Politechnika Opolska L A B O R A T O R I U M

Przedmiot:

Automatyka - działy wybrane

Kierunek studiów:	Elektronika i Telekomunikacja		Rok studiów:		III
Specjalność:	-
Semestr:	VI	Rok akademicki:		2008/2009

Nr ćwiczenia:

5

Temat ćwiczenia:

Stabilność liniowych układów sterowania

Ćwiczenie wykonali:
Nazwisko:		Imię:	Nazwisko:		Imię:
1.	Rusek	Łukasz	3.
2.			4.

Uwagi:	Data:	Ocena za sprawozdanie:

Termin zajęć:
Data:	07.04.2009	Dzień tygodnia:	wtorek	Godzina:	9:15

Termin oddania sprawozdania:

Sprawozdanie oddano:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było określenie stabilności liniowych układów sterowania przy pomocy kryterium Hurwitza i Nyquista.

2. Kod programu:

k=1

kp1=2

kp2=3

kp3=4

licz=k

mian=[1 2 2 1]

Go=tf(licz,mian)

licz1=kp1

licz2=kp2

licz3=kp3

mian1=1

Gr1=tf(licz1,mian1)

Gr2=tf(licz2,mian1)

Gr3=tf(licz3,mian1)

Gs1=series(Go,Gr1)

Gs2=series(Go,Gr2)

Gs3=series(Go,Gr3)

nyquist(Gs1)

hold on

nyquist(Gs2)

nyquist(Gs3)

legend('kp=2','kp=3','kp=4')

Gss1=feedback(Go,Gr1)

Gss1a=feedback(Gs1,1)

[licz1a,mian1a]=tfdata(Gss1a,'v')

roots(mian1a)

Gss2=feedback(Go,Gr2)

Gss2a=feedback(Gs2,1)

[licz2a,mian2a]=tfdata(Gss2a,'v')

roots(mian2a)

Gss3=feedback(Go,Gr3)

Gss3a=feedback(Gs3,1)

[licz3a,mian3a]=tfdata(Gss3a,'v')

roots(mian3a)

figure

hold on

pzmap(Gss1a)

pzmap(Gss2a)

pzmap(Gss3a)

legend('kp=2','kp=3','kp=4')

figure

hold on

step(Gss1a)

figure

hold on

step(Gss2a)

figure

hold on

step(Gss3a)

A1=det([2 3 0;1 2 0;0 2 3])

A2=det([2 4 0;1 2 0;0 2 4])

A3=det([2 5 0;1 2 0;0 2 5])

3. Rezultat kodu w programie MATLAB:

k = 1

kp1 =2

kp2 =3

kp3 =4

licz =1

mian =

1 2 2 1

Transfer function:

1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

licz1 =2

licz2 = 3

licz3 =4

mian1 = 1

Transfer function:

2

Transfer function:

3

Transfer function:

4

Transfer function:

2

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

Transfer function:

3

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

Transfer function:

4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

>>

Transfer function:

1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 3

Transfer function:

2

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 3

licz1a =

0 0 0 2

mian1a =

1 2 2 3

ans =

-1.8105

-0.0947 + 1.2837i

-0.0947 - 1.2837i

Transfer function:

1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 4

Transfer function:

3

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 4

licz2a =

0 0 0 3

mian2a =

1 2 2 4

ans =

-2.0000

0.0000 + 1.4142i

0.0000 - 1.4142i

Transfer function:

1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 5

Transfer function:

4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 2 s + 5

licz3a =

0 0 0 4

mian3a =

1 2 2 5

ans =

-2.1509

0.0755 + 1.5228i

0.0755 - 1.5228i

>>

A1 = 3

A2 = 0

A3 = -5

4. Kryterium Nyquista:

Otrzymane charakterystyki

charakterystyka Nyquista zera i bieguny

Odpowiedź na skok jednostkowy dla układu:

stabilnego na granicy stabilności

niestabilnego

4. Kryterium Hurwitza

M(s)=0

M1= s^3 + 2 s^2 + 2 s + 3

M2= s^3 + 2 s^2 + 2 s + 4

M3= s^3 + 2 s^2 + 2 s + 5

Obliczenia:

A1=det([2 3 0;1 2 0;0 2 3])

A1 = 3

>> A2=det([2 4 0;1 2 0;0 2 4])

A2 = 0

>> A3=det([2 5 0;1 2 0;0 2 5])

A3 = -5

5. Wnioski:

W ćwiczeniu tym należało zbadać stabilność liniowych układów sterowania.

Do określenia stabilności stosowaliśmy dwa kryteria:

1. Kryterium Hurwitza mówi nam, że układ będzie stabilny tzn. pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego będą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, jeśli spełnione zostaną warunki:

- Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego będą istnieć i mieć ten sam znak,

- Wszystkie podwyznaczniki wyznacznika głównego (posiadającego n wierszy i n kolumn) muszą być większe od 0.

Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.
2. Kryterium Nyquista, które mówi nam, że układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j0).

Z charakterystyki Nyquista można odczytać, że dla kp = 2 układ jest stabilny, dla kp = 3 układ jest na granicy stabilności, zaś dla kp = 4 układ jest niestabilny.

Z obliczeń dla kryterium Hurwitza wynika, że wyznacznik A1, dla kp = 2, jest dodatni, czyli układ jest stabilny, wyznacznik A2, dla kp = 3, jest równy 0, więc układ jest na granicy stabilności, mianowicie A3 jest ujemny, więc układ jest niestabilny.

---