Równania i nierówności

• podkreślenie różnicy pomiędzy tożsamością a równaniem, co to jest




• rozwiązanie równania, co to znaczy rozwiązać równanie.

• równania równoważne (co to są równania równoważne, zastępowanie wyrażeń algebraicznych równoważnymi i takie same odwracalne przekształcenia obu stron równania)

• proste równania pierwszego stopnia

• przykłady wywodzące się z różnych kontekstów

• proste nierówności jednej zmiennej (nierówności równoważne, co to znaczy rozwiązać nierówność, sytuacje, których modelem matematycznym jest nierówność i rozwiązywanie tej nierówności, zaznaczanie rozwiązania na osi.

najłatwiejsze:

najtrudniejsze:

• Przekształcanie wzorów, to jest przekształcanie równań

Równania

Zastosowanie prostych równań w rozwiązywaniu praktycznych zagadnień znano już w starożytności, jednak wieki całe potrzebne były do usystematyzowania wiedzy i wprowadzenia powszechnie dziś znanych oznaczeń.

Ciekawostka

Rozwiązywaniem równań zajmuje się nauka zwana algebrą. Słowo to pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (IX w.) "Hisab al-djabr wal-mukabala" dotyczącego przenoszenia wyrazów z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami.
Początkowo algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych. W 1591 roku matematyk francuski F.Viete zastąpił współczynniki liczbowe równań literami i wykrył zależności pomiędzy rozwiązaniami równania a jego współczynnikami. Odtąd symbole literowe pojawiły się w rachunkach, a wyrażenie przy pomocy liter praw działań arytmetycznych spowodowało zmianę poglądu na algebrę, która z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się w naukę o działaniach na literach i tak się ją obecnie rozumie w nauczaniu szkolnym.
Zakres algebry zmienił się w ciągu wieków. Wraz z wprowadzeniem w 1545 r. przez matematyka włoskiego G.Cardana tzw. wzorów Cardana, w jej zakres weszły równania stopnia trzeciego i czwartego. Próby znalezienia wzorów na rozwiązania równań wyższych stopni doprowadziły w 1832 r. do sformułowania przez Galois warunków koniecznych i wystarczających na ich istnienie. Dało to początek nowemu kierunkowi badań - teorii Galois

Znasz już dobrze wyrażenia algebraiczne. Wiesz też, że wyrażenia algebraiczne mogą być róznymi napisami, a mimo to są one równoważne. Aby bez słów wyrazić, że dwa wyrażenia algebraiczne są równoważne, łączymy je znakiem równości. Dość często łączymy dwa wyrażenia algebraiczne znakiem równości w zupełnie innej sytuacji. Tworzymy równanie.

Przykład

Liczba x ma taką dziwną własność, że jej podwojenie daje ten sam wynik co dodanie do niej 1. Jaka to liczba?

Rozwiązanie

Zapiszmy tę własność niewiadomej liczby x algebraicznie

2x = x + 1

Wyrażenia po lewej stronie równości i po prawej stronie równości nie są równoważne. Wystarczy podstawić do obu wyrażeń w miejsce x liczbę 2. Lewe wyrażenie algebraiczne przyjmie wartość 4, a prawe 3.
Po wstawieniu w miejsce x liczby 2 po obu stronach znaku równości otrzymaliśmy równość
4 = 3

która nie jest prawdziwa.
A więc
.

Dlaczego mieliśmy jednak prawo napisać taką równość, która, jak widać, może być nieprawdziwa. Równość w tym przypadku ma inny sens niż w tożsamości. Ta równość oznacza pytanie, dla jakich wartości zmiennej x zachodzi równość obu stron. Takie użycie znaku równości nazywa się równaniem, a zmienna występująca w tym równaniu nazywa się też niewiadomą.
Łatwo jest odgadnąć, jaką liczbą jest niewiadoma x.
To przecież 1. Rzeczywiście
.
Możemy więc powiedzieć, że znaleźliśmy rozwiązanie równania. Jest nim liczba 1.
Trochę myślenia i widać, że żadna inna liczba nie jest rozwiązaniem tego równania, bo jeśli x jest większa od 1, to 2x = x + x > x + 1, a więc mamy nierówność zamiast równości. Podobnie jeśli x < 1, to 2x = x + x < x + 1 i znowu mamy nierówność.
Odpowiedź na pytanie z tego przykładu można sformułować na dwa sposoby.
Sposób pierwszy: Rozwiązaniem równania jest 1.
Sposób drugi: x = 1.

Przykład

x + y = xy

Jest to równanie z dwiema niewiadomymi. Na przykład para liczb x = 1 i y = 1 nie spełnia tego równania, bo
jest nieprawdą.
Czy może do x=1 być dobrana taka wartość y, żeby zachodziła równość. Spróbujmy i wstawmy w równanie w miejsce x liczbę 1.
lub prościej 1 + y = y. To równanie z samym y jest niemożliwe do spełnienia. Lewa strona jest zawsze większa od prawej. x=1 nie ma do pary żadnego y. Spróbujmy jeszcze z x=2. Wtedy równanie na y wygląda tak 2 + y = 2y. 2 spełnia to równanie, a więc nasze wyjściowe równanie jest spełnione przez parę liczb x=2 i y=2. Ma ono nieskończenie wiele innych rozwiązań: para 3 i
, para 4 i
, para 5 i
, para 6 i
itd. Spójrzcie na równości. Czy na pewno są prawdziwe?

