Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy , gdzie . Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą) a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc: Re z = a Im z = b. Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa zero, wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie nie gra roli: a + bi = a + ib = bi + a = ib + a. Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa. Liczbą przeciwną do nazywamy . Natomiast liczbę nazywamy liczbą sprzężoną do z lub sprzężeniem liczby z. Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby z jest równe dokładnie liczbie z. Natomiast modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę Istniej pewien związek między modułem liczby z a jej sprzężeniem :

Działania na liczbach zespolonych Niech teraz , . Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i części urojone: Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że . Tak więc: Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci Re z + Im z i. Zastosujemy tu wzór: Obliczmy teraz iloraz oczywiście zakładając, że : Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, że liczba jest dodatnia nie musimy dodawać, że jest ona rzeczywista.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej Liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej: , gdzie Liczbę nazywamy modułem , a kąt skierowany (dokładniej jego miarę) argumentem liczby i oznaczamy arg z. Wartość argumentu liczby z czyli określamy na podstawie wartości funkcji cosinus i sinus dla , które są dane wzorami: i . Ta postać liczby zespolonej także ma interpretację geometryczną: Wygodniej jest nie ograniczać zakresu zmienności argumentu , ale tracimy przez to jednoznaczność. Liczbie zespolonej różnej od zera odpowiada nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli jest argumentem liczby , to każdy inny argument tej liczby wyraża się wzorem , gdzie k jest liczbą całkowitą. Dwie liczby zespolone są sobie równe, wtedy i tylko, gdy mają równe moduły i argumenty różniące się o całkowitą wielokrotność liczby . Jeżeli to nazywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg  .(Niektóre podręczniki nieco inaczej definiują argument główny: Argumentem głównym nazywają , gdy .) Trygonometryczna postać liczby zespolonej bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie, natomiast niezbyt nadaje się do dodawania i odejmowania. Jeżeli i , to , gdzie .

Potęga i pierwiastek z liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest również wykorzystywana do liczenia potęg i pierwiastków liczb zespolonych. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej dla i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zwany wzorem Moivre'a: . Natomiast pierwiastki z liczby zespolonej są dane wzorem: , gdzie . Zauważmy, że liczba różnych pierwiastków liczby jest równa dokładnie stopniowi pierwiastka, który liczymy. Są to pierwiastki dla . Możemy liczyć wartości pierwiastków dla innych całkowitych k, ale otrzymamy wtedy wartości, które już wyliczyliśmy dla . Jeżeli się przyglądniemy wartościom pierwiastków liczby zespolonej, to zauważymy, że ich moduły są takie same i argumenty różnią się o wielokrotność . Z tej obserwacji wnioskujemy, że pierwiastki leżą na jednym okręgu o środku w punkcie 0 i promieniu równym modułowi pierwiastka oraz że pierwiastki dzielą okręg na n równych części. Jest to bardzo użyteczny wniosek przy zaznaczaniu pierwiastków na płaszczyźnie Gaussa, ponieważ wystarczy narysować okręg o promieniu , policzyć i zaznaczyć jeden pierwiastek danej liczby oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby . Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x0 ... x5.

Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych Zasadnicze twierdzenie algebry W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastków) i rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego. W zbiorze liczb rzeczywistych mogliśmy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia pierwszego i na nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Stąd też wynika, że w zbiorze liczb rzeczywistych wiemy tylko, że pierwiastków jest conajwyżej n. Wnioskiem z zasadniczego twierdzenia algebry jest fakt, że w zbiorze liczb zespolonych nie ma nierozkładalnych wielomianów stopnia drugiego. I rzeczywiście: gdy wyróżnik jest większy lub równy 0, to nic się nie zmienia, natomiast gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, to istnieją dwa różne pierwiastki. Postępujemy w następujący sposób: Liczymy wyróżnik i jeżeli jest on mniejszy od zera, to liczymy pierwiastki z wyróżnika - wystarczy wybrać jeden z nich - i podstawiamy do wzoru na pierwiastki wielomianu. Uwaga. W przypadku niektórych równań w których występuje moduł liczby z, warto liczbę z przedstawić w postaci i rozwiązać równanie jako równanie z dwoma niewiadomymi.

 

Teraz proponujemy, abyś przeszedł do zadań:

Liczbą zespoloną nazywamy wyrażenie postaci :

Wyróżniamy również liczby:

1.	Sprzężona do Z
2.	Odwrotna do Z :
3.	Przeciwna do Z :

Działania w zbiorze liczb zespolonych:

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują te same działania co z w zbiorze liczb rzeczywistych:

 

Interpretacja geometryczna:

Liczbę zespoloną postaci: Z = a + bi interpretujemy, jako wektor, mający początek w punkcie (0,0), a koniec w punkcie o współrzędnej (a,b).

|Z| - moduł liczby Z kąt fi - argument liczby Z

 

Postać trygonometryczna liczby zespolonej:

 

Taką postać liczby zespolonej otrzymujemy wyliczając a i b i podstawiając te wartości do postaci kartezjańskiej liczby zespolonej: Z = a + bi.

 Do potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych używamy wzoru de Moivre'a :

 

 

---