Kolokwium II rok 2010/2011

Zadanie 2: Wyznaczyć zbiór tych
dla których szereg
jest zbieżny (ustalić także rodzaj zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału zbieżności.

Rozwiązanie:

1. Ustalenie zbieżności szeregu:

Szereg jest zbieżny dla
wtedy:

Dla
szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla
szereg jest rozbieżny.

2. Ustalamy zbieżność na krańcach przedziału

1. 
   

Szereg naprzemienny

szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność z kryterium Leibnitza

• 
  

• ciąg malejący

• 
  

Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla

2. 
   

• 
  

• ciąg rosnący

• 
  

Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla

Podsumowując szereg jest zbieżny w przedziale
i rozbieżny w przedziale

3. Obliczenie promienia zbieżności

Promień zbieżności wynosi
, dla
co możemy odczytać z przedziału w którym szereg jest zbieżny

4. Obliczenie sumy szeregu w przedziale zbieżności

Obliczenie sumy na krańcach szeregu

1. 
   

2. 
   

Odpowiedź: Dla
szereg jest bezwzględnie zbieżny, dla
warunkowo zbieżny, a dla
szereg jest rozbieżny, promień zbieżności wynosi
a suma szeregu jest równa
dla
, 0 dla
,
dla
i
dla
.

Autor: Anna B. grupa 2

---