Wydział Geodezji i Kartografii |
Środa 1400-1700 |
Nr zespołu 11 |
||
|
|
|
||
Nazwisko i Imię |
Ocena z przygotowania |
Ocena ze sprawozdania |
Ocena końcowa |
|
1. Biernacka Katarzyna 2. Kędziora Ernest 3. Lentowicz Klaudia
|
|
|
|
|
Prowadzący: dr Przemysław Duda
|
Podpis |
Celem ćwiczenia jest udowodnienie, że częstość rozpadu promieniotwórczego ma charakter rozkładu statystycznego.
Wstęp teoretyczny
Promieniotwórczością nazywamy zjawisko spontanicznej emisji promieniowania jądrowego z jąder atomowych. Znane są trzy podstawowe przemiany promieniotwórcze(α, β, γ).
Przemiana α:
Przemiana β:
Przemiana γ:
W wyniku emisji promieniowania jądrowego zmniejsza się liczba jąder pierwiastka ulegającego rozpadowi.
Liczba jąder które jeszcze nie uległy rozpadowi wyraża się wzorem:
N(t) = N(0)e-λt
gdzie:
λ − współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący rodzaj pierwiastka
N(0) − liczba jąder w chwili początkowej t = 0
Można obliczyć prawdopodobieństwo rozpadu dowolnego jądra otrzymując p=λ, z czego wynika, że musi istnieć pewien rozrzut wartości mierzonych wokół średniej.
Rozkład dwumianowy
Przyporządkowując zdarzeniu A o prawdopodobieństwie p liczbę 1, a zdarzeniu przeciwnemu o prawdopodobieństwie 1-p liczbę 0 możemy powiedzieć, że w n zdarzeniach losowych zdarzenie A mogło zajść 0,1,2,…,n razy. W rezultacie zmienna losowa X mogła przyjąć wartości k=0,1,2,…,n, gdzie wyrażenie X=k oznacza, że w n zdarzeniach losowych zdarzenie A zaszło k razy. Funkcję prawdopodobieństwa opisuje wzór:
Rozkład Poissona
Jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego dla małego p (k<<n). Dla tego warunku, po podstawieniu np.=m i k=x rozkład Poissona przyjmuje postać:
Rozkład ten jest jednoparametryczny, gdzie parametrem jest wartość oczekiwana m, w naszym przypadku będzie to liczba N, zaś za liniową miarę rozrzutu wartości średniej będziemy przyjmować odchylenie standardowe równe
.
Rozkład Gaussa
Ten rozkład stosujemy, gdy aktywność naszej próbki wzrasta. Gęstość prawdopodobieństwa dla tego rozkładu wyraża się wzorem:
, gdzie
.
Rozkład Gaussa jest zależny od dwóch parametrów, które należy wyznaczyć: średniej wartość liczby zdarzeń
i odchylenia standardowego
. Znając te parametry można dla każdej zmiennej losowej wyznaczyć zmienną standaryzowaną
, zaś prawdopodobieństwo otrzymania wartości x w przedziale (x, x+dx) obliczymy poprzez pomnożenie szerokości przedziału dx przez gęstość prawdopodobieństwa
.
Test
Służy do ilościowej oceny zgodności serii pomiarów z krzywą teoretyczną, która powinna opisywać uzyskane punkty doświadczalne. Zmienna losowa
podlega rozkładowi prawdopodobieństwa o gęstości
, gdzie k jest liczbą stopni swobody, a
oznacza funkcję gamma Eulera. Wartość oczekiwana
równa jest k.
Załóżmy, że przeprowadziliśmy n pomiarów, a zmienną x pogrupowaliśmy w l przedziałach i jeżeli przez
oznaczymy liczbę zarejestrowanych przez nas zdarzeń
, wartość teoretyczna
będzie równa
. Wtedy :
Liczba stopni swobody będzie równa liczbie przedziałów l zmniejszonej o1 oraz o liczbę parametrów s wyznaczających rozkład teoretyczny (s=1 dla rozkładu Poissona, s=2 dla rozkładu Gaussa)
Wyniki i opracowanie pomiarów
Dla ustalonych wartości bramki i liczby prób specjalny program dokonał następujących pomiarów.
