Definicja układów współrzędnych stosowanych w opracowaniach analitycznych.

Układy współrzędnych przestrzen­nych:

- układ współrzędnych terenowych,

- lokalny układ współrzędnych fotogrametrycznych,

- przestrzenny układ współrzędnych zdjęcia.

Dla stereogramu zdjęć lotniczych wzajemną relację pomiędzy wyróżnionymi układami przedstawiono na rys.1

Rys.1 Sposób definicji układów współrzędnych stosowanych w opracowaniach analitycznych

Układ współrzędnych terenowych.

Układ współrzędnych terenowych (X, Y, Z) definiuje się w przestrzeni przedmiotowej jako prawoskrętny układ ortogonalny. Definicji tej nie spełniają najczęściej układy współrzędnych geodezyjnych, dlatego też istnieją trudności z bezpośrednim ich wykorzystaniem w opracowaniach fotogrametrycznych.

Zazwyczaj oś X układu terenowego jest zgodna, z kierunkiem osi szeregu zdjęć lotniczych. Początek układu może być dowolny, jednak dla większego zespołu zdjęć jest on najczęściej przyjmowany pośrodku opracowywanego terenu.

Dla tego układu współrzędnych ustalono, że osią pierwszą jest oś X, drugą oś Y, natomiast dla osi Z przyjęto dodatni kierunek zwrotu do góry.

W układzie terenowym przedstawiane są ostateczne rezultaty opracowa­nia fotogrametrycznego. Jest to możliwe przy znajomości współrzędnych X, Y, Z, punktów osnowy odwzorowanych na zdjęciach wykorzystywanych w opracowaniu. W układzie tym definiuje się położenie wiązki promieni homologicznych za pomocą sześciu elementów zwanych elementami orien­tacji zewnętrznej. Są to trzy wielkości liniowe określające położenie środ­ka rzutów zdjęcia (X_s, Y_s, Z_s) oraz trzy kąty wyrażające nachylenia osi układu przestrzennego zdjęcia względem osi układu terenowego (ω, φ, κ), (rys. 1).

Układ współrzędnych fotogrametrycznych.

W wielu opracowaniach wyznaczanie współrzędnych punktów w układzie terenowym realizuje się dwuetapowo. W pierwszym etapie określa się współ­rzędne punktów w układzie lokalnym dla pojedynczego stereogramu lub sze­regu zdjęć. Takie postępowanie umożliwia rekonstrukcję geometryczną opra­cowywanego terenu lub obiektu na drodze spełnienia tylko wzajemnych relacji między zdjęciami. W rezultacie powstaje model podobny do obiektu (w posta­ci dyskretnej) bez dokładnej znajomości jego skali oraz orientacji przestrzen­nej. Drugi etap tego typu opracowania to transformacja przestrzenna współ­rzędnych punktów z układu fotogrametrycznego do układu terenowego. Ze względu na sposób budowy modelu obiektu na pierwszym etapie transforma­cja przestrzenna ma charakter transformacji przez podobieństwo.

Wewnętrzne zależności pomiędzy wiązkami służącymi do rekonstrukcji modelu określa pięć niezależnych elementów orientacji zewnętrznej zdjęć spośród dwunastu (trzy współrzędne środka rzutów i trzy kąty obrotu dla każdego zdjęcia).

Praktycznie wyróżnia się dwa zespoły parametrów definiujących orientację wzajemną zdjęć:

1) kąty obrotu wiązek z przyjęciem nachylenia poprzecznego zdjęcia lewe­go za zerowe,

2) orientację zewnętrzną drugiego zdjęcia wyrażoną w układzie przestrzen­nym zdjęcia pierwszego z pominięciem współrzędnej X środka rzutów drugie­go zdjęcia; wartość tej współrzędnej wpływa jedynie na skalę odtwarzanego modelu.

Przedstawione sposoby definiowania orientacji wzajemnej są zależne od przyjętych układów współrzędnych fotogrametrycznych.

Rys. 2. Układ orientacji wzajemnej zdjęć określony środkami rzutów zdjęć tworzących

Stereogram

W pierwszym przypadku oś X tego układu przechodzi przez środki rzutów zdjęć tworzących stereogram, a oś kamery lewego zdjęcia leży w płaszczyźnie XOZ tego układu (rys. 2). Należy zauważyć, że w rozpatrywanym przypad­ku następujące elementy orientacji zewnętrznej przyjmują wartość zerową:

— trzy współrzędne lewego środka rzutów X'_s, Y'_s, Z'_s,

— dwie współrzędne prawego środka rzutów Y”_s, Z”_s,

— nachylenie poprzeczne lewego zdjęcia ω'.