A czy można to sprawdzić ogólniej?

Postaraj się to zrobić algebraicznie.

Przykład

y = 2x + 5

To połączenie znakiem równości dwóch wyrażeń algebraicznych tworzy równanie o dwóch niewiadomych x i y. Łatwo znaleźć wiele rozwiązań tego równania. Spełniają na przykład to równanie następujące pary liczb:

,

,

,

,

,
a nie spełnia na przykład para liczb

.
Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, a każde z nich składa się z pary liczb. Opisać rozwiązania tego równania jest bardzo prosto. Jest to zbiór takich par liczb x i y, gdzie x może być dowolną liczbą, a y jest równe 2x + 5.
Równanie to jest bardzo szczególnej postaci. Mówi się, że to równanie jest rozwiązane ze względu na zmienną y. Inaczej możemy też powiedzieć, że jest to wzór na y w zależności od x .

Użycie znaku równości jako równoważności i inne użycie jako równania można lakonicznie zapisać tak:
.

Zapamiętaj

Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości nazywa się równaniem, gdy poszukuje się takich wartości liczbowych zmiennych, przy których otrzymana równość dwóch liczb jest prawdziwa. Mówimy wtedy, że te wartości zmiennych spełniają równanie.
Każdą zmienną w równaniu można też nazwać niewiadomą.
Te wartości zmiennych, które spełniają równanie, nazywa się rozwiązaniem równania.
Jeśli w równaniu występuje tylko jedna zmienna, to powiemy, że jest to równanie z jedną niewiadomą.
Jeśli w równaniu występują dwie zmienne, to powiemy, że jest to równanie z dwiema niewiadomymi.
I tak dalej z wieloma niewiadomymi.
Tak więc rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą jest jedna liczba, z dwiema niewiadomymi jest para liczb itd.
Rozwiązać równanie to znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania.
W przypadku równania o jednej zmiennej jest to zbiór pojedynczych liczb, w przypadku równania z dwiema niewiadomymi jest to zbiór par liczb itd.

Przykłady

Równania jednej zmiennej

• Równanie 3x + 1 = 7 ma jedno rozwiązanie, a jest nim liczba 2. To samo można sformułować inaczej. Równanie ma jedno rozwiązanie x = 2.
• Równanie 2x = 4 ma jedno rozwiązanie x = 2.
• Równanie
ma dwa rozwiązania: -3 i 3. Inaczej to samo: Rozwiązaniem równania jest x = − 3 lub x = 3.
• Równanie
nie ma żadnego rozwiązania.
• Równanie
ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każda liczba rzeczywista jest jego rozwiązaniem.

Równanie dwóch zmiennych

• Równanie (x − 1)² + (y − 2)² = 0 ma jedno rozwiązanie. Jest nim para liczb x = 1 i y = 2. Zapisujemy to także (x,y) = (1,2).
• Równanie x² + y² = − 1 nie ma rozwiązań.
• Równanie x − y = y − x ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każda taka para (x,y), że x = y jest rozwiązaniem tego równania, bo po obu stronach równania otrzymamy zero. Kiedy
, to albo x > y i wtedy lewa strona równania jest dodatnia, a prawa - ujemna, albo x < y i wtedy na odwrót lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia. Tak więc zbiór rozwiązań, to dokładnie zbiór wszystkich par (x,y) dla których x = y.
• Równanie 2x − 2y = 2(x − y) jest spełnione przez każdą parę liczb (x,y).

Zapamiętaj

Równanie, które spełnia każdy układ liczb wstawiony w miejsce zmiennych jest tożsamością.
Równanie, którego nie ma żadnych rozwiązań nazywamy równaniem sprzecznym.

W praktycznych zastosowaniach najczęściej mamy do czynienia z równaniami, które nie są ani sprzeczne ani tożsamościowe, czyli zbiór rozwiązań ani nie jest pusty, ani nie jest zbiorem wszystkich możliwych liczb do wstawienia w zmienne.
Teraz zajmiemy się jedną z najpopularniejszych metod rozwiązywania równań.

Równania równoważne

Gdybyśmy mieli dwa różne równania, które mają identyczny zbiór rozwiązań, to do szukania tych rozwiązań wybralibyśmy prostsze równanie.

Zapamiętaj

Równania posiadające te same zbiory rozwiązań nazywamy równoważnymi.

W tym module drugi raz używamy sowa "równoważne". Wyrażenia algebraiczne są równoważne, gdy zachowują się identycznie przy wstawianiu liczb w miejsce niewiadomych, a teraz badamy równoważność równań.

Najpierw dwie bardzo proste, ale konieczne uwagi.
Wyrażenie algebraiczne po lewej stronie znaku równości w równaniu nazywa się lewą stroną równania, a wyrażenie po prawej stronie - prawą stroną równania.

