3. Funkcje rzeczywiste i zmienne.

Def. Funkcja określoną na zb X o wart w zb Y nazywamy przyporządkowanie każdemu el
dokładnie jednego el
. Taką funkcję ozn
, a wart f w pkt x ozn f(x).

Def. Niech

X nazywamy dziedziną funkcji f i ozn ją D_f. El dziedziny nazywamy argumentami.

Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f i oznaczamy

Zb W_f :=
nazywamy zb wartości f a jego El wartościami funkcji.

Def. Wykresem funkcji
nazywamy zbiór G_f={(x,f(x)):
D_f}

Def. Jeżeli dla funkcji f zachodzi D_f
R, W_f
R, to mówimy o funkcji rzeczywistej jednej zmiennej.
, x
R

U. Wykres funkcji
możemy rys w ukł kartezjańskim jako punkty o wsp (x, f(x)), x
D_f

Def. Niech A
X,
Zawężeniem funkcji do zbioru A nazywamy funkcję f¦_A:
określona wzorem f¦_A(x)=f(x)

Def. Funkcja
jest ograniczona jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony. Funkcja nie jest ogr jeżeli nie jest ograniczona.

Def. Funkcja
jest okresowa jeżeli
x+t
D_f i f(x+t)=f(x). Liczbę t nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszym okresem funkcji (o ile istnieje) nazywamy jej okresem podstawowym.

Def. Funkcja
jest parzysta jeżeli

Funkcja
jest nieparzysta jeżeli

U. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzg osi Oy. Wykres funkcji nieparzystej jest sym wzg środka układu.

Def. Funkcja
jest /rosnąca/malejąca/niemal/nieros/ jeżeli
/f(x₁)<f(x₂)/ f(x₁)>f(x₂)/ f(x₁)
f(x₂)/ f(x₁)
f(x₂)/

Funkcje rosnącą i malejącą nazywamy funkcją silnie monotoniczną a funkcje niemalejącą i nierosnącą funkcją słabo monotoniczną.

Def. Funkcję
nazywamy injekcją jeżeli
f(x₁)
f(x₂)

Def. Funkcję
nazywamy surjekcją jeżeli W_f=R

Def. Funkcję
nazywamy bijekcją jeżeli jest injekcja i surjekcją.

U. Funkcja
jest /injekcją/surjekcją/bijekcją/ jeżeli wykres G_f przecina się z dowolną prosta poziomą /co najwyżej/co najmniej/dokładni/ jeden raz.

Obs. Funkcja f jest silnie mon
f jest injekcją (
)

Def. Niech
,
przy czym X,Y
R oraz W_f
D_g Możemy wtedy zdefiniować g
f będące złożeniem funkcji g (zew) z funkcją f (wew) wzorem:

g
f(x)=g(f(x)),

U. Składanie funkcji nie jest operacją przemienną.

Def. Niech
Mówimy że funkcja f jest odwracalną

taka że,

1.
(g
f)(x)=x 2.
(f
g)(y)=y

Funkcję g nazywamy wtedy funkcją odwrotną do funkcji f i ozn f^-1

Obs. Funkcja
jest odwracalna
funkcja jest injekcją

Obs. Funkcje
i
są wzajemnie odwrotne

1. W_f=D_g i W_g=D_f 2. wykresy G_f i G_g są sym wzg prostej y=x

Def. Pierwiastkiem (miejscem) zerowym funkcji
nazywamy x
D_f taki że f(x)=0

Def. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymac z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania funkcji.

Def. Wielomianem nazywamy f.W:R
R określoną wzorem:

gdzie
dla i
{0,...,n},a_n

0. Liczby a nazywamy współczynnikami wielomianu, w szczególności a₀ nazywamy wyrazem wolnym. Liczbe n nazywamy stopniem wielomianu i ozn deg W

U. Każdy wielomian jest skończona sumą iloczynu funkcji stałych przez funkcje potęgowe, a zatem f. elementarną.

Def. Mówimy że wielomian jest podzielny przez wielomian V jeżeli istnieje wielomian P taki że W(x)=V(x)P(x)
.