Rys.3. Układ orientacji wzajemnej zdjęć określony przez przestrzenny układ lewego zdjęcia

W drugim przypadku osie układu fotogrametrycznego pokrywają się z osia­mi przestrzennego układu lewego zdjęcia (rys.3). Taka parametryzacja orien­tacji wzajemnej prowadzi do ustalenia jako zerowych elementów orientacji zewnętrznej lewego zdjęcia

(X '_s = Y'_s = Z'_s = ω' = φ' = κ' =0) oraz dowolnej wartości X"_s prawego zdjęcia równej b_x.

Przestrzenny układ współrzędnych zdjęcia.

Podstawowymi danymi pełniącymi rolę obserwacji w rozwiązaniu anality­cznym są współrzędne tłowe. Wielkości te są określane w wyniku pomiaru na zdjęciach przy użyciu specjalnych instrumentów fotogrametrycznych zwanych monokomparatorami lub stereokomparatorami. Celem takiego pomiaru jest rekonstrukcja wiązki promieni rzutujących danego zobrazowania. Określenie współrzędnych punktów jest realizowane w płaskim ortogonalnym układzie na zdjęciu, zwanym układem tłowym.

Za początek układu tłowego przyjmuje się punkt główny zdjęcia (tj. rzut ortogonalny środka rzutów na płaszczyznę tłową zdjęcia).

Dla zdjęć lotniczych oś x układu tłowego ma kierunek równoległy do osi szeregu zdjęć. W przypadku obserwacji stereoskopowych oś ta jest zdefinio­wana przez środki rzutów zdjęć tworzących stereogram.

Dla zdjęć naziemnych oś x układu tłowego przechodzi przez poziome znaczki tłowe fotogramu.

Rekonstrukcja wiązki, która jest pierw­szym etapem opracowań analitycznych wymaga przyjęcia układu przestrzennego pozwalającego na matematyczny zapis zaobserwowanych promieni. Warunek ten jest spełniony przez przestrzenny układ współrzędnych zdjęcia zdefiniowany w spo­sób następujący:

- początek układu stanowi środek rzutów zdjęcia,

- osie x, y tego układu są równoległe do osi x', y' układu tłowego zdjęcia,

- kierunek zwrotu osi z przyjmuje się w ten sposób, aby z wcześniej zdefinio­wanymi osiami x, y został utworzony ortogonalny układ prawoskrętny.

negatyw

Rys. 4. Definicja przestrzennego układu zdjęcia lotniczego

Na rys.4 przedstawiono przestrzenny układ dla pozytywu i negatywu zdjęć lotni­czych. Jak wynika z tego rysunku, współ­rzędne x, y w przypadku obserwacji pozytywu i negatywu są takie same. Natomiast trzecia współrzędna różni się co do znaku i równa się odległości obrazu c_k.

Stosując zapis wektorowy, wybrany promień zaobserwowanej wiązki mo­żemy zapisać w postaci:

• dla obserwacji na pozytywie zdjęcia

(1)

• dla obserwacji na negatywie zdjęcia

(2)

Elementarne zadania analityczne.

Transformacja układów.

Transformację przestrzenną współrzędnych zbioru punktów z jednego układu współrzędnych do drugiego stosuje się przy dwuetapowym sposobie rozwiązania, bądź przy wtórnym przetwarzaniu wyników opracowania foto­grametrycznego.

Relację pomiędzy współrzędnymi punktu wyrażonymi w dwóch układach opisują równania typu:

(3)

W zapisie wektorowo-macierzowym równania te przyjmują postać:

(4)

Widzimy więc, że wektor współrzędnych punktu w układzie odniesienia równa się sumie wektora translacji początku układu przeliczanego oraz prze­kształconego wektora współrzędnych punktu w układzie przeliczanym.

W fotogrametrii najczęstszym typem przekształcania jest podobieństwo. Zastosowanie innego typu przekształcenia powinno mieć odpowiednią moty­wację geometryczną.

Macierz A dla przekształcenia przez podobieństwo, przy zachowaniu nie­zmienności długości wektora, powinna się charakteryzować następującą włas­nością:

(5)

Macierz A posiada przedstawioną własność, jeżeli pomiędzy jej wierszami istnieją następujące zależności:

δ_ij = O, jeżeli i
j; δ_ij = 1, jeżeli i = j.

