Hamowanie wskutek działania siły tarcia

Łyżwiarz o masie m = 60 kg rozpędził się na poziomej tafli lodu do szybkości v₀ =4m/s. Współczynnik tarcia łyżew o lód wynosi f = 0,02. Przyjmij, że g =10m/s².

1. Narysuj siły działające na łyżwiarza podczas hamowania.

1. Oblicz opóźnienie (tzn. wartość wektora a), z którym porusza się łyżwiarz.

2. Napisz równania ruchu łyżwiarza x (/) i v_x (t); wstaw do nich odpowiednie współczynniki liczbowe (w SI).

3. Oblicz czas (t_z), potrzebny łyżwiarzowi na zatrzymanie się, i drogę hamowania.

4. Korzystając z informacji, że zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy siły wypadkowej, działającej na to ciało, oblicz prace W₁ \ W₂, wykonane przez siłę tarcia w pierwszej i w drugiej połowie czasu hamowania.

2. Załóżmy, że łyżwiarz po rozpędzeniu się do tej samej szybkości v₀ = 4 m /s

wjeżdża na lód, który staje się stopniowo coraz bardziej „chropowaty", tak, że wartość jego prędkości maleje z czasem następująco:

Po jakim czasie łyżwiarz zatrzyma się w tych warunkach?

g) Jak myślisz, czy całkowita praca, wykonana przez siłę tarcia, działającą na łyżwiarza w czasie hamowania będzie równa całkowitej pracy, wykonanej przez tę siłę w poprzednim przypadku? Uzasadnij odpowiedź. Postępując podobnie, jak w punkcie e) oblicz prace W_x \W₂ w pierwszej i w drugiej połowie czasu hamowania.

Wyciąganie obrusa spod garnka

Na gładkim stole o długości 1,5 m rozłożono obrus, którego (nieobrębiony) brzeg pokrywa się z jego lewą krawędzią (patrz rysunek). Na obrusie postawiono garnek, którego ściana znajduje się w odległości 70 cm od prawej krawędzi stołu. Średnica garnka wynosi 20 cm, a współczynnik tarcia dynamicznego między garnkiem a obrusem jest równy 0,8.

Nagle szarpnięto prawy brzeg obrusa, nadając mu przyspieszenie o wartości 12 m /s². Załóż, że obrus nie zwija się wokół garnka.

Odpowiedz (wraz z uzasadnieniem) na następujące pytania:

1. Jaka siła nadaje przyspieszenie garnkowi w układzie odniesienia, związanym ze stołem? Oblicz wartość tego przyspieszenia.

1. Czy garnek spadnie ze stołu, zanim obrus zostanie spod niego wyszarpnięty?

2. W układzie współrzędnych związanym ze stołem narysuj wykresy zależności położenia od czasu x (t) dla lewego brzegu obrusa i dla środka garnka (uwaga: zerowy punkt osi x umieść na lewej krawędzi stołu).

3. Odczytaj z wykresów

4. czas, po którym środek garnka znajdzie się na kra wędzi stołu i położenie brzegu obrusa w tej samej chwili.

Klocek na równi pochyłej, poruszając się z przyspieszeniem

Równia pochyła, nachylona do poziomu pod katem 30° porusza się z przyspieszeniem tak, jak pokazuje rysunek. Wraz z równią porusza się spoczywający względem niej klocek o masie m = 0,1kg. Załóż, że nie ma siły tarcia między klockiem a powierzchnią równi. Przyjmij g = 10 m ∙ s^-2.

1. Narysuj siły działające na klocek w układzie laboratoryjnym (względem którego klocek porusza się wraz z równią z przyspieszeniem
   ). Opisz i uzasadnij konstrukcję tego rysunku.

2. Oblicz wartość przyspieszenia
   , przy którym taka sytuacja jest możliwa.

3. Oblicz wartość siły wzajemnego nacisku klocka i równi.

Klocek na równi pochyłej II

Ten sam klocek, o którym jest mowa w zadaniu poprzednim (m = 0,1kg) mógłby pozostawać w spoczynku względem równi (α =30°) poruszającej się z przyspieszeniem np. o wartości a=3m ∙ s^-2, gdyby działała nań odpowiednia siła tarcia. Przyjmij g=10m ∙ s^-2.

1. Oblicz wartość siły tarcia, jaka musiałaby działać na klocek w tym przypadku oraz wartość siły wzajemnego nacisku klocka i równi. (Wskazówka: Obierz związany z laboratorium układ współrzędnych o osiach x i y skierowanych tak, jak na rysunku; pamiętaj, że w tym układzie klocek ma przyspieszenie
   . Zapisz drugą zasadę dynamiki za pomocą współ rzędnych x i y.

2. Sporządź wykres T(a), tzn. koniecznej wartości siły tarcia od wartości przyspieszenia równi, jeśli klocek pozostaje względem niej w spoczynku.

3. Podaj fizyczną interpretację tak przebiegającego wykresu.

3. Oblicz współczynnik tarcia statycznego między klockiem a powierzchnią równi, jeśli wiadomo, że przy a = 3m ∙ s^-2 siła tarcia statycznego osiągnęła wartość maksymalną.

4. Co będzie się działo z klockiem w układzie odniesienia, związanym z rów nią w przypadku, gdy równia będzie się poruszała z przyspieszeniem o wartości a < 3m ∙ s^-2, jeśli współczynnik tarcia będzie miał wartość obliczoną w punkcie d)? Uzasadnij odpowiedź.

Zsuwanie się ciała z ruchomego klina

Spoczywający na poziomym podłożu pagórek lodowy stanowi klin wycięty w ten sposób, że w pionowym przekroju jego powierzchnia jest linią krzywą. Styczna do tej krzywej w najniższym punkcie jest pozioma (patrz rysunek). Z pagórka, z wysokości h=20 cm zsuwa się bez tarcia bryłka lodu o masie m-0,1kg. Masa klina wynosi M = 0,9kg. Pomijamy tarcie między klinem, a poziomym podłożem.

1. Oblicz szybkości końcowe, jakie uzyskają bryłka lodu i klin.

2. 
   Zbadaj, do jakich wartości będą dążyć szybkości klocka i klina, gdy

m

M

Zsuwanie się ciała z klina

Tej samej bryłce lodu (patrz zadanie poprzednie) nadano poziomą prędkość początkową o wartości
,jak pokazuje rysunek. Bryłka wślizguje się na początkowo spoczywający lodowy pagórek, opisany w poprzednim zadaniu (M = 0,9kg, m = 0,1kg). Pomijamy tarcie między bryłką a klinem oraz między klinem a poziomym podłożem.

Oblicz,

1. na jaką wysokość dotrze bryłka lodu,

2. ile wyniesie wówczas szybkość klina,

3. jaką szybkość osiągnie bryłka lodu, a jaką klin, gdy bryłka zsunie się z klina.

4. Zbadaj, do jakich wartości będą dążyć obliczone wielkości fizyczne, gdy
   

Siła dośrodkowa

Kulka o masie m zaczepiona na końcu nitki porusza się po okręgu, leżącym w płaszczyźnie poziomej, z prędkością o wartości
=2 m ∙ s^-1. Podczas ruchu nitka tworzy kąt
= 45° z prostą pionową, przechodzącą przez środek okręgu.

a) Narysuj starannie wektory sił, działających na kulkę oraz ich wypadkową. Oznacz siły odpowiednimi symbolami.

2. Oblicz promień okręgu, po którym porusza się kulka.

3. Sprawdź, czy podczas jednej sekundy kulka zdąży wykonać pełny obieg okręgu.

Ruch po okręgu w płaszczyźnie pionowej

Mały, śliski klocek (np. kawałek lodu) o masie m = 6 g zsuwa się z pewnej wysokości po rynience, wygiętej na dole w kształcie okręgu o promieniu r =0,1 m. Załóżmy, że klocek zatoczył okrąg i opuścił rynienkę w punkcie E, ale w punkcie D miał najmniejszą szybkość, przy której to było możliwe. Na rynience zaznaczono również inne położenia klocka. Kąt
jest równy 60°. Nie uwzględniaj oporów. Przyjmij g = 10 m • s^-2.

Oblicz:

1. szybkość klocka w punkcie D; czy szybkość ta mogłaby być równa zeru? Uzasadnij odpowiedź,

2. wartość wzajemnego nacisku klocka i rynienki w punkcie A; narysuj siły działające na klocek w tym punkcie,

3. ile razy większa była wartość siły dośrodkowej, działającej na klocek w punkcie A od wartości siły dośrodkowej w punkcie D,

4. wartość siły dośrodkowej, działającej na klocek w punkcie B i porównaj ją z wartością siły wzajemnego nacisku klocka i rynienki w tym punkcie; na pisz jednozdaniowy komentarz na ten temat.

5. Wykonaj obliczenia tych samych wielkości, które obliczyłeś w punkcie d) zadania dla położenia klocka w punkcie C rynienki. Przedstaw komentarz słowny do tych obliczeń; w szczególności wyjaśnij, skąd pochodzi siła dośrodkowa w tym punkcie.

18. Kulka zaczepiona na końcu nierozciągliwej linki wykonuje ruch po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Stwierdzono, że w najwyżej położonym punkcie okręgu kulka ma najmniejszą szybkość, jaka jest możliwa przy danej długości linki l (l = r).

1. Które z poniższych pytań, dotyczących tej sytuacji, uważasz za nie właściwe?

1. Ile razy szybkość kulki w najniżej położonym punkcie okręgu jest większa od jej szybkości w najwyżej położonym punkcie?

2. Ile razy wartość siły dośrodkowej w najniższym punkcie okręgu jest większa od wartości siły dośrodkowej w jego najwyższym punkcie?

3. Ile razy energia potencjalna kulki w najwyżej położonym punkcie okręgu jest większa od jej energii potencjalnej w punkcie położonym najniżej?

4. Ile razy energia kinetyczna kulki w najniższym punkcie okręgu jest większa od jej energii kinetycznej w najwyższym punkcie?

5. Ile razy wartość siły napięcia linki w najniższym punkcie okręgu jest większa od wartości tej siły w najwyższym punkcie?

2. Napisz komentarz do pytania (lub pytań), które uważasz za niewłaściwe.

Statyka - drabina oparta o pionową ścianę

Drabina o masie m = 20 kg i długości l =6 m stoi oparta o pionową, gładką ścianę. Minimalny kąt, jaki drabina musi tworzyć z podłogą, aby nie upaść, wynosi
= 60°.

1. Oblicz współczynnik tarcia między drabiną, a podłogą.

2. Wyjaśnij, dlaczego przy kącie nachylenia większym od
   = 60° drabina się nie zsuwa.

• walca,

• cienkościennej obręczy,

• kuli.

c) Skomentuj otrzymane wyniki.

3. Oblicz, na jaką maksymalną wysokość może wejść na drabinę człowiek o masie M =80 kg, gdy jest ona nachylona do podłogi pod kątem
   = 60°.

4. Przedstaw rozumowanie (jakościowe), które pozwala dojść do wniosku, jak zmienia się siła tarcia, którą podłoga działa na koniec drabiny, gdy człowiek wchodzi coraz wyżej.

5. Oblicz minimalny kąt, jaki drabina powinna tworzyć z podłogą, aby człowiek mógł wejść na najwyższy szczebel (przyjmij dla uproszczenia, że znajduje się on na samym końcu drabiny).

Wskazówka: Zastosuj warunek równowagi ciała, który brzmi następująco: Ciało jest w równowadze, gdy suma sił na nie działających oraz suma momentów sił względem dowolnego punktu jest równa zeru.

Staczanie się brył obrotowych z równi pochyłej

Z równi pochyłej o wysokości h i kącie nachylenia a stacza się bez poślizgu bryła obrotowa (walec, cienkościenna obręcz lub kula) o masie m, promieniu poprzecznego przekroju R i momencie bezwładności względem osi symetrii I_o.

1. Pomijając tarcie toczne oblicz

• wartość przyspieszenia środka masy bryły (tj. przyspieszenia jej ruchu postępowego),

• wartość siły tarcia statycznego,

• wartość końcowej prędkości środka masy bryły (tj. prędkości końcowej jej ruchu postępowego),

• czas staczania,

• maksymalny kąt nachylenia równi, przy którym możliwe jest staczanie się bez poślizgu, jeśli współczynnik tarcia statycznego między bryłą a powierzchnią równi wynosi f.

2. Podstawiając do otrzymanych wzorów ogólnych odpowiedni moment bezwładności, oblicz wszystkie wielkości wymienione w punkcie a) dla

• walca

• cienkościennej obręczy

• kuli

3. Skomentuj otrzymane wyniki

Zasada zachowania energii mechanicznej w ruchu postępowym i obrotowym

Dwa krążki o promieniach r i 2r połączono współosiowo. Do końca nici nawiniętej na większy krążek przyczepiono klocek 1 o masie Im, zaś do końca nici nawiniętej na mniejszy - klocek 2 o masie w, jak pokazuje rysunek. Zablokowaną oś zwolniono, gdy każdy z klocków znajdował się na tej samej wysokości h nad podłożem. Moment bezwładności krążków względem ich osi symetrii wynosi I_o. Pomiń wszystkie opory oraz masę nici.

1. Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej do opisanego układu, oblicz szybkość każdego z klocków w chwili, gdy pierwszy z nich uderza w podłoże (oznaczmy ją t_u); wypisane równanie zaopatrz w odpowiedni komentarz. Oblicz w wymienionej poniżej kolejności

2. wartość prędkości kątowej krążków w chwili t_u,

3. czas upływający od chwili rozpoczęcia ruchu do chwili t_u,

4. wartość przyspieszenia kątowego krążków oraz wartości przyspieszeń każdego z klocków do chwili t_u.

Zderzenie niesprężyste kawałka plasteliny z wiszącą linijką

Drewniana linijka o masie m₁ =120g i długości l = 0,5 m może się obracać wokół osi poziomej, przechodzącej przez jeden z jej końców (rysunek). Prostopadle do linijki rzucamy małą kulkę z plasteliny, która trafia w jej dolny koniec i przykleja się do niej. Prędkość kulki ma wartość
₀ = 1,2 m -s^-1, jej masa m₂ =10g.

Pomijając opory oblicz

1. początkową szybkość kątową, z jaką zacznie się obracać linijka z przyklejoną do niej plasteliną,

2. względną stratę energii mechanicznej (w procentach), która następuje podczas zderzenia plasteliny z linijką.

3. Oblicz, z jaką minimalną szybkością kulka z plasteliny musiałaby trafić w koniec linijki, aby linijka z przyklejoną do niej plasteliną wykonała pełny obrót (pozostałe dane zachowują swoje poprzednie wartości).

---