Def. Wielomian nazyw nierozkładalnym jeżeli nie jest podzielny przez żaden inny wiel.

Tw. (dzielenie wielomianów z resztą), Niech W,V- wielomiany takie że degV
degW. Wówczas istnieją jedne jedyne wielomiany PiR takie że W(x)=P(x)*V(x)+R(x)
, przy czym degR<degV

Def. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez V

Def. Funkcje wymierne nazywamy funkcję postaci Q(x)=L(x)/M(X), gdzie L i M są wielomianami, M
/ 0

U. Każda funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów (funkcji El) więc jest funkcją elementarną.

Def. Funkcje wymierną nazywamy właściwą gdy deg L<deg M.

Tw. Każdą f wymierną można przedst. W postaci sumy wielomianów i f wymier wł.

Def. Funkcję wym postaci
gdzie
,a
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Def. Funkcję wym postaci
gdzie

oraz
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

4. Ciągi

Def. Ciągiem nazyw dowolną funkcję określona na N. Jego wartość dla Arg
nazyw n-tym wyrazem ciągu i oznacz a_n a cały ciąg (a_n)

Def. Ciągiem liczbowym nazyw dowolny ciąg o wart w R

Def. Ciąg (a_n)
nazyw ograniczonym jeżeli:

Def. Ciąg (a_n)
nazywamy /rosnącym/ malejącym/ niemal/ nieros/ jeżeli
/

Ciąg rosnący lub malejący nazywamy ciągiem silnie mon a niemalejący lub nierosnący ciągiem słabo mon.

Def. Mówimy że ciąg (a_n) jest zbieżny do liczby g (zmiana do g, ma granicę g), jeżeli:
Piszemy wtedy
a_n=g lub a_n
g |a_n-g|<

Def. Mówimy, że ciąg (a_n) jest zbieżny do /
/
/ (zmierza do /
/
/, ma granicę niewłaściwą /
/
/) jeżeli
/a_n
M/a_n
M/. Piszemy wtedy
a_n=
lub a_n

Def. Niech (a_n) będzie dow ciągiem oraz niech (k_n) będzie dowolnym rosnącym ciągiem liczb nat. Ciag b_n=a_kn
nazywamy podciągiem ciągu a_n.

Tw. Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic.

Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie każdy ogr jest zbieżny.

Tw. Każdy ciąg mon i ograniczony jest zbieżny.

Tw. (o 3 ciągach) Niech (a_n),(b_n),(c_n­) będą ciągami takimi że:

1. a_n
b_n
c_n dla prawie wszystkich n 2.
a_n=
c_n=
Wtedy ciąg (b­_n) też jest zbieżny i
b_n=g

Tw. (o 2 ciągach) Niech (a_n), (b_n)- ciągi

1. an bn dla pw 2. an=

bn=

Def. Ciąg (a_n) nazywamy arytmetycznym jeżeli
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytm.

Obs. a_n- arytm
a_n=a₁+(n-1)r S_n=a₁+...+a_n=
*n

Def. Ciąg (a_n) nazywamy geometr jeżeli
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geom.

Obs. A_n- geom
a_n=a₁*q^n-1 S_n=a₁*
S=
S_n=a₁+a₂+a₃+…=
,gdy|q|<1

Obs. |q|<1
c.geom (a_n)
0

q>
(a_n

gdy a₁>) lub (a_n

gdy a₁<0)

g=1
a_n
a₁, q
-1
a_n nie ma granicy.