Dodatkowo wyznacznik tej macierzy powinien być równy +1.

Układ wyjściowy (x, y, z) jest obracany kolejno wokół osi X (l oś obrotu), Y (II oś obrotu) i Z (III oś obrotu) o wartości kątów ω , φ, κ:

a₁₁ = cos φ cos κ,

a₁₂ = -cos φ sin κ,

a₁₃ = sin φ,

a₂₁ = cos ω sin κ + sin ω sin φ cos κ,

a₂₂ = cos ω cos κ -sin ω sin φ sin κ, (6)

a₂₃ = -sin ω cos φ,

a₃₁ = sin ω sin κ - cos ω sin φ cos κ,

a₃₂ = sin ω cos κ +cos ω sin φ sin κ,

a₃₃ = cos ω cos φ.

W wielu zadaniach fotogrametrycznych kąty obrotu są wartościami mały­mi, dla których można przyjąć, że ich funkcje:

cos dα= 1, a sin dα = dα. (7)

Dla takiego przypadku macierz A przyjmuje postać:

(8)

Stosowanie małej macierzy obrotu dA jest wygodne ze względu na linio­wą postać wyznaczanych niewiadomych (jeżeli zachodzi potrzeba analityczne­go określania wartości kątów obrotów). Jednak, jeżeli wyznaczane wielkości nie spełniają kryterium „wartości małych" wyznaczenie właściwych niewiado­mych wymaga stosowania procesu iteracyjnego. Ostatecznymi wartościami niewiadomych w takim postępowaniu jest suma wartości przybliżonej niewia­domej plus poprawki otrzymane w kolejnych iteracjach. Proces iteracyjny uważa się za zakończony, jeżeli poprawki do niewiadomych w kolejnej iteracji są nieznaczące.

Praktyczna realizacja transformacji współrzędnych przestrzennych punktu polegająca na wyznaczeniu wektora translacji (X_s, Y_s, Z_s), współczynnika zmiany skali k oraz kątów obrotów ω, φ, κ wymaga wykonania następują­cych etapów obliczeniowych:

1. Wyznaczenia środków ciężkości układów współrzędnych:

(9)

gdzie: i = 1, ..., n — liczba punktów wspólnych znanych w obu układach współrzędnych

(10)

2. Przesunięcia początków układów do środka ciężkości:

(11)

3. Określenia współczynnika zmiany skali:

(12)

4. Wyznaczenia elementów macierzy obrotu dla wartości przybliżonych elementów kątowych ω₀, φ₀, κ₀.

5. Przeliczenia współrzędnych punktu z układu przeliczanego do układu odniesienia:

(13)

6. W celu wyznaczenia poprawek dω , dφ, dκ, ułożenia równania:

(14)

7. Obliczenia wartości niewiadomych kątów obrotów:

ω = ω_o + dω φ = φ_o + dφ κ = κ_o + dκ (15)

Jeżeli wyznaczone wartości są mało dokładne, powtarza się czynności od 4 do 7, przyjmując wartości wyznaczone jako przybliżone.

Właściwa transformacja jest realizowana po wyznaczeniu ostatecznych wartości kątów obrotu na podstawie wzorów przedstawionych w p. 5.

Wyznaczanie elementów orientacji wzajemnej zdjęć lotniczych.

Elementy orientacji wzajemnej definiują wzajemne usytuowania dwóch zdjęć tworzących stereogram. W przypadku zdjęć lotniczych elementy te są na ogół nieznane ze względu na wykonywanie zdjęć z pokładu samolotu lub śmigłowca. Podstawą wyznaczenia parametrów orientacji wzajemnej jest po­miar paralaksy poprzecznej na stereogramie.

Dla każdego z punktów, dla którego zaobserwowano paralaksę poprzeczną, można przedstawić następującą zależność funkcyjną:

(16)

Jeżeli liczba punktów, w których pomierzono paralaksę poprzeczną, jest równa lub większa od pięciu, to niewiadome elementy orientacji wzajemnej określa się poprzez odpowiednie rozwiązanie układu równań, traktując powyższe równa­nie jako równanie poprawek względem niewiadomych. Przy takim postępowaniu każdy obserwowany punkt na stereogramie może brać udział w wyznaczaniu niewiadomych.

