Wydział Geodezji i Kartografii	Środa 14^00-17^00			Nr zespołu 11
Nazwisko i Imię	Ocena z przygotowania		Ocena ze sprawozdania	Ocena końcowa
1. Biernacka Katarzyna 2. Kędziora Ernest 3. Lentowicz Klaudia
Prowadzący:  dr Przemysław Duda		Podpis prowadzącego:

1. Celem ćwiczenia jest udowodnienie, że częstość rozpadu promieniotwórczego ma charakter rozkładu statystycznego.

2. Wstęp teoretyczny

Promieniotwórczością nazywamy zjawisko spontanicznej emisji promieniowania jądrowego z jąder atomowych. Znane są trzy podstawowe przemiany promieniotwórcze(α, β, γ).

Przemiana α:

Przemiana β:

Przemiana γ:

W wyniku emisji promieniowania jądrowego zmniejsza się liczba jąder pierwiastka ulegającego rozpadowi.

Liczba jąder które jeszcze nie uległy rozpadowi wyraża się wzorem:

N(t) = N(0)e^-λt

gdzie:

λ − współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący rodzaj pierwiastka

N(0) − liczba jąder w chwili początkowej t = 0

Można obliczyć prawdopodobieństwo rozpadu dowolnego jądra otrzymując p=λ, z czego wynika, że musi istnieć pewien rozrzut wartości mierzonych wokół średniej.

Rozkład dwumianowy

Przyporządkowując zdarzeniu A o prawdopodobieństwie p liczbę 1, a zdarzeniu przeciwnemu o prawdopodobieństwie 1-p liczbę 0 możemy powiedzieć, że w n zdarzeniach losowych zdarzenie A mogło zajść 0,1,2,…,n razy. W rezultacie zmienna losowa X mogła przyjąć wartości k=0,1,2,…,n, gdzie wyrażenie X=k oznacza, że w n zdarzeniach losowych zdarzenie A zaszło k razy. Funkcję prawdopodobieństwa opisuje wzór:

Rozkład Poissona

Jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego dla małego p (k<<n). Dla tego warunku, po podstawieniu np.=m i k=x rozkład Poissona przyjmuje postać:

Rozkład ten jest jednoparametryczny, gdzie parametrem jest wartość oczekiwana m, w naszym przypadku będzie to liczba N, zaś za liniową miarę rozrzutu wartości średniej będziemy przyjmować odchylenie standardowe równe
.

Rozkład Gaussa

Ten rozkład stosujemy, gdy aktywność naszej próbki wzrasta. Gęstość prawdopodobieństwa dla tego rozkładu wyraża się wzorem:
, gdzie
.

Rozkład Gaussa jest zależny od dwóch parametrów, które należy wyznaczyć: średniej wartość liczby zdarzeń
i odchylenia standardowego
. Znając te parametry można dla każdej zmiennej losowej wyznaczyć zmienną standaryzowaną
, zaś prawdopodobieństwo otrzymania wartości x w przedziale (x, x+dx) obliczymy poprzez pomnożenie szerokości przedziału dx przez gęstość prawdopodobieństwa
.

Test

Służy do ilościowej oceny zgodności serii pomiarów z krzywą teoretyczną, która powinna opisywać uzyskane punkty doświadczalne. Zmienna losowa
podlega rozkładowi prawdopodobieństwa o gęstości
, gdzie k jest liczbą stopni swobody, a
oznacza funkcję gamma Eulera. Wartość oczekiwana
równa jest k.

Załóżmy, że przeprowadziliśmy n pomiarów, a zmienną x pogrupowaliśmy w l przedziałach i jeżeli przez
oznaczymy liczbę zarejestrowanych przez nas zdarzeń
, wartość teoretyczna
będzie równa
. Wtedy :

Liczba stopni swobody będzie równa liczbie przedziałów l zmniejszonej o1 oraz o liczbę parametrów s wyznaczających rozkład teoretyczny (s=1 dla rozkładu Poissona, s=2 dla rozkładu Gaussa)

Wyniki i opracowanie pomiarów

Dla ustalonych wartości bramki i liczby prób specjalny program dokonał następujących pomiarów.

Ilość zliczeń	Bramka [mm]	Ilość impulsów													chi kwadrat	stopnie swobody	poziom ufności	średnia	mediana	wariancja	odchylenie stand.	suma
				0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10									11	12
500	20	341	129	23	5	1									2,63	3	0,46	0,39	0	0,41	0,64	194
500	20	342	129	24	2										0,36	2	0,89	0,37	0	0,35	0,59	183
500	20	343	121	29	5										2,25	2	0,35	0,39	0	0,41	0,64	194
5000	20	3581	1178	207	27	3									2,04	3	0,57	0,34	0	0,35	0,59	1689
500	50	221	169	78	25	6	1								1,96	4	0,74	0,86	1	0,92	0,96	429
500	100	91	141	122	72	49	15	7	1	1					4,18	7	0,13	1,86	2	2,15	1,47	929
500	200	17	55	99	100	76	74	39	21	11	5	2	1		8,94	10	0,54	3,54	3	4	2	1772
500	500	5	28	56	93	94	82	53	43	24	13	5	3	1	3,96	11	0,97	4,46	4	4,65	2,16	2228
500	1000	8	30	57	84	102	89	56	39	23	8	3	1		3,44	10	0,97	4,31	4	4,1	2,03	2155
500	2000	6	32	67	68	96	82	55	41	29	11	10	1	2	17,01	11	0,11	4,49	4	5,09	2,26	500

Rozkłady Poissona

1. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 100mm

Norma	Średnia
477,0162	1,762639
Zliczenia	Eksperyment (E)	Teoria (T)	(E-T)^2	Błąd
0	91	81,8518582	83,6885	9,54
1	141	144,275318	10,72771	11,87
2	122	127,152686	26,55018	11,05
3	72	74,7081155	7,33389	8,49
4	49	32,9208687	258,5385	7,00
5	15	11,6055247	11,52246	3,87
6	7	3,40939268	12,89246	2,65
7	1	0,85850431	0,020021	1,00
8	1	0,1891542	0,657471	1,00
Suma	499		411,9312
500-100

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa			normalizacja		test X		bład
0	91	0,18			81,85		1,02		9,54
1	141	0,28			144,28		0,07		11,87
2	122	0,24			127,15		0,21		11,05
3	72	0,14			74,71		0,10		8,49
4	49	0,10			32,92		7,85		7,00
5	15	0,03			11,61		0,99		3,87
6	7	0,01			3,41		3,78		2,65
7	1	0,00			0,86		0,02		1,00
8	1	0,00			0,19		3,48		1,00
Suma	499
liczba pomiarów						499
średnia niepewność pojedynczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie						55,44
suma testu X						17,53
liczba stopni swobody						7
prawdopodobieństwo						0,95

2. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 50 mm

Norma	Średnia
489,4681	0,81011042
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	221	217,719776	10,75987	14,87
1	169	176,377058	54,42098	13,00
2	78	71,4424458	43,00152	8,83
3	25	19,2920898	32,58024	5,00
4	6	3,90718072	4,379893	2,45
5	1	0,63304956	0,134653	1,00
Suma	500		145,2772
500-50

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa			normalizacja		test X		bład
0	221	0,44			217,72		0,05		14,87
1	169	0,34			176,38		0,31		13,00
2	78	0,16			71,44		0,60		8,83
3	25	0,05			19,29		1,69		5,00
4	6	0,01			3,91		1,12		2,45
5	1	0,00			0,63		0,21		1,00
Suma	500
liczba pomiarów						500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie						83,33
suma testu X						3,98
liczba stopni swobody						4
prawdopodobieństwo						0,95

3. Dla liczby zliczeń 5000 i bramki 20mm.

Norma	Średnia
4981,057	0,33019937
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	3581	3580,28633	0,509326	59,84
1	1178	1182,20828	17,70964	34,32
2	207	195,182214	139,6601	14,39
3	27	21,4830145	30,43713	5,20
4	3	1,77341945	1,5045	1,73
Suma	4996		189,8207
5000-20

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa			normalizacja		test X		bład
0	3581	0,72			3580,29		0,00		59,84
1	1178	0,24			1182,21		0,01		34,32
2	207	0,04			195,18		0,72		14,39
3	27	0,01			21,48		1,42		5,20
4	3	0,00			1,77		0,85		1,73
Suma	4996
liczba pomiarów						4996
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie						99,80
suma testu X						3,00
liczba stopni swobody						3
prawdopodobieństwo						0,95

4. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 20mm.

Norma	Średnia
497,3524	0,37725919
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	341	341,053579	0,002871	18,46619
1	129	128,665598	0,111825	11,35782
2	23	24,2701397	1,613255	4,795832
3	5	3,05204443	3,794531	2,236068
4	1	0,28785295	0,507153	1
Suma	499		6,029635
500-20

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa			normalizacja			test X	bład
0	341	0,68			341,05			0,00	18,47
1	129	0,26			128,67			0,00	11,36
2	23	0,05			24,27			0,07	4,80
3	5	0,01			3,05			1,24	2,24
4	1	0,00			0,29			1,76	1,00
Suma	499
liczba pomiarów						499
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie						99,80
suma testu X						3,07
liczba stopni swobody						3
prawdopodobieństwo						0,95

5. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 200 mm

Norma		Średnia
481,6684		3,439694
Zliczenia	Eksperyment			Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	17			15,449267	2,404773	4,123106
1	55			53,140758	3,456781	7,416198
2	99			91,3939852	57,85146	9,949874
3	100			104,789128	22,93575	10
4	76			90,1106456	199,1103	8,717798
5	74			61,9906176	144,2253	8,602325
6	39			35,5381306	11,98454	6,244998
7	21			17,4629015	12,51107	4,582576
8	11			7,50838069	12,19141	3,316625
9	5			2,86961504	4,53854	2,236068
10	2			0,9870599	1,026048	1,414214
11	1			0,30865313	0,47796	1
Suma	500				466,6714
500-200

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa				normalizacja		test X	bład
0	17	0,03				15,45		0,16	4,12
1	55	0,11				53,14		0,07	7,42
2	99	0,20				91,39		0,63	9,95
3	100	0,20				104,79		0,22	10,00
4	76	0,15				90,11		2,21	8,72
5	74	0,15				61,99		2,33	8,60
6	39	0,08				35,54		0,34	6,24
7	21	0,04				17,46		0,72	4,58
8	11	0,02				7,51		1,62	3,32
9	5	0,01				2,87		1,58	2,24
10	2	0,00				0,99		1,04	1,41
11	1	0,00				0,31		1,55	1,00
Suma	500
liczba pomiarów					500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie					41,67
suma testu X					12,46
liczba stopni swobody					11
prawdopodobieństwo					0,95

6. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 500 mm

Norma	Średnia
493,8904	4,36752366
Zliczenia	Eksperyment	Teoria		(E-T)^2	Błąd
0	5	6,26381788		1,597236	2,236068
1	28	27,3573728		0,41297	5,291503
2	56	59,7419865		14,00246	7,483315
3	93	86,9748464		36,30248	9,643651
4	94	94,9661748		0,933494	9,69536
5	82	82,9534031		0,908977	9,055385
6	53	60,3834917		54,51595	7,28011
7	43	37,6751898		28,3536	6,557439
8	24	20,5684104		11,77581	4,898979
9	13	9,98144653		9,111665	3,605551
10	5	4,35942039		0,410342	2,236068
11	3	1,73089743		1,610621	1,732051
12	1	0,62997795		0,136916	1
Suma	500			160,0725
500-500

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa				normalizacja		test X	bład
0	5	0,01				6,26		0,25	2,24
1	28	0,06				27,36		0,02	5,29
2	56	0,11				59,74		0,23	7,48
3	93	0,19				86,97		0,42	9,64
4	94	0,19				94,97		0,01	9,70
5	82	0,16				82,95		0,01	9,06
6	53	0,11				60,38		0,90	7,28
7	43	0,09				37,68		0,75	6,56
8	24	0,05				20,57		0,57	4,90
9	13	0,03				9,98		0,91	3,61
10	5	0,01				4,36		0,09	2,24
11	3	0,01				1,73		0,93	1,73
12	1	0,00				0,63		0,22	1,00
Suma	500
liczba pomiarów					500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie					38,46
suma testu X					5,33
liczba stopni swobody					11
prawdopodobieństwo					0,95

7. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 1000 mm

Norma	Średnia
504,0796	4,39241272
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	8	6,23589122	3,11208	2,828427
1	30	27,3906079	6,808927	5,477226
2	57	60,1554274	9,956722	7,549834
3	84	88,0758216	16,61232	9,165151
4	102	96,7163398	27,91707	10,0995
5	89	84,9636163	16,29239	9,433981
6	56	62,1992115	38,43022	7,483315
7	39	39,0292297	0,000854	6,244998
8	23	21,4290606	2,46785	4,795832
9	8	10,4583643	6,043555	2,828427
10	3	4,59374524	2,540024	1,732051
11	1	1,83432955	0,696106	1
Suma	500		130,8781
500-1000

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa				normalizacja		test X	bład
0	8	0,02				6,24		0,50	2,83
1	30	0,06				27,39		0,25	5,48
2	57	0,11				60,16		0,17	7,55
3	84	0,17				88,08		0,19	9,17
4	102	0,20				96,72		0,29	10,10
5	89	0,18				84,96		0,19	9,43
6	56	0,11				62,20		0,62	7,48
7	39	0,08				39,03		0,00	6,24
8	23	0,05				21,43		0,12	4,80
9	8	0,02				10,46		0,58	2,83
10	3	0,01				4,59		0,55	1,73
11	1	0,00				1,83		0,38	1,00
Suma	500
liczba pomiarów					500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie					41,67
suma testu X					3,83
liczba stopni swobody					10
prawdopodobieństwo					0,95

8. Dla liczy zliczeń 500 i bramki 2000 mm

Norma	Średnia
480,3255	4,43975257
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	6	5,66729236	0,110694	2,44949
1	32	25,1613758	46,76678	5,656854
2	67	55,8551415	124,2079	8,185353
3	68	82,6610027	214,945	8,246211
4	96	91,7485998	18,0744	9,797959
5	82	81,4682164	0,282794	9,055385
6	55	60,2831205	27,91136	7,416198
7	41	38,2345913	7,647485	6,403124
8	29	21,2190157	60,54372	5,385165
9	11	10,4674644	0,283594	3,316625
10	10	4,64729518	28,65145	3,162278
11	1	1,8757128	0,766873	1
12	2	0,69397506	1,705701	1,41424
Suma	500		531,8977
500-2000	500		531,8977

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa				normalizacja		test X	bład
0	6	0,01				5,67		0,02	2,45
1	32	0,06				25,16		1,86	5,66
2	67	0,13				55,86		2,22	8,19
3	68	0,14				82,66		2,60	8,25
4	96	0,19				91,75		0,20	9,80
5	82	0,16				81,47		0,00	9,06
6	55	0,11				60,28		0,46	7,42
7	41	0,08				38,23		0,20	6,40
8	29	0,06				21,22		2,85	5,39
9	11	0,02				10,47		0,03	3,32
10	10	0,02				4,65		6,17	3,16
11	1	0,00				1,88		0,41	1,00
12	2	0,00				0,69		2,46	1,41
Suma	500
liczba pomiarów					500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie					38,46
suma testu X					19,48
liczba stopni swobody					11
prawdopodobieństwo					0,95

Rozkłady Gaussa

1. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 500 mm

Odchylenie	Norma	Średnia
2,105504	497,32419	4,1020014
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	5	14,13	83,267347	2,236068
1	28	31,83	14,683379	5,2915026
2	56	57,25	1,560101	7,4833148
3	93	82,17	117,30762	9,6436508
4	94	94,12	0,0145059	9,6953597
5	82	86,04	16,311203	9,0553851
6	53	62,77	95,41465	7,2801099
7	43	36,54	41,67787	6,5574385
8	24	16,98	49,283463	4,8989795
9	13	6,30	44,940461	3,6055513
10	5	1,86	9,8393784	2,236068
11	3	0,44	6,5534437	1,7320508
12	1	0,08	0,8410089	1
Suma	500		481,69443
500-500

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa	normalizacja
0	5	0,01	14,13
1	28	0,06	31,83
2	56	0,11	57,25
3	93	0,19	82,17
4	94	0,19	94,12
5	82	0,16	86,04
6	53	0,11	62,77
7	43	0,09	36,54
8	24	0,05	16,98
9	13	0,03	6,30
10	5	0,01	1,86
11	3	0,01	0,44
12	1	0,00	0,08
Suma	500
liczba pomiarów			500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie			38,46
suma testu X			51,02
liczba stopni swobody			11
prawdopodobieństwo

2. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 1000 mm

Odchylenie	Norma	Średnia
2,0370681	500,5915796	4,125073794
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	8	12,62	21,313425	2,8284271
1	30	30,22	0,04973	5,4772256
2	57	56,89	0,0110532	7,5498344
3	84	84,17	0,0284429	9,1651514
4	102	97,85	17,206375	10,099505
5	89	89,40	0,1588226	9,4339811
6	56	64,18	66,993066	7,4833148
7	39	36,21	7,7612904	6,244998
8	23	16,06	48,205503	4,7958315
9	8	5,59	5,7845233	2,8284271
10	3	1,53	2,1549905	1,7320508
11	1	0,33	0,4493481	1
Suma	500		170,11657
500-1000

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa	normalizacja	test X	bład
0	8	0,02	12,62	1,689	2,83
1	30	0,06	30,22	0,002	5,48
2	57	0,11	56,89	0,000	7,55
3	84	0,17	84,17	0,000	9,17
4	102	0,20	97,85	0,176	10,10
5	89	0,18	89,40	0,002	9,43
6	56	0,11	64,18	1,044	7,48
7	39	0,08	36,21	0,214	6,24
8	23	0,05	16,06	3,002	4,80
9	8	0,02	5,59	1,034	2,83
10	3	0,01	1,53	1,407	1,73
11	1	0,00	0,33	1,363	1,00
Suma	500
liczba pomiarów			500
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie			41,67
suma testu X			9,93
liczba stopni swobody 10
prawdopodobieństwo

3. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 2000 mm

Odchylenie	Norma	Średnia
2,28254	503,7847732	4,173650247
Zliczenia	Eksperyment	Teoria	(E-T)^2	Błąd
0	6	16,5468355	111,23574	2,4494897
1	32	33,49216782	2,2265648	5,6568542
2	67	55,95173025	122,06426	8,1853528
3	68	77,1481892	83,689366	8,2462113
4	96	87,79704635	67,288449	9,797959
5	82	82,46620851	0,2173504	9,0553851
6	55	63,93138353	79,769612	7,4161985
7	41	40,90667039	0,0087104	6,4031242
8	29	21,60310185	54,714102	5,3851648
9	11	9,416294826	2,5081221	3,3166248
10	10	3,38755173	43,724472	3,1622777
11	1	1,00585129	3,424E-05	1
12	2	0,246503773	3,074749	1,4142136
Suma	500		570,52153
500-2000

xi	ni	pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa	normalizacja	test X	bład
0	6	0,01	16,55	6,72	2,45
1	32	0,06	33,49	0,07	5,66
2	67	0,13	55,95	2,18	8,19
3	68	0,14	77,15	1,08	8,25
4	96	0,19	87,80	0,77	9,80
5	82	0,16	82,47	0,00	9,06
6	55	0,11	63,93	1,25	7,42
7	41	0,08	40,91	0,00	6,40
8	29	0,06	21,60	2,53	5,39
9	11	0,02	9,42	0,27	3,32
10	10	0,02	3,39	12,91	3,16
11	1	0,00	1,01	0,00	1,00
12	2	0,00	0,25	12,47	1,41
Suma	500
liczba pomiarów			500
średnia niepewność pojedynczego pomiaru
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie			38,46
suma testu X			40,25
liczba stopni swobody			11
prawdopodobieństwo

Wnioski

Dokonując pomiarów i powyższych obliczeń możemy stwierdzić, że rozpad promieniotwórczy ma zdecydowanie charakter rozkładu statystycznego. Dla początkowych serii rozkładem tym jest rozkład Poissona. Wraz ze zmianą(wzrostem) wartości bramki krzywa teoretyczna również się zmienia i możemy stwierdzić, że w ostatnich trzech seriach mamy do czynienia z rozkładem Gaussa.

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0

1

2

3

4

eksperyment

teoria

---