1>. Załóżmy, że x₁, x₂ ∈ <0,1>, x₁ ≠ x₂ i x₁³ - 3x₁ + a = 0

x₂³ - 3x₂ + a = 0

f(x)= x³ - 3x + a

f(x₁)=f(x₂)=0

niech: x₁ < x₂

<x₁,x₂>

f ' (c) = 0

3c² - 3 = 0 ⇔ c = ± 1

0 ≤ x₁ < c < x₂ ≤ 1 - sprzeczność

TWIERDZENIE LAGRANGE'A

Tw. Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), to istnieje c ∈ (a,b), taki, że:

Wnioski:

1) funkcja jest funkcją stałą w (a,b) ⇔ f ` (x) = 0 w (a,b)

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) = f (x₂)

2) jeżeli f ` (x) > 0 w (a,b) to funkcja jest funkcją rosnącą

w (a,b) x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

3) jeżeli f ` (x) < 0 w (a,b) to funkcja jest funkcją malejącą

w (a,b)

EKSTREMUM

Def. Funkcja ma w x₀ maksimum (minimum) lokalne, jeżeli

- max. właściwe

Warunek konieczny (WK) na istnienie ekstremum lokalnego:

Jeżeli funkcja ma pochodną f ` (x<sub>0</sub>) i w x<sub>0</sub> jest przyjęte ekstremum, x<sub>0</sub> f ` (x) = 0

Warunek wystarczający ekstremum:

1) jeżeli funkcja jest różniczkowalna w Sx₀, ciągła w x₀ to:

• jeżeli f ` (x) < 0 w Sx<sub>0</sub><sup>-</sup>, f ` (x) > 0 w Sx₀⁺, to funkcja ma w x₀ minimum lokalne właściwe

• jeżeli f ` (x) > 0 w Sx<sub>0</sub><sup>-</sup>, f ` (x) < 0 w Sx₀^-, to funkcja ma w x₀ minimum lokalne właściwe

2) jeżeli f ` (x₀) = 0 to:

• funkcja ma w x₀ max lokalne właściwe, jeżeli f `' (x₀) < 0

• funkcja ma w x₀ max lokalne właściwe, jeżeli f `' (x₀) > 0

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ

Def. Funkcje f (x) nazywamy wypukłą (wklęsłą) w (a,b), jeżeli wykres tej funkcji w (a,b) znajduje się pod (nad) sieczną łączącą punkty (a, f (a)), (b, f (b))

∪ - wypukła, ∩ - wklęsła

Tw. Jeżeli f `' (x) > 0 w (a,b), to funkcja jest wypukła w (a,b)

Tw. Jeżeli f `' (x) < 0 w (a,b), to funkcja jest wklęsła w (a,b)

PUNKT PRZEGIĘCIA

Def. Punkt (x₀ , f (x₀)) jest punktem przegięcia funkcji f(x), jeżeli funkcja jest funkcją wklęsłą (wypukłą) w sąsiedztwie lewostronnym Sx^-; wypukłą (wklęsłą) w sąsiedztwie prawostronnym Sx⁺.

CAŁKA NIEOZNACZONA

Def. Funkcję pierwotną funkcji f (x) na przedziale I nazywamy każdą różniczkowalną funkcję F(x) spełniającą warunek F'(x) = f (x)

f (x) = sin x F (x) = -cos x

Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale I ma w tym przedziale funkcję pierwotną

-cos x + 3 (dodać dowolną stałą i zawsze otrzymamy

funkcję pierwotną)

Tw. Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) w przedziale I, to:

1) F(x)+ c , c∈R też jest funkcją pierwotną

2) Każdą funkcję pierwotną ∅(x) można przedstawić

w postaci ∅(x) = F (x) + c dla pewnego c∈R.

{F(x)+ c , c∈R}

Def. Całką nieoznaczoną funkcji f (x) na przedziale I nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f (x) na przedziale I.

Def. Funkcja dla której istnieje funkcja pierwotna nazywa się funkcją całkowalną.

Własności całki nieoznaczonej:

AD 2) f - całkowalna

AD 3) f, g - całkowalne

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE

Tw. Jeżeli funkcja t = ϕ (x) jest różniczkowalna w przedziale „i” oraz przekształca przedział „i” na przedział „j”, w którym funkcja f(t) jest całkowalna, to

Przykład:

Przykład:

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

Tw. Jeżeli funkcje U(x) i V(x) mają ciągłe pochodne w przedziale I, to

Przykład:

FUNKCJE WYMIERNE

1) w(x) jest funkcją wymierną niewłaściwą, jeżeli k ≥ n

2) w(x) jest funkcją wymierną właściwą, jeżeli k < n

Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.

Przykład:

Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną w postaci

Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną w postaci

Tw. Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych

Przykład:

CAŁKA RIEMANA

Def. Jeżeli dla każdego ciągu podziałów normalnego, ciąg sum częściowych dąży do tej samej granicy, niezależnej od wyboru punktów pośrednich, to granicą tą nazywamy całką Riemana funkcji f w przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem

Funkcja całkowalna w sensie Riemana w przedziale <a,b> to funkcja 0 której mówi się R-całkowalna

Tw. Każda funkcja ciągła w przedziale <a,b> jest w tym przedziale R-całkowalna

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

1) Całki niewłaściwe I-go rodzaju

Niech funkcja będzie określona w <a,∞) i całkowalna w sensie Riemana w każdym <a,b> dla b>a

Ta całka niewłaściwa jest zbieżna jeżeli ta granica istnieje i jest skończona. W pozostałych przypadkach ta całka jest rozbieżna.

2) Całki niewłaściwe II-go rodzaju

Niech funkcja będzie określona i nieograniczona w <a,b) i całkowalna w sensie Riemana w każdym przedziale <a,c> dla a < c < b

Jeżeli funkcja jest nieograniczona w (b,a>, całkowalna w (c,a>, a > c >b, to

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---