.
Politechnika Wrocławska Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego |
Studia magisterskie dzienne Rok akademicki 1999/2000 |
Metoda Przemieszczeń
i
Stateczność Układów Prętowych
wykonał: Andrzej Kuszell |
sprawdzająca: mgr inż. Alina Wysocka |
Zadanie 1
1. Stopień geometrycznej niewyznaczalności
Podział układu na elementy, dla których znane są wzory transformacyjne
RYSUNEK
Wszystkie pręty są sztywno - przegubowe, a więc będę korzystać tylko ze wzoru:
.
Liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi n = 2, gdyż w układzie występują dwa węzły sztywne posiadające swobodę obrotu.
Wyznaczenie stopni swobody przesuwu węzłów nδ:
nδ ≥ 2⋅w - (p + r) = 2⋅6 - 6 - 4 = 2
Model układu o węzłach przegubowych:
RYSUNEK
Aby układ był geometrycznie niezmienny wystarczy dodać 2 więzi na obrót i dwie na przesuw. Stopień geometrycznej niewyznaczalności wynosi więc 4.
2. Układ podstawowy
RYSUNEK
3. Rozwiązania układu podstawowego dla składowych stanów obciążeń
3.0 Stan obciążenia danego
RYSUNEK
MAC0 = -ql2/8 = -24 kNm
M2C0 = M/2⋅(1 - 3'2) = 15 kNm
M2B0 = -0,5Pl'(1 - '2) = 16,40625 kNm
3.1 Stan 1 = 1
M1C1 = EI/4m⋅3⋅1 = 0,75 EI/m
M1D1 = EI/4m⋅3⋅1 = 0,75 EI/m
3.2 Stan 2 = 1
M2D2 = EI/4m⋅3⋅1 = 0,75 EI/m
M2C2 = EI/4m⋅3⋅1 = 0,75 EI/m
M2B2 = 2⋅EI/4m⋅3⋅1 = 1,5 EI/m
3.I Stan δI = 1
RYSUNEK
1C I = 1/4m = 0,25/m
2D I = 1/4m = 0,25/m
M1C I = EI/4m⋅(-3⋅0,25/m) = -0,1875 EI/m2
M2D I = EI/4m⋅(-3⋅0,25/m) = -0,1875 EI/m2
3.II Stan δII = 1
RYSUNEK
B2 II = ¼ = 0,25/m
C1 II = -¼ = -0,25/m
2C II = -¼ = -0,25/m
2D II = -¼ = -0,25/m
1D II = -¼ = -0,25/m
M2C II = EI/4m⋅(-3)(-0,25/m) = 0,1875 EI/m2
M2B II = 2⋅EI/4m⋅(-3⋅0,25/m) = -0,375 EI/m2
M1C II = EI/4m⋅(-3)(-0,25/m) = 0,1875 EI/m2
M1D II = EI/4m⋅(-3)(-0,25/m) = 0,1875 EI/m2
M2D II = EI/4m⋅(-3)(-0,25/m) = 0,1875 EI/m2
4. Układ równań kanonicznych
k11 = jM1j1 + k1 =1,5 EI/m
k12 = M122 = 0 = k21
k22 = jM2j2 + k2 = 0,75 + 0,75 + 1,5 = 3 EI/m
k1I = jM1j I = -0,1875 EI/m2
k1II = jM1j II = 0,1875 + 0,1875 = 0,375 EI/m2
k2I = jM2j I = -0,1875 EI/m2
k2II = jM2j II = 0,1875 + 0,1875 - 0,375 = 0
kI1 = -ij(Mij1 + Mji1)ij I = -(0,75⋅0,25) = -0,1875 EI/m2
kII1 = -ij(Mij1 + Mji1)ij II = -[0,75⋅(-0,25) + 0,75⋅(-0,25)] = 0,375 EI/m2
kII2 = -ij(Mij2 + Mji2)ij II =-[0,75⋅(-0,25) + 0,75⋅(-0,25) + 1,5⋅0,25] = 0
kI,I = -ij (Mij I + Mji I)ij I + s ksδ⋅δsI⋅δsI = -(-0,1875⋅0,25⋅2) + 10⋅0⋅0 = 0,09375 EJ/m3
kI,II = -ij (Mij II + Mji II)ij I + s ksδ⋅δsI⋅δsII = -(0,1875⋅0,25⋅2) + 10⋅0⋅1 = - 0,09375 EI/m3
kII,II = -ij (Mij II + Mji II)ij II + s ksδ⋅δsII⋅δsII = -[-0,132582521472⋅0,25 + 0,1875⋅(-0,25) - 0,375⋅0,25 + 0,1875⋅(-0,25) + 0,1875⋅(-0,25) + 0,1875⋅(-0,25)] + 10⋅1⋅1 =
= 10,3143956304 EI/m3
k10 = jM1j0 - M1 = 0
k20 = jM2j0 - M2 = 15 + 16,40625 = 31,40625 kNm
kI0 = -ij (Mij0 + Mji0)ijI - r⋅Pr⋅δPrI = 0
kII0 = -ij (Mij0 + Mji0)ijII - r⋅Pr⋅δPrII = 13,1484375 - 42,75 = - 29,6015625 kN
Rozwiązanie:
1 = -4,60040654702 m2/EI
2 = -12,4248644843 m2/EI
δI = -31,2978317493 m3/EI
δII = +2,75271031343 m3/EI
5. Rzeczywiste siły przekrojowe
5.1 Momenty brzegowe
|
M1 |
|
j1 |
|
M2 |
|
j2 |
|
MI |
|
dI |
|
MII |
|
dII |
|
M0 |
|
M |
MAC = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
-0,1326 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
-24 |
= |
-24,365 |
MCA = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
0,000 |
MC2 = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
30 |
= |
30,000 |
M2C = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0,75 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0,1875 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
15 |
= |
6,197 |
MB2 = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
0,000 |
M2B = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
1,5 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
-0,375 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
16,4063 |
= |
-3,263 |
MC1 = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
0,000 |
M1C = |
0,75 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
-0,1875 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0,1875 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
2,934 |
M1D = |
0,75 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0,1875 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
-2,934 |
MD1 = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
0,000 |
MD2 = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
0 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
0,000 |
M2D = |
0 |
⋅ |
-4,60041 |
+ |
0,75 |
⋅ |
-12,4249 |
+ |
-0,1875 |
⋅ |
-31,2978 |
+ |
0,1875 |
⋅ |
2,75271 |
+ |
0 |
= |
-2,934 |
5.2 Siły tnące i osiowe