I. Jeżeli prawą i lewą stronę równania zamienimy z sobą stronami, to otrzymamy równanie równoważne.

II. Jeżeli jedną stronę równania zastąpimy wyrażeniem algebraicznym równoważnym, to otrzymamy równanie równoważne.

Przykład

x + x = x² − 1 i 2x = x² − 1 są równaniami równoważnymi, bo x + x i 2x są równoważnymi wyrażeniami algebraicznymi.
Tak więc porządkując każdą stronę równania, wymnażając nawiasy, redukując wyrazy podobne itp. dostajemy równanie równoważne.

III.
a) Jeżeli do obu stron równania dodamy tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne.
b) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne.
c) Jeżeli do obu stron równania dodamy to samo wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.
d) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.

Uzasadnienie. a) jest prawdziwe, bo gdy do równych liczb dodamy równe liczby, to wyniki będą równe, a gdy do nierównych liczb dodamy równe liczby, to wyniki będą nierówne.
b) jest właściwie tym samym, co a), bo zamiast odejmować liczby możemy dodać liczbę przeciwną i b) zamienia się w a).
c) wynika z a), bo przy każdym obliczaniu wartości nowych stron równania różnią się one od starych o tę samą liczbę, czyli nowe strony równania i stare strony równania albo są jednocześnie równe, albo jednocześnie nierówne.
d) jest tak samo prawdziwe jak c) bo odejmowanie jest dodawanie liczb przeciwnych.
Najogólniejszym sformułowanie w II jest c), bo pozostałe są szczególnymi przypadkami c), pamiętanie tych 4 przypadków jest jednak dość wygodne w praktyce.

IV.
a) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od 0, to otrzymamy równanie równoważne.
b) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne.
c) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez to samo niezerujące się wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.
d) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez to samo niezerujące się wyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.

Uzasadnienie jest bardzo podobne do tego z III z jednym wyjątkiem. Z oczywistych powodów nie dzielimy przez zero, bo jest to niewykonalne. Nie mnożymy przez zero obu stron równania, bo otrzymalibyśmy równanie prawdziwe, ale mało użyteczne 0 = 0.

Warunek o dodawaniu bądź mnożeniu obu stron równania przez tylko takie wyrażenia algebraiczne, które nie mają innych zmiennych niż te w równaniu jest zasadny.

Przykład

Dodanie do równania tego samego wyrażenia algebraicznego jak tutaj2x = x² i 2x + y = x² + y zmienia rozwiązania. W pierwszym równaiu mamy tylko rozwiązanie 0 i 2, a w drugim mamy pary x = 0 i dodolny y oraz pary x = 2 i dowolny y.

Najcenniejsze zastosowanie powyższych operacji polega na tym, że potrafimy tworzyć równoważne równania, nie znając wcale rozwiązań, a przy odrobinie pracy nauczycie się tworzyć takie równania równoważne, które na prawdę łatwo jest rozwiązać.

Przykład

Przyjrzyj się poniższym schematom:

W każdej parze drugie równanie powstało z pierwszego w wyniku pewnego przekształcenia. Oba równania mają jednakowe rozwiązania to znaczy są równoważne. Które z nich łatwiej rozwiązać?

II. Inną metodą rozwiązywania równań jest metoda analizy starożytnych.
Chcąc rozwiązać równanie tą metodą przekształcamy je tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze do rozwiązania (tzw. równanie wynikowe,które nie musi być równoważne równaniu wyjściowemu). Spośród pierwiastków równania wynikowego wybieramy te, które spełniają równanie wyjściowe. Stanowią one zbiór rozwiązań równania wyjściowego.

Wzór a równanie

Przykład

Słynne równanie Einsteina E = mc², gdzie c jest prędkością światła, mówi, ile energii E powstanie przy przemianie masy m w energię.
Tym razem równanie jest użyte w trochę innym kontekście. Znając ilość masy i oczywiście znając prędkość światła możemy wyliczyć ilość energii. Literka c nie jest zmienną. To jest prędkość światła. Wstawienie literki zamiast liczby jest w tym przypadku bardzo wygodne. Po pierwsze, nie znamy tej wartości z absolutną dokładnością, a wzór jest prawdziwy dla dokładnej wartości prędkości światła. Po drugie, ten wzór jest prawdziwy, jeśli wszystkie wielkości fizyczne w nim występujące będą z tego samego systemu jednostek. Tak więc liczbowo współczynnik c może być różny w różnych systemach jednostek fizycznych.
To jest równanie o dwóch zmiennych, ale częściej usłyszymy o nim, że jest to wzór na energię w zależności od masy.

Przykład

Pole P trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h wyraża się wzorem

To równanie łączy cztery zmienne: P, a, b i h. Z kontekstu geometrycznego wynika, że wielkości te są dodatnie. Postać tego równanie jest taka, że znając a, b i h bez trudu doliczymy się P. Mówimy więc, że to równanie pokazuje zależność P od a, b i h. Inaczej powiemy to samo, że jest to wzór na zmienną P.

---