Ćwiczenie 2. Możliwości pojedynczego neuronu (perceptronu)

Program do napisania (zamiast wykonywania ćwiczenia):

symulacja działania pojedynczego neuronu ze skokową oraz sigmoidalną funkcją aktywacji (dowolny język programowania). Przetestowanie działania na funkcjach AND, OR, XOR.

Ćwiczenie:

Stworzyć w MS Excel symulator neuronu. Przetestować działanie tego symulatora dla funkcji OR, AND i XOR.

1) Na początku wykorzystać skokową funkcję aktywacji:

1. początkowe obliczenia przeprowadzić krok po kroku i „ręcznie” sprawdzić algorytm modyfikacji wag. Obliczenia wykonać dla jednego kroku, w którym nastąpi modyfikacja wag, czyli gdy odpowiedź neuronu była nieprawidłowa (WSKAZÓWKA 2):

• zapisać zestaw wag przed modyfikacją

• zapisać zestaw wag po jednym kroku uczenia

• sprawdzić algorytm modyfikacji wag dokonując odpowiednich obliczeń

2. wykonać uczenie sieci dla odpowiednich ciągów uczących (dla AND, OR, XOR)

• zmieniać współczynnik szybkości uczenia i sprawdzić jaki ma on wpływ na proces uczenia

• czy pojedynczy neuron jest w stanie nauczyć się realizacji każdej z tych funkcji logicznych? - analizy dokonać wykonując odpowiednie rysunki

dla nauczonej sieci, dla każdego z uzyskanych zestawów wag narysować wykres linii prostej rozdzielającej punkty w przestrzeni sygnałów wejściowych (WSKAZÓWKA 5)

gdzie:

w₁, w₂, b - to wartości wag połączeń odpowiednio wejść x₁, x₂ i biasu

jest to łączne pobudzenie neuronu

Jeśli (e < 0), to funkcja aktywacji (f(e) = 0) w przeciwnym wypadku (f(e) = 1)

4. zweryfikować działanie neuronu przy wykorzystaniu ciągu weryfikującego (WSKAZÓWKA 4):

• obliczyć wyjścia sieci dla uzyskanego zestawu wag i kolejnych wektorów z ciągu weryfikującego

• czy odpowiedzi sieci są zgodne z oczekiwaniami - napisać wnioski

2) Zmienić funkcję aktywacji na funkcję sigmoidalną:

1. dla funkcji OR lub AND początkowe obliczenia przeprowadzić krok po kroku i „ręcznie” sprawdzić algorytm modyfikacji wag (WSKAZÓWKA 3):

• zapisać zestaw wag przed modyfikacją

• zapisać zestaw wag po jednym kroku uczenia

• sprawdzić algorytm modyfikacji wag dokonując odpowiednich obliczeń

• wykonać uczenie sieci dla odpowiednich ciągów uczących (dla AND, OR, XOR)

• czy pojedynczy neuron z sigmoidalną funkcją aktywacji jest w stanie nauczyć się realizacji każdej z tych funkcji logicznych?

• zweryfikować działanie neuronu przy wykorzystaniu ciągu weryfikującego:

• obliczyć wyjścia sieci dla uzyskanego zestawu wag i kolejnych wektorów z ciągu weryfikującego

• czy odpowiedzi sieci są zgodne z oczekiwaniami - napisać wnioski

3) Zmienić funkcję aktywacji na funkcję skokową - zmienić topologię sieci (dodać neuron w warstwie ukrytej) i przeprowadzić uczenie dla funkcji logicznej XOR (WSKAZÓWKA 1). Obliczenia wykonywać przy użyciu apletu http://ii.pwsz.bialapodlaska.pl/~mk/perceptronPrg/html/index.html). Wykonać zrzuty ekranu z wynikami obliczeń.

1. dla nauczonej sieci zweryfikować działanie neuronu przy wykorzystaniu ciągu weryfikującego:

• obliczyć wyjścia sieci dla uzyskanego zestawu wag i kolejnych wektorów z ciągu weryfikującego

• czy odpowiedzi sieci są zgodne z oczekiwaniami - napisać wnioski,

• sprawdzić działanie apletu, wykonując odpowiednie obliczenia

4) Czy pojedynczy neuron jest w stanie nauczyć się funkcji NAND, NOR, NOT, XNOR? Jaka jest jego budowa w każdym z przypadków? Napisać zasadę określającą możliwości pojedynczego neuronu.

5) Przetestować działanie neuronu bez wejścia BIAS (podstawić różne zestawy wag początkowych). Jakie problemy mogą się pojawić podczas uczenia takiego neuronu? Czy zawsze nauczy się funkcji logicznych?

6) Przetestować i opisać wpływ współczynnika szybkości uczenia na naukę neuronu.

W sprawozdaniu napisać wnioski dotyczące każdego z etapów obliczeń oraz wnioski końcowe.

WSKAZÓWKI:

Wskazówka 1). Dla przypomnienia: XOR to następująca funkcja logiczna:




Zgodnie z pokazanym modelem, sieć musi mieć dwa wejścia i jedno wyjście.

Ciąg uczący powinien składać się z czterech następujących wektorów uczących

x1	x2	y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Wskazówka 2) Kolejne etapy w jednym kroku uczenia przy skokowej funkcji aktywacji:

1) dla danego wektora uczącego (x₁, x₂, d) wyliczenie łącznego pobudzenia


2) wyliczenie aktualnego wyjścia sieci


założyliśmy, że wartość progowa
= 0

3) w przypadku błędnej odpowiedzi sieci tzn. y≠d modyfikacja wag według następujących wzorów:










gdzie
- współczynnik szybkości uczenia

Wskazówka 3) Kolejne etapy w jednym kroku uczenia przy sigmoidalnej funkcji aktywacji


,
:

1) dla danego wektora uczącego (x₁, x₂, d) wyliczenie łącznego pobudzenia


2) wyliczenie aktualnego wyjścia sieci


3) w przypadku błędnej odpowiedzi sieci tzn. y≠d modyfikujemy wagi

Stosujemy tutaj regułę Delta:





Warto zauważyć, że dla funkcji sigmoidalnej o wzorze





Modyfikacja wag przebiega następująco:










Wskazówka 4) Weryfikacja działania neuronu:

„Nauczona” sieć neuronowa poddawana jest procesowi weryfikacji.

Ciąg weryfikujący dla OR, AND i XOR może wyglądać np. następująco:

x1	x2
0.05	0.05
0.95	0.05
0.05	0.95
0.95	0.95

Przykład (skokowa funkcja aktywacji):

Załóżmy, że po nauce zostały ustalone następujące wagi:

w₁ = 1 w₂ = 2 b = -1

x1	x2	e	f (e)
0,05	0,05	-0,85	0
0,95	0,05	0,05	1
0,05	0,95	0,95	1
0,95	0,95	1,85	1

Jeśli weryfikowaliśmy działanie funkcji logicznej OR, to odpowiedzi neuronu są poprawne (takie jak oczekiwaliśmy).

Wskazówka 5) Wykres linii prostej rozdzielającej punkty w przestrzeni sygnałów wejściowych:

Załóżmy, że po nauce zostały ustalone następujące wagi:

w₁ = 1 w₂ = 2 b = -1





x1	x2
0	0,5
0,1	0,45
0,2	0,4
0,3	0,35
0,4	0,3
0,5	0,25
0,6	0,2
0,7	0,15
0,8	0,1
0,9	0,05
1	0

---