5. Granica funkcji

Def. Otoczeniem pkt x₀
R o promieniu r>0 nazywamy przedział V_x,r=(x₀-r, x₀+r)

Def. Sąsiedztwem pkt x₀
R o promieniu r>0 nazywamy zbiór S(x₀,r)=V(x₀,r)\{x₀}

Def. Sąsiedztwem /prawostronnym/ lewostronnym/ x₀
R o promieniu r>0 nazywamy przedział /S⁺(x₀,r)=(x₀,x₀+r)/ S(x₀,r)=( x₀-r ,x₀)

Def. Sąsiedztwem /
/
/nazywamy dowolny przedział postaci /S_(a,
)= (a,
)/ S_(a,
)= (
_,a)/

Def. Niech
funkcja
,q
R. Załóżmy, że
S_(x0,r)
D_f. Mówimy że funkcja f zmienia w pkt x₀ (ma w pkt x₀ granice) do /g/
/
/, co oznaczamy
f(x)=/g/
/
/ jeżeli

(def. Heinego)
ciągu(x_n)
S_(x0,r)­
x_n=x₀

f(x₀)=/g/
/
/

(def. Cauchyego)/
/
/
/
/
/
/
/

Def. Załóżmy że
S⁺_(x0,r)
D_f. Mówimy że funkcja zmierza z prawej str w pkt x₀ do /g/
/
/ co oznaczamy
f(x)= /g/
/
/ jeżeli

(def. Heinego)
ciągu(x_n)
S⁺_(x0,r)­
x_n=x₀

f(x_n)=/g/
/
/

(def. Cauchyego)/
/
/
/
/
/
/
/

U. analogicznie definiuje się granice lewostronną funkcji w pkt.

Def. Załóżmy że


D_f. Mówimy że funkcja zmierza w
do /g/
/
/ co oznaczamy
f(x)= /g/
/
/ , jeżeli

Albo f(x)
/g/
/
/

(def. Heinego)
ciągu(x_n)

_­
x_n=


f(x_n)=/g/
/
/

(def. Cauchyego)/
/
/
/
/
/
/
/

U. Analogicznie definiujemy granice w
(K<0,S_(K,
),N<K,S_(N,
))

Tw. (o granicach funkcji złożonej) Niech f,g

1.
f(x)=B 2.f(x) ≠B w pewnym sąsiedztwie A 3.
g(y)=C Wtedy
g(f(x))=C, gdzie A,B,C
R
{
,
} przy czym granice liczbowe mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o trzech funkcjach) Niech f,g,h,

1. f(x)
g(x)
h(x) 2.
f(x)

h(x)=g
R

Wtedy
g(x)=a, gdzie A
R
{
,
}, S_A oznacza sąsiedztwo A przy czym granice mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o dwóch funkcjach) Niech f,g

1. f(x)<g(x)
2.
f(x)=
Wtedy
g(x)=
,gdzie A
R
{
,
}, S_(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o zachowaniu nierówności w granicy)

f(x)
M
R

f(x)
M
R
gdzie A
R
{
,
}, S_(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne.

6. Ciągłość funkcji

Def. Funkcja
jest ciągła w pkt x₀
R jeżeli:

1. f jest określona w x₀ (x­₀
D_f) 2.f ma granicę w pkt x₀ 3.
f(x)=f(x₀)

Def. Funkcja
jest /prawostronnie/ lewostronnie/ ciągła w pkt x₀ jeżeli:

1.f jest określona w x­₀ 2.f ma granice /prawostr/ lewostr/ w x₀ 3.
f(x)=f(x₀)

Obs. F jest ciągła w x₀
f jest ciągła w x₀ lewo-prawostronnie.

Def. F
jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym pkt swojej dziedziny.

Tw. (o ciągłości f. odwrotnej), Niech
będzie silnie monotoniczną surjekcją (I,J przedziały). Jeśli f jest f ciągłą to f ^-1:I
J też.

Tw. (o lokalnym zachowaniu znaku), Niech
będzie funkcja ciągłą na przedziale I
X Jeśli x₀
I i f(x₀)
0, to
przedział taki, że x₀
J i f(x)*f(x₀)>0
.

Tw. Weierstrassa (o przyjmowaniu kresów), f:
funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje na tym przedziale kresy, tzn

U. bez założenia domkniętości lub ograniczoności dziedziny albo ciągłości teza nie musi być spełniona.

Tw. Darboux (o przyjmowaniu wart pośrednich), Niech f:
będzie funkcją ciągłą taką że /f(a)<f(b)/ f(b)<f(a)/ Wtedy /
/
/
.

Tw, Darboux (o miejscach zerowych funkcji), Niech f:
będzie funkcją ciągłą taką że f(a)*f(b)<0 Wtedy
.

7. Pochodna funkcji

Def. Niech
będzie funkcją
. Załóżmy że
. Jeżeli istnieje granica tzw ilorazu różnicowego
to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w pkt x₀ i granicę tą nazywamy pochodną f w pkt x₀.f'(x₀)

Def. Niech f,g będą funkcjami których wykresy przecinaja się w pkt (x₀,y₀), różniczkowalnymi w pkt x₀. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy mniejszy z katów φ między stycznymi do wykresów tych funkcji w pkt. Ich przecięcia.

Obs. Miara kąta przecięcia wykresów f i g wyraża się wzorem
gdy f'(x₀)*g'(x₀) ≠-1, natomiast
gdy f'(x₀)*g'(x₀)=-1 lub
,

Def. Normalną do wykresu f w pkt x₀ nazywamy prostą prostopadłą do stycznej do wykresu f w pkt styczności (x₀,f(x₀))

Obs. Równanie normalnej do wykresu f w pkt. x₀ wyraża się wzorem
jeśli f'(x₀) ≠0 albo x=x₀, gdy f'(x₀)=0

Def. Niech
będzie f,
Załóżmy że
/S⁺(x₀,r)/ S^-(x₀,r)/ <D_f. Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego lim/h→0⁺/ h→0^-/
, to mówimy że funkcja f jest /prawostr/ lewostr/ różniczkowalna w pkt x₀ i granice tą nazywamy pochodną /prawostr/ lewostr/ f w pkt x₀.

Def. Jeśli
jest różniczkowalna na zb
to możemy określić pochodną funkcji jako funkcję
przyjmującą w pkt x
I wartość f'(x)

Tw. (o pochodnej złożonej) niech f będzie funkcją różniczkowalną w pkt x₀, a g- funkcją różniczkowalna w pkt f(x₀). Wtedy
.

Tw. ( o pochodnej f odwrotnej) Niech
będzie funkcją taką, że :

1. f jest ciągła w pewnym otoczeniu V(x₀,r) 2. f jest silnie monotoniczna na V(x₀,r)

3. f jest różniczkowalna w pkt x₀ 4. f'(x₀) ≠0

Wtedy (f ^-1)'(y₀)=
, gdzie y₀=f(x₀)

Tw. Rolle'a- Niech
będzie f ciągłą, różniczkowalną na (a,b) taka że f(a)=f(b) Wtedy

Tw. Lagrange'a- niech
będzie f ciągłą różniczkowalną na (a,b) Wtedy
.

Tw. (Reguła de L'Hospitala) Niech f,g będą funkcjami spełniającymi warunki

1a.
przy czym g(x) ≠0

1b.

2. Istnieje
Wtedy
. S(A) oznacza sąsiedztwo A przy czym granice w pkt mogą być obustr jak i jednostr (wtedy S(A) oznacza odpowiednie obustronne bądź jednostronne sąsiedztwo A).

Def.
różniczkowalna w x₀
D_f. Różniczką funkcji f w pkt x₀ nazywamy funkcję df(x₀) zmiennej ∆x=x-x₀ zadany wzorem df(x₀)( ∆x)=f'(x₀)= ∆x

Def.

Tw. (wzór Leibniza) Jeśli f,g są n-krotnie różniczkowalne w x₀ to ich iloczyn również zachodzi wzór:

Def.

F jest n- krotnie różniczkowalną w pkt x₀. Wielomian
nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w pkt x₀

Dla x₀=0 wielomian ten będziemy nazywać wielomianem Mclarina. Wyrażenie R_n(x)=f(x)-f_n-1(x) nazywamy n-tą resztą Lagrange'a.

Tw. (Wz Taylora z resztą Lagrange'a) Jeśli f jest funkcją ciągłą f jest n-krotnie różniczkowalna na przedziale
jest funkcją ciągłą, f jest n- krotnie różniczkowalna na przedziale
to

Tzn.

8. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową /lewostr/ prawostr/ funkcji f, jeżeli

Def. Prosta x=a jest asymptota pionową funkcji f jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą pionową lewo- i prawostronną.

Def. Prosta y=a jest asymptotą poziomą funkcji f, jeżeli

Obs. Aby funkcja mogła mieć asymptotę poziomą musi być określona w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞.

Def, Prosta y=ax+b a≠0 jest a.ukośną funkcji f jeżeli

Obs. Aby f mogła mieć a.ukośną musi być określ w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞

Tw. (Warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Niech I będzie przedziałem
funkcja różniczkowalna. Jeśli
:

1. f'(x)=0
f jest stała na I 2. f'(x)>0
f jest rosnąca na I

3. f'(x)≥0
f jest niemalejąca na I 4. f'(x)<0
f jest malejąca na I

5. f'(x)≤0
f jest nierosnąca na I

Def. Funkcja
ma w pkt x₀
D_f słabe /maks/ min/ lokalne jeżeli
/f(x)≤f(x₀)/ f(x)≥f(x₀)/ . Jeżeli f ma w x₀ maks lub min lokalne to mówimy że f ma w x₀ ekstremum lokalne.

Tw. Fermata (warunek Kon istnienia eks) Jeśli f jest różniczkowalna w x₀ i ma w x­₀ ekstremum lokalne (słabe), to f'(x₀)=0

Tw. (I war wyst ist eks) Jeżeli
f jest różniczkowalna w V(x₀,r)i f'(x₀)=0, to:

1.
oraz
f ma w x₀ maks lok.

2.
oraz
f ma w x₀ min lok.

Tw. (II war wyst ist eks) Jeżeli
f ma ciągłą n-tą pochodną na V(x_0,r), przy czym f'(x₀)=f''(x₀)=…=f^(n-1)(x₀)=0, to:

1. n jest parzyste i f⁽ⁿ⁾(x₀)<0
f ma w x₀ maks lok

2. n jest parzyste i f⁽ⁿ⁾(x₀)>0
f ma w x₀ min lok

3. n jest nieparzystei f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠0
f nie ma ekstremum w x₀

Def. F ma w x₀
D_f /maks/ min/ globalne jeżeli
/ f(x)≤f(x₀)/ f(x)≥f(x₀)/ Jeśli f ma w x₀ maks lub min globalne to mówimy że ma w x₀ eks globalne.

Def. Funkcję
nazywamy /wypukłą/ wklęsłą/ jeśli /
takich, że x₁<x₂
f(x) / </ >/

U. funkcja jest wypukła jeżeli odcinek dowolnej siecznej jej wykresu między pktmi jej przecięcia z wykr funkcji leży nad tym wykresem, a wklęsła jeżeli leży pod wykresem funkcji.

Tw. (warunki wystarczające wklęsłości i wypukłości) Jeżeli
jest dwukrotnie różniczkowalna i
/ f”(x)>0/ f”(x)<0/ to f jest / wypukła/ wklęsła/

Def. Niech
będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu pkt x₀
D_f (dopuszczamy przypadek nieistnienia pochodnej w pkt x₀, ale przy założeniu że
oraz

Tw. (warunek konieczny istnienia pkt przegięcia) Jeśli f”(x₀) istnieje i f ma w (x₀,f(x₀)) pkt przegięcia
f”(x₀)=0

Tw. (warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia) Niech
będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu x₀
D_f, f”(x₀)=0 oraz funkcja f” jest określona w pewnym otoczeniu x₀ i zmienia w nim znak/