Logarytmy

Definicja logarytmu

Niech a i b będą liczbami dodatnimi oraz
.

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.

Wartość logarytmu może być dodatnia, ujemna lub równa zero. Z określenia logarytmu wynikają podane niżej własności:




gdzie:
.

Z definicji logarytmu wynikają natomiast następujące równości:




gdzie:
.

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e
. Liczbę e definiuje się następująco:
. Jest to liczba niewymierna. Do obliczeń często przyjmujemy:


lub

Funkcja logarytmiczna

Niech
. Funkcję daną wzorem
, gdzie
, nazywamy funkcją logarytmiczną.

Sporządzimy teraz wykres funkcji logarytmicznej, korzystając z następującego twierdzenia:

Dla każdego a różnego od 1 funkcja logarytmiczna o podstawie a jest ciągła w zbiorze R₊.

Wykres funkcji
:




Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną. Krzywe logarytmiczne o równaniach
i
są symetryczne względem osi x dla każdego
.

Własności funkcji logarytmicznej:

• 
  
  
  
  

1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
   

2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
   

3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.

4. Funkcja jest malejąca.
   
   
   

5. Funkcja jest różnowartościowa.
   
   
   

• 
  
  
  
  

1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
   

2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
   

3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.

4. Funkcja jest rosnąca.
   
   
   

5. Funkcja jest różnowartościowa.
   
   
   

Własności logarytmów

• twierdzenie o logarytmie iloczynu
  
  Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz
  , to:
  
  
  

Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów czynników tego iloczynu.

• twierdzenie o logarytmie ilorazu
  
  Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz
  , to:
  
  
  

Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika.

• twierdzenie o logarytmie potęgi
  
  Jeżeli a, x są liczbami dodatnimi oraz
  , to dla dowolnego
  prawdziwa jest równość:
  
  
  

Logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu podstawy tej potęgi.

• twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu
  
  Jeżeli a, b, x są liczbami dodatnimi oraz
  , to:
  
  
  

Logarytmy dziesiętne


Logarytmy o podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesiętnymi lub briggsowskimi - od nazwiska angielskiego matematyka Henry Briggsa, który w 1614 roku wprowadził je po raz pierwszy.

Zamiast
piszemy krótko
, np.




Logarytmy dziesiętne znalazły duże zastosowanie w obliczeniach astronomicznych i inżynierskich. Z tego powodu zostały ułożone tablice wartości tych logarytmów (patrz: tablice) i skonstruowano suwak logarytmiczny. Obecnie znaczenie logarytmów zmalało ze względu na wprowadzenie do powszechnego użytku kalkulatorów i innych urządzeń liczących.


Równania i nierówności logarytmiczne

Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Nierównością logarytmiczną nazywamy taką nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.



Jak wiemy, wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, przy czym podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają dziedzinę równania lub nierówności logarytmicznej.

Jedną z metod rozwiązywania równań lub nierówności logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania lub nierówności do logarytmy wyrażenia przy tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość lub monotoniczność funkcji logarytmicznej o danej podstawie otrzymujemy związki między wyrażeniami logarytmowanymi. W najprostszych przypadkach możemy korzystać bezpośrednio z definicji logarytmu.

PRZYKŁADY:

• rozwiąż równanie
  .
  
  Zakładamy, że x+1>0 i x-1>0, czyli
  .
  
  Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:
  
  
  
  
  Prawą stronę równania zapisujemy w postaci logarytmu:
  
  
  
  
  Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:
  
  
  
  
  Rozwiązanie x=-3 jest sprzeczne z założeniem, a więc rozwiązaniem jest: x=3.

• rozwiąż równanie
  .
  
  Zakładamy, że x>0. Podstawiamy
  i otrzymujemy równanie:
  
  
  
  
  Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy:
  
  
  
  
  Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:
  
  
  

• rozwiąż równanie
  .
  
  Zakładamy, że x>0 i
  , czyli
  .
  
  Dwukrotnie korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:
  
  
  

• rozwiąż równanie
  .
  
  Logarytmujemy obie strony równania:
  
  
  
  
  Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
  
  
  

• rozwiąż nierówność
  , gdzie x>0.
  
  
  
  
  Nie zmieniamy zwrotu nierówności, ponieważ funkcja
  jest rosnąca.
  
  
  

• rozwiąż nierówność
  .
  
  Zakładamy, że x-2>0 i x+2>0, czyli
  .
  
  
  
  
  Korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej:
  
  
  
  
  Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy:
  
  
  

---