Iloraz różnicowy funkcji

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego	Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U punktu , zaś taką liczbą, że . Iloraz nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie , dla przyrostu h zmiennej niezależnej.

Pochodna funkcji w punkcie

Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego dla h dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji f w punkcie i oznaczamy symbolem .

Warunkiem koniecznym istnienia pochodnej (różniczkowalności) funkcji w punkcie jest ciągłość funkcji w punkcie . Funkcja może być w danym punkcie ciągła, ale nie musi mieć w tym punkcie pochodnej (np.: funkcja w punkcie x = 0). Jeżeli nie istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego dla , to pochodna nie istnieje.

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie

Twierdzenia o pochodnej

wstecz

Jeżeli istnieją pochodne

1.

gdzie c - dowolna stała

2.
3.

4.

5.

przy założeniu, że

6.	Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie to jest w tym punkcie ciągła

Pochodna funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

Pochodna funkcji złożonej z trzech funkcji dana jest wzorem

Wzór ten można uogólnić na większą liczbę zmiennych pośrednich np:

Przykłady

wstecz

Oblicz pochodne funkcji:

1.

Korzystamy ze wzoru     Pochodna funkcji stałej jest równa zero.

2.

Stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji     Stąd otrzymamy:

3.

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji

przy założeniu, że

Stąd otrzymamy:

4.

a)

 

b)

 

c)

5.

Jest to funkcja złożona. Pochodną funkcji złożonej oblicza się ze wzoru

Otrzymujemy

Podstawiając otrzymamy

6.

Podstawiamy

Podstawiając za otrzymamy

7.

Ponieważ więc otrzymamy:       Obliczając pochodną funkcji korzystamy ze wzoru na pochdną iloczynu dwóch funkcji       Otrzymujemy

8.

jest funkcją złożoną. Oznaczamy

Stosując wzór

otrzymamy

9.

Jest to funkcja złożona. Oznaczamy

Po obliczeniu pochodnych otrzymamy

a po zastosowaniu wzoru

mamy:

---