Przyjmując, że paralaksę poprzeczną na stereogramie mierzy się w sześciu standardowych punktach rozmieszczonych jak na rys. 5. , niewiadome ele­menty orientacji wzajemnej można obliczyć bezpośrednio ze wzorów:

(17)

przy jednoczesnej kontroli

(18)

Wartości b i a są parametrami wyznaczenia dla danych równań i muszą być zachowane przy wykonywaniu pomiaru paralaksy na poszczególnych punk­tach. Praktycznie, aby ten warunek speł­nić, obserwacje należy rozpocząć od ob­serwacji punktów 1 i 2, które są punktami głównymi zdjęć tworzących stereogram. Następnie należy ustalić odległość a w ten sposób, aby wielkość ta była możli­wie największa, a jednocześnie umożli­wiała wykonanie obserwacji paralaksy poprzecznej na wszystkich punktach bocz­nych (3, 4, 5, 6) bez potrzeby jej zmiany. Po ustaleniu wartości a punkty boczne (tj. górne i dolne) znajduje się w ten sposób, że na liczniku x instrumentu pomiarowego nastawia się wartość współ­rzędnej x pomierzonej dla punktu 7 lub 2, a na liczniku y — odpowiednio wartość y dla tych punktów zwiększoną lub zmniejszoną o wartość α.

Pomiar na punktach bocznych ograni­cza się jedynie do eliminacji paralaksy podłużnej i poprzecznej oraz ich rejes­tracji. Ewentualna zmiana miejsca obserwacji w celu polepszenia warunków pomiaru paralaksy poprzecznej jest niedopuszczalna, gdyż prowadzi to do naruszenia przyjętej konfiguracji obserwowanych punktów i w konsekwencji do błędnego wyznaczenia elementów orientacji wzajemnej.

Przekształcenie zdjęcia.

Zdjęcia lotnicze charakteryzują się dowolną orientacją zewnętrzną wynika­jącą ze sposobu ich wykonywania, jednak w opracowaniach fotogrametrycz­nych wyróżnia się dwa szczególne przypadki wzajemnego usytuowania zdjęć tworzących stereogram. Jest to przypadek zdjęć normalnych i zwróconych. Zdjęcia normalne posiadają osie wzajemnie równoległe i równocześnie prostopadłe do bazy stereogramu, natomiast w przypadku zdjęć zwróconych zacho­wana jest jedynie wzajemna równoległość osi zdjęć tworzących stereogram. Wyznaczanie współrzędnych przestrzennych w układzie stereogramu takich zdjęć jest znacznie prostsze niż dla przypadku dowolnego zdjęć. Dlatego też niektóre sposoby wyznaczania współrzędnych przestrzennych polegają na przekształcaniu zdjęć oryginalnych na zdjęcia matematyczne o założonym usytuowaniu względem układu odniesienia. Korzystając z wyznaczonych elementów orientacji wzajemnej, stereogram rzeczywistych zdjęć lotniczych można sprowadzić do przypadku zdjęć normalnych.

Dla każdego zdjęcia tworzącego stereogram należy indywidualnie wiązkę promieni homologicznych wyrazić w przestrzennym układzie orientacji wzajemnej, a następnie wykonać rzutowanie każdego punktu obrazu wzdłuż jego promienia homologicznego na płaszczyznę tworzonego zdjęcia matematyczne­go (rys. 6).

Rys. 6 Zasada matematycznego tworzenia zdjęcia o zerowych elementach orientacji zewnętrznej

Realizacja pierwszego etapu przekształcania zdjęć polega na wykonaniu obrotu układu współrzędnych wiązki o zadane parametry. Parametrami tymi są wartości orientacji wzajemnej zdjęć:

- dla zdjęcia lewego dω' =0, dφ', dκ',

- dla zdjęcia prawego dω", dφ", dκ".

Operację tę dla zdjęcia lewego można zapisać w postaci:

(19)

Ponieważ płaszczyzna zdjęcia tworzonego jest prostopadła do osi z układu, w którym wyrażono usytuowanie wiązki promieni homologicznych, współ­rzędne tłowe na tym zdjęciu można określić z zależności:

(20

Najczęściej przyjmuje się, że odległość obrazu tworzonego zdjęcia jest identyczna jak zdjęcia oryginalnego, czyli:

Wtedy współrzędne tłowe zdjęć przekształconych są wyznaczane ze wzo­rów:

(21)

Dla stereogramu opisane przekształcenie wykonuje się dla każdego zdjęcia indywidualnie, wykorzystując wzory (19), (21).

Przestrzenne wcięcie w przód dla przypadku zdjęć zwróconych.

Wykonanie kolejnych zadań elementarnych:

— rekonstrukcji wiązki,

— wyznaczenie orientacji wzajemnej,

— przekształcenie zdjęć,

pozwala na zbudowanie przestrzennego modelu terenu w formie numerycznej

(dyskretnej).

Przestrzenne wcięcie w przód polega na wyznaczeniu punktów przecięć par promieni homologicznych przy znanej wzajemnej orientacji wiązek.

Zastosowanie etapu przekształcania zdjęć w przypadku zdjęć lotniczych prowadzi do otrzymania stereogramu zdjęć normalnych, przy wykorzystaniu jedynie elementów orientacji wzajemnej, lub zdjęć zwróconych, jeżeli znana jest ich orientacja zewnętrzna.

Zależność geometryczną między współrzędnymi tłowymi punktów zdjęć zwróconych a poszukiwanymi współrzędnymi punktów modelu przedstawia rys. 7

Jeśli wzajemne usytuowanie wiązek jest określone poprawnie, to promienie homologiczne przecinają się w punktach modelu, których współrzędne prze­strzenne są zdefiniowane równaniami:

(22)

W równaniach tych nieznanymi wartościami są jedynie współczynniki λ_i , μ_i które można wyznaczyć z zależności:

(23)

Interpretując geometrycznie to zadanie, można powiedzieć, że przestrzenne wcięcie w przód polega na określeniu współczynników skalowych punktów homologicznych zarejestrowanych na zdjęciach tworzących stereogram.

Rys. 7. Geometria zdjęć zwróconych. Relacja między współrzędnymi punktu w modelu i na

zdjęciach

Dla zdjęć normalnych przedstawione wzory ulegają uproszczeniu, gdyż dla takiego stereogramu składowe liniowe B_y i B_z przyjmują wartości zerowe.

W związku z tym, współczynniki skalowe zobrazowań punktów homologi­cznych są równe i wynoszą:

(24)

Natomiast wzory na wyznaczenie współrzędnych przestrzennych punktów modelu przyjmują postać:

(25)

Analityczne opracowanie pojedynczego stereogramu.

Prezentowane wyżej elementarne zadania analityczne pozwalają na wyznaczenie współrzędnych terenowych niewielkiej liczby punktów opra­cowywanych na podstawie pojedynczego stereogramu przy użyciu prostych kalkulatorów.

Praktyczna realizacja obliczeń polega na wykonaniu kolejno następujących operacji:

1. Odtworzenie dla każdego zdjęcia wiązki promieni homologicznych. Czynność ta jest realizowana poprzez pomiar pojedynczego stereogramu na stereokomparatorze i określenie współrzędnych tłowych znaczków tłowych.

2. Wyznaczenie elementów orientacji wzajemnej zdjęć tworzących stereogram na podstawie wartości paralaks poprzecznych pomierzonych w sześciu punktach charakterystycznych, zgodnie ze wzorami (17).

3. Przekształcenie zdjęć rzeczywistych na zdjęcia matematyczne o osiach równoległych do osi lokalnego układu przestrzennego stereogramu, czyli prze­jście do przypadku zdjęć normalnych. Wykonuje się to poprzez przemnożenie pełnej macierzy obrotu otrzymanej na podstawie określonych elementów orientacji wzajemnej przez wektor obserwacji według zależności (18), a na­stępnie wyznaczenie współrzędnych tłowych na zdjęciu przekształconym (matematycznym) poprzez realizację równań (21).

4. Budowa modelu przestrzennego w układzie stereogramu poprzez okreś­lenie współczynnika zobrazowania punktu według wzoru (24) oraz współ­rzędnych przestrzennych na podstawie wzorów (25).

5. Transformacja współrzędnych przestrzennych punktów z układu lokalne­go do układu terenowego. Ten etap obliczeń odpowiada wykonaniu orientacji bezwzględnej modelu przy opracowaniu analogowym. Do realizacji tego zada­nia potrzebne są zdefiniowane punkty terenowe (fotopunkty) o znanych współ­rzędnych terenowych jednocześnie określone na zdjęciach lotniczych. Prakty­cznie transformację przestrzenną można wykonać według schematu przedsta­wionego wyżej.

---