40. Własności operacji mnogościowych. Prawa rozdzielności. Prawa de Morgana.

Algebra zbiorów

Jednym z pojęć pierwotnych matematyki jest pojęcie zbioru (zespół, grupa, system).

Dużymi literami alfabetu oznaczamy zbiory, małymi ich elementy, czyli przedmioty należące do zbioru.

Jeżeli element a należy do zbioru A, to zapiszemy a
A, jeżeli a nie jest elementem zbioru A, to piszemy a
A.

Zbiory są opisywane jednym z dwóch sposobów:

1. poprzez wymienienie wszystkich elementów zbioru np.: A={1, 3, 7}, lub

2. opisanie własności, którą posiadają wszystkie elementy tego zbioru i tylko one np.: B={x
   :2 x 5}.
   

Jeżeli wszystkimi elementami zbioru są a₁, a₂, ..., a_n, to taki zbiór nazywamy zbiorem skończonym, i oznaczamy symbolem {a₁, a₂, ..., a_n}.

Jeżeli do zbioru nie należy żaden element, to zbiór nazywamy zbiorem pustym, i oznaczamy symbolem
.

Natomiast zbiór, który nie jest skończony i nie jest pusty, nazywamy zbiorem nieskończonym. Zatem zbiorem nieskończonym, jest na przykład zbiór liczb naturalnych czy zbiór liczb całkowitych.

Jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, to mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B. (A
B).

Mówimy, że zbiór A jest równy zbiorowi B (A=B), jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A.

Możemy zauważyć, że

Działania na zbiorach

Sumą zbiorów A i B (A
B) nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B.

Przykład:

A={3, 5, 8, 12, 23} i B={2, 4, 5, 8, 9, 13, 23} wówczas A
B={2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 23}

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B (A
B) nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i do zbioru B.

Przykład:

A={15, 18, 40, 43} i B={10, 11, 18, 20, 40, 52} to A
B={18, 40}.

Różnicą zbiorów A i B (A\B) nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

Przykład:

A={-4, -2, 0, 5, 8, 10, 13} i B={-1, 0, 7, 12, 13, 18} to A\B={-4, -2, 5, 8, 10}

Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A⊕B, elementami którego są te elementy zbioru A ∪ B, które nie należą równocześnie do obu zbiorów A i B.

x∈A⊕B x∈(A∪B)\(A∩B)

Zbiory A i B nazywamy zbiorami rozłącznymi, gdy ich iloczyn jest zbiorem pustym (to znaczy nie mają ani jednego wspólnego elementu).

Wszystkie rozważane zbiory należą do pewnego ustalonego zbioru X. Zbiór ten nazywamy przestrzenią.

Dopełnieniem
zbioru A do przestrzeni X nazywamy zbiór X\A.

Przykład:

Jeżeli traktujemy zbiór liczb rzeczywistych
jako przestrzeń, to dopełnieniem zbioru liczb dodatnich jest zbiór liczb rzeczywistych niedodatnich.

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D mamy:

1. ∅⊂A, A⊂A, A⊂X,

2. Jeśli A⊂B i B⊂C to A⊂C

3. Jeśli A⊂B i B⊂A to A=B

4. Jeśli A ⊆ B i C ⊆ D, to A ∩ C ⊆ B ∩ D.

5. Jeśli A ⊆ B i C ⊆ D, to A\D ⊆ B\C.

Dla dowodu tej zależności, załóżmy, że A ⊆ B i C ⊆ D i rozważmy dowolny element x  A\D. Wtedy x  A i x∉ D.

Skoro x  A, to x  B, bo A ⊆ B.

Skoro x ∉ D, to x ∉ C, bo C ⊆D.

Mamy więc ostatecznie, x  B i x ∉ C, co oznacza, że x  B\C

Prawa de Morgana dla zbiorów

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości (prawa de Morgana):

1. A\ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)

2. A\ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)

Dowód

Prawa de Morgana dla operacji uzupełnienia (dopełnienia)

Niektóre prawa algebry zbiorów

Prawa przemienności

a)

b)

Prawa łączności

c)

d)

Prawa rozdzielności

e)

f)

Prawa tautologii

g)

h)

(prawo idempotentności)

i)

j)

---