Ilość zliczeń |
Bramka [mm] |
Ilość impulsów |
chi kwadrat |
stopnie swobody |
poziom ufności |
średnia |
mediana |
wariancja |
odchylenie stand. |
suma |
||||||||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
20 |
341 |
129 |
23 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,63 |
3 |
0,46 |
0,39 |
0 |
0,41 |
0,64 |
194 |
500 |
20 |
342 |
129 |
24 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,36 |
2 |
0,89 |
0,37 |
0 |
0,35 |
0,59 |
183 |
500 |
20 |
343 |
121 |
29 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,25 |
2 |
0,35 |
0,39 |
0 |
0,41 |
0,64 |
194 |
5000 |
20 |
3581 |
1178 |
207 |
27 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,04 |
3 |
0,57 |
0,34 |
0 |
0,35 |
0,59 |
1689 |
500 |
50 |
221 |
169 |
78 |
25 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1,96 |
4 |
0,74 |
0,86 |
1 |
0,92 |
0,96 |
429 |
500 |
100 |
91 |
141 |
122 |
72 |
49 |
15 |
7 |
1 |
1 |
|
|
|
|
4,18 |
7 |
0,13 |
1,86 |
2 |
2,15 |
1,47 |
929 |
500 |
200 |
17 |
55 |
99 |
100 |
76 |
74 |
39 |
21 |
11 |
5 |
2 |
1 |
|
8,94 |
10 |
0,54 |
3,54 |
3 |
4 |
2 |
1772 |
500 |
500 |
5 |
28 |
56 |
93 |
94 |
82 |
53 |
43 |
24 |
13 |
5 |
3 |
1 |
3,96 |
11 |
0,97 |
4,46 |
4 |
4,65 |
2,16 |
2228 |
500 |
1000 |
8 |
30 |
57 |
84 |
102 |
89 |
56 |
39 |
23 |
8 |
3 |
1 |
|
3,44 |
10 |
0,97 |
4,31 |
4 |
4,1 |
2,03 |
2155 |
500 |
2000 |
6 |
32 |
67 |
68 |
96 |
82 |
55 |
41 |
29 |
11 |
10 |
1 |
2 |
17,01 |
11 |
0,11 |
4,49 |
4 |
5,09 |
2,26 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rozkłady Poissona
1. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 100mm
Norma |
Średnia |
|
|
|
477,0162 |
1,762639 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment (E) |
Teoria (T) |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
91 |
81,8518582 |
83,6885 |
9,54 |
1 |
141 |
144,275318 |
10,72771 |
11,87 |
2 |
122 |
127,152686 |
26,55018 |
11,05 |
3 |
72 |
74,7081155 |
7,33389 |
8,49 |
4 |
49 |
32,9208687 |
258,5385 |
7,00 |
5 |
15 |
11,6055247 |
11,52246 |
3,87 |
6 |
7 |
3,40939268 |
12,89246 |
2,65 |
7 |
1 |
0,85850431 |
0,020021 |
1,00 |
8 |
1 |
0,1891542 |
0,657471 |
1,00 |
|
|
|
|
|
Suma |
499 |
|
411,9312 |
|
500-100 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
91 |
0,18 |
81,85 |
1,02 |
9,54 |
||||
1 |
141 |
0,28 |
144,28 |
0,07 |
11,87 |
||||
2 |
122 |
0,24 |
127,15 |
0,21 |
11,05 |
||||
3 |
72 |
0,14 |
74,71 |
0,10 |
8,49 |
||||
4 |
49 |
0,10 |
32,92 |
7,85 |
7,00 |
||||
5 |
15 |
0,03 |
11,61 |
0,99 |
3,87 |
||||
6 |
7 |
0,01 |
3,41 |
3,78 |
2,65 |
||||
7 |
1 |
0,00 |
0,86 |
0,02 |
1,00 |
||||
8 |
1 |
0,00 |
0,19 |
3,48 |
1,00 |
||||
Suma |
499 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
499 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedynczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
55,44 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
17,53 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
7 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
2. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 50 mm
Norma |
Średnia |
|
|
|
489,4681 |
0,81011042 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
221 |
217,719776 |
10,75987 |
14,87 |
1 |
169 |
176,377058 |
54,42098 |
13,00 |
2 |
78 |
71,4424458 |
43,00152 |
8,83 |
3 |
25 |
19,2920898 |
32,58024 |
5,00 |
4 |
6 |
3,90718072 |
4,379893 |
2,45 |
5 |
1 |
0,63304956 |
0,134653 |
1,00 |
Suma |
500 |
|
145,2772 |
|
500-50 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
221 |
0,44 |
217,72 |
0,05 |
14,87 |
||||
1 |
169 |
0,34 |
176,38 |
0,31 |
13,00 |
||||
2 |
78 |
0,16 |
71,44 |
0,60 |
8,83 |
||||
3 |
25 |
0,05 |
19,29 |
1,69 |
5,00 |
||||
4 |
6 |
0,01 |
3,91 |
1,12 |
2,45 |
||||
5 |
1 |
0,00 |
0,63 |
0,21 |
1,00 |
||||
Suma |
500 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
500 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
83,33 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
3,98 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
3. Dla liczby zliczeń 5000 i bramki 20mm.
Norma |
Średnia |
|
|
|
4981,057 |
0,33019937 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
3581 |
3580,28633 |
0,509326 |
59,84 |
1 |
1178 |
1182,20828 |
17,70964 |
34,32 |
2 |
207 |
195,182214 |
139,6601 |
14,39 |
3 |
27 |
21,4830145 |
30,43713 |
5,20 |
4 |
3 |
1,77341945 |
1,5045 |
1,73 |
|
|
|
|
|
Suma |
4996 |
|
189,8207 |
|
5000-20 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
3581 |
0,72 |
3580,29 |
0,00 |
59,84 |
||||
1 |
1178 |
0,24 |
1182,21 |
0,01 |
34,32 |
||||
2 |
207 |
0,04 |
195,18 |
0,72 |
14,39 |
||||
3 |
27 |
0,01 |
21,48 |
1,42 |
5,20 |
||||
4 |
3 |
0,00 |
1,77 |
0,85 |
1,73 |
||||
Suma |
4996 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
4996 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
99,80 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
3,00 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
4. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 20mm.
Norma |
Średnia |
|
|
|
497,3524 |
0,37725919 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
341 |
341,053579 |
0,002871 |
18,46619 |
1 |
129 |
128,665598 |
0,111825 |
11,35782 |
2 |
23 |
24,2701397 |
1,613255 |
4,795832 |
3 |
5 |
3,05204443 |
3,794531 |
2,236068 |
4 |
1 |
0,28785295 |
0,507153 |
1 |
|
|
|
|
|
Suma |
499 |
|
6,029635 |
|
500-20 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
341 |
0,68 |
341,05 |
0,00 |
18,47 |
||||
1 |
129 |
0,26 |
128,67 |
0,00 |
11,36 |
||||
2 |
23 |
0,05 |
24,27 |
0,07 |
4,80 |
||||
3 |
5 |
0,01 |
3,05 |
1,24 |
2,24 |
||||
4 |
1 |
0,00 |
0,29 |
1,76 |
1,00 |
||||
Suma |
499 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
499 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
99,80 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
3,07 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
5. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 200 mm
Norma |
Średnia |
|||||
481,6684 |
3,439694 |
|||||
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
||
0 |
17 |
15,449267 |
2,404773 |
4,123106 |
||
1 |
55 |
53,140758 |
3,456781 |
7,416198 |
||
2 |
99 |
91,3939852 |
57,85146 |
9,949874 |
||
3 |
100 |
104,789128 |
22,93575 |
10 |
||
4 |
76 |
90,1106456 |
199,1103 |
8,717798 |
||
5 |
74 |
61,9906176 |
144,2253 |
8,602325 |
||
6 |
39 |
35,5381306 |
11,98454 |
6,244998 |
||
7 |
21 |
17,4629015 |
12,51107 |
4,582576 |
||
8 |
11 |
7,50838069 |
12,19141 |
3,316625 |
||
9 |
5 |
2,86961504 |
4,53854 |
2,236068 |
||
10 |
2 |
0,9870599 |
1,026048 |
1,414214 |
||
11 |
1 |
0,30865313 |
0,47796 |
1 |
||
|
|
|
|
|
||
Suma |
500 |
|
466,6714 |
|
||
500-200 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
17 |
0,03 |
15,45 |
0,16 |
4,12 |
||||
1 |
55 |
0,11 |
53,14 |
0,07 |
7,42 |
||||
2 |
99 |
0,20 |
91,39 |
0,63 |
9,95 |
||||
3 |
100 |
0,20 |
104,79 |
0,22 |
10,00 |
||||
4 |
76 |
0,15 |
90,11 |
2,21 |
8,72 |
||||
5 |
74 |
0,15 |
61,99 |
2,33 |
8,60 |
||||
6 |
39 |
0,08 |
35,54 |
0,34 |
6,24 |
||||
7 |
21 |
0,04 |
17,46 |
0,72 |
4,58 |
||||
8 |
11 |
0,02 |
7,51 |
1,62 |
3,32 |
||||
9 |
5 |
0,01 |
2,87 |
1,58 |
2,24 |
||||
10 |
2 |
0,00 |
0,99 |
1,04 |
1,41 |
||||
11 |
1 |
0,00 |
0,31 |
1,55 |
1,00 |
||||
Suma |
500 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
500 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
41,67 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
12,46 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
11 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
6. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 500 mm
Norma |
Średnia |
|
|
|
|
493,8904 |
4,36752366 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
|
0 |
5 |
6,26381788 |
1,597236 |
2,236068 |
|
1 |
28 |
27,3573728 |
0,41297 |
5,291503 |
|
2 |
56 |
59,7419865 |
14,00246 |
7,483315 |
|
3 |
93 |
86,9748464 |
36,30248 |
9,643651 |
|
4 |
94 |
94,9661748 |
0,933494 |
9,69536 |
|
5 |
82 |
82,9534031 |
0,908977 |
9,055385 |
|
6 |
53 |
60,3834917 |
54,51595 |
7,28011 |
|
7 |
43 |
37,6751898 |
28,3536 |
6,557439 |
|
8 |
24 |
20,5684104 |
11,77581 |
4,898979 |
|
9 |
13 |
9,98144653 |
9,111665 |
3,605551 |
|
10 |
5 |
4,35942039 |
0,410342 |
2,236068 |
|
11 |
3 |
1,73089743 |
1,610621 |
1,732051 |
|
12 |
1 |
0,62997795 |
0,136916 |
1 |
|
|
|
||||
Suma |
500 |
|
160,0725 |
|
|
500-500 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
5 |
0,01 |
6,26 |
0,25 |
2,24 |
||||
1 |
28 |
0,06 |
27,36 |
0,02 |
5,29 |
||||
2 |
56 |
0,11 |
59,74 |
0,23 |
7,48 |
||||
3 |
93 |
0,19 |
86,97 |
0,42 |
9,64 |
||||
4 |
94 |
0,19 |
94,97 |
0,01 |
9,70 |
||||
5 |
82 |
0,16 |
82,95 |
0,01 |
9,06 |
||||
6 |
53 |
0,11 |
60,38 |
0,90 |
7,28 |
||||
7 |
43 |
0,09 |
37,68 |
0,75 |
6,56 |
||||
8 |
24 |
0,05 |
20,57 |
0,57 |
4,90 |
||||
9 |
13 |
0,03 |
9,98 |
0,91 |
3,61 |
||||
10 |
5 |
0,01 |
4,36 |
0,09 |
2,24 |
||||
11 |
3 |
0,01 |
1,73 |
0,93 |
1,73 |
||||
12 |
1 |
0,00 |
0,63 |
0,22 |
1,00 |
||||
Suma |
500 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
500 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
38,46 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
5,33 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
11 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
7. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 1000 mm
Norma |
Średnia |
|
|
|
504,0796 |
4,39241272 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
8 |
6,23589122 |
3,11208 |
2,828427 |
1 |
30 |
27,3906079 |
6,808927 |
5,477226 |
2 |
57 |
60,1554274 |
9,956722 |
7,549834 |
3 |
84 |
88,0758216 |
16,61232 |
9,165151 |
4 |
102 |
96,7163398 |
27,91707 |
10,0995 |
5 |
89 |
84,9636163 |
16,29239 |
9,433981 |
6 |
56 |
62,1992115 |
38,43022 |
7,483315 |
7 |
39 |
39,0292297 |
0,000854 |
6,244998 |
8 |
23 |
21,4290606 |
2,46785 |
4,795832 |
9 |
8 |
10,4583643 |
6,043555 |
2,828427 |
10 |
3 |
4,59374524 |
2,540024 |
1,732051 |
11 |
1 |
1,83432955 |
0,696106 |
1 |
|
|
|
|
|
Suma |
500 |
|
130,8781 |
|
500-1000 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
8 |
0,02 |
6,24 |
0,50 |
2,83 |
||||
1 |
30 |
0,06 |
27,39 |
0,25 |
5,48 |
||||
2 |
57 |
0,11 |
60,16 |
0,17 |
7,55 |
||||
3 |
84 |
0,17 |
88,08 |
0,19 |
9,17 |
||||
4 |
102 |
0,20 |
96,72 |
0,29 |
10,10 |
||||
5 |
89 |
0,18 |
84,96 |
0,19 |
9,43 |
||||
6 |
56 |
0,11 |
62,20 |
0,62 |
7,48 |
||||
7 |
39 |
0,08 |
39,03 |
0,00 |
6,24 |
||||
8 |
23 |
0,05 |
21,43 |
0,12 |
4,80 |
||||
9 |
8 |
0,02 |
10,46 |
0,58 |
2,83 |
||||
10 |
3 |
0,01 |
4,59 |
0,55 |
1,73 |
||||
11 |
1 |
0,00 |
1,83 |
0,38 |
1,00 |
||||
Suma |
500 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
500 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
41,67 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
3,83 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
10 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
8. Dla liczy zliczeń 500 i bramki 2000 mm
Norma |
Średnia |
|
|
|
480,3255 |
4,43975257 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
6 |
5,66729236 |
0,110694 |
2,44949 |
1 |
32 |
25,1613758 |
46,76678 |
5,656854 |
2 |
67 |
55,8551415 |
124,2079 |
8,185353 |
3 |
68 |
82,6610027 |
214,945 |
8,246211 |
4 |
96 |
91,7485998 |
18,0744 |
9,797959 |
5 |
82 |
81,4682164 |
0,282794 |
9,055385 |
6 |
55 |
60,2831205 |
27,91136 |
7,416198 |
7 |
41 |
38,2345913 |
7,647485 |
6,403124 |
8 |
29 |
21,2190157 |
60,54372 |
5,385165 |
9 |
11 |
10,4674644 |
0,283594 |
3,316625 |
10 |
10 |
4,64729518 |
28,65145 |
3,162278 |
11 |
1 |
1,8757128 |
0,766873 |
1 |
12 |
2 |
0,69397506 |
1,705701 |
1,41424 |
|
|
|
|
|
Suma |
500 |
|
531,8977 |
|
500-2000 |
500 |
|
531,8977 |
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
||||
0 |
6 |
0,01 |
5,67 |
0,02 |
2,45 |
||||
1 |
32 |
0,06 |
25,16 |
1,86 |
5,66 |
||||
2 |
67 |
0,13 |
55,86 |
2,22 |
8,19 |
||||
3 |
68 |
0,14 |
82,66 |
2,60 |
8,25 |
||||
4 |
96 |
0,19 |
91,75 |
0,20 |
9,80 |
||||
5 |
82 |
0,16 |
81,47 |
0,00 |
9,06 |
||||
6 |
55 |
0,11 |
60,28 |
0,46 |
7,42 |
||||
7 |
41 |
0,08 |
38,23 |
0,20 |
6,40 |
||||
8 |
29 |
0,06 |
21,22 |
2,85 |
5,39 |
||||
9 |
11 |
0,02 |
10,47 |
0,03 |
3,32 |
||||
10 |
10 |
0,02 |
4,65 |
6,17 |
3,16 |
||||
11 |
1 |
0,00 |
1,88 |
0,41 |
1,00 |
||||
12 |
2 |
0,00 |
0,69 |
2,46 |
1,41 |
||||
Suma |
500 |
|
|
|
|
||||
liczba pomiarów |
|
500 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
38,46 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
suma testu X |
|
19,48 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
liczba stopni swobody |
|
11 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
prawdopodobieństwo |
|
0,95 |
Rozkłady Gaussa
1. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 500 mm
Odchylenie |
Norma |
Średnia |
|||
2,105504 |
497,32419 |
4,1020014 |
|||
|
|
|
|||
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
|
0 |
5 |
14,13 |
83,267347 |
2,236068 |
|
1 |
28 |
31,83 |
14,683379 |
5,2915026 |
|
2 |
56 |
57,25 |
1,560101 |
7,4833148 |
|
3 |
93 |
82,17 |
117,30762 |
9,6436508 |
|
4 |
94 |
94,12 |
0,0145059 |
9,6953597 |
|
5 |
82 |
86,04 |
16,311203 |
9,0553851 |
|
6 |
53 |
62,77 |
95,41465 |
7,2801099 |
|
7 |
43 |
36,54 |
41,67787 |
6,5574385 |
|
8 |
24 |
16,98 |
49,283463 |
4,8989795 |
|
9 |
13 |
6,30 |
44,940461 |
3,6055513 |
|
10 |
5 |
1,86 |
9,8393784 |
2,236068 |
|
11 |
3 |
0,44 |
6,5534437 |
1,7320508 |
|
12 |
1 |
0,08 |
0,8410089 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Suma |
500 |
|
481,69443 |
|
|
500-500 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
0 |
5 |
0,01 |
14,13 |
1 |
28 |
0,06 |
31,83 |
2 |
56 |
0,11 |
57,25 |
3 |
93 |
0,19 |
82,17 |
4 |
94 |
0,19 |
94,12 |
5 |
82 |
0,16 |
86,04 |
6 |
53 |
0,11 |
62,77 |
7 |
43 |
0,09 |
36,54 |
8 |
24 |
0,05 |
16,98 |
9 |
13 |
0,03 |
6,30 |
10 |
5 |
0,01 |
1,86 |
11 |
3 |
0,01 |
0,44 |
12 |
1 |
0,00 |
0,08 |
Suma |
500 |
|
|
liczba pomiarów |
|
500 |
|
|
|
|
|
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
||
|
|
|
|
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
38,46 |
||
|
|
|
|
suma testu X |
|
51,02 |
|
|
|
|
|
liczba stopni swobody |
11 |
||
|
|
|
|
prawdopodobieństwo |
|
|
2. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 1000 mm
Odchylenie |
Norma |
Średnia |
|
|
2,0370681 |
500,5915796 |
4,125073794 |
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
8 |
12,62 |
21,313425 |
2,8284271 |
1 |
30 |
30,22 |
0,04973 |
5,4772256 |
2 |
57 |
56,89 |
0,0110532 |
7,5498344 |
3 |
84 |
84,17 |
0,0284429 |
9,1651514 |
4 |
102 |
97,85 |
17,206375 |
10,099505 |
5 |
89 |
89,40 |
0,1588226 |
9,4339811 |
6 |
56 |
64,18 |
66,993066 |
7,4833148 |
7 |
39 |
36,21 |
7,7612904 |
6,244998 |
8 |
23 |
16,06 |
48,205503 |
4,7958315 |
9 |
8 |
5,59 |
5,7845233 |
2,8284271 |
10 |
3 |
1,53 |
2,1549905 |
1,7320508 |
11 |
1 |
0,33 |
0,4493481 |
1 |
|
|
|
|
|
Suma |
500 |
|
170,11657 |
|
500-1000 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
0 |
8 |
0,02 |
12,62 |
1,689 |
2,83 |
1 |
30 |
0,06 |
30,22 |
0,002 |
5,48 |
2 |
57 |
0,11 |
56,89 |
0,000 |
7,55 |
3 |
84 |
0,17 |
84,17 |
0,000 |
9,17 |
4 |
102 |
0,20 |
97,85 |
0,176 |
10,10 |
5 |
89 |
0,18 |
89,40 |
0,002 |
9,43 |
6 |
56 |
0,11 |
64,18 |
1,044 |
7,48 |
7 |
39 |
0,08 |
36,21 |
0,214 |
6,24 |
8 |
23 |
0,05 |
16,06 |
3,002 |
4,80 |
9 |
8 |
0,02 |
5,59 |
1,034 |
2,83 |
10 |
3 |
0,01 |
1,53 |
1,407 |
1,73 |
11 |
1 |
0,00 |
0,33 |
1,363 |
1,00 |
Suma |
500 |
|
|
|
|
liczba pomiarów |
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
średnia niepewność pojedyńczego pomiaru |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
41,67 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
suma testu X |
|
9,93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
liczba stopni swobody 10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
prawdopodobieństwo |
|
|
|
|
3. Dla liczby zliczeń 500 i bramki 2000 mm
Odchylenie |
Norma |
Średnia |
|
|
2,28254 |
503,7847732 |
4,173650247 |
|
|
|
|
|
|
|
Zliczenia |
Eksperyment |
Teoria |
(E-T)^2 |
Błąd |
0 |
6 |
16,5468355 |
111,23574 |
2,4494897 |
1 |
32 |
33,49216782 |
2,2265648 |
5,6568542 |
2 |
67 |
55,95173025 |
122,06426 |
8,1853528 |
3 |
68 |
77,1481892 |
83,689366 |
8,2462113 |
4 |
96 |
87,79704635 |
67,288449 |
9,797959 |
5 |
82 |
82,46620851 |
0,2173504 |
9,0553851 |
6 |
55 |
63,93138353 |
79,769612 |
7,4161985 |
7 |
41 |
40,90667039 |
0,0087104 |
6,4031242 |
8 |
29 |
21,60310185 |
54,714102 |
5,3851648 |
9 |
11 |
9,416294826 |
2,5081221 |
3,3166248 |
10 |
10 |
3,38755173 |
43,724472 |
3,1622777 |
11 |
1 |
1,00585129 |
3,424E-05 |
1 |
12 |
2 |
0,246503773 |
3,074749 |
1,4142136 |
|
|
|
|
|
Suma |
500 |
|
570,52153 |
|
500-2000 |
|
|
|
|
xi |
ni |
pi=prawdopodobieństwo wg Gaussa |
normalizacja |
test X |
bład |
0 |
6 |
0,01 |
16,55 |
6,72 |
2,45 |
1 |
32 |
0,06 |
33,49 |
0,07 |
5,66 |
2 |
67 |
0,13 |
55,95 |
2,18 |
8,19 |
3 |
68 |
0,14 |
77,15 |
1,08 |
8,25 |
4 |
96 |
0,19 |
87,80 |
0,77 |
9,80 |
5 |
82 |
0,16 |
82,47 |
0,00 |
9,06 |
6 |
55 |
0,11 |
63,93 |
1,25 |
7,42 |
7 |
41 |
0,08 |
40,91 |
0,00 |
6,40 |
8 |
29 |
0,06 |
21,60 |
2,53 |
5,39 |
9 |
11 |
0,02 |
9,42 |
0,27 |
3,32 |
10 |
10 |
0,02 |
3,39 |
12,91 |
3,16 |
11 |
1 |
0,00 |
1,01 |
0,00 |
1,00 |
12 |
2 |
0,00 |
0,25 |
12,47 |
1,41 |
Suma |
500 |
|
|
|
|
liczba pomiarów |
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
średnia niepewność pojedynczego pomiaru |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
średnia arytmetyczna ilości rozpadów w czasie |
38,46 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
suma testu X |
|
40,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
liczba stopni swobody |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
prawdopodobieństwo |
|
|
|
|
Wnioski
Dokonując pomiarów i powyższych obliczeń możemy stwierdzić, że rozpad promieniotwórczy ma zdecydowanie charakter rozkładu statystycznego. Dla początkowych serii rozkładem tym jest rozkład Poissona. Wraz ze zmianą(wzrostem) wartości bramki krzywa teoretyczna również się zmienia i możemy stwierdzić, że w ostatnich trzech seriach mamy do czynienia z rozkładem Gaussa.
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
1
2
3
4
eksperyment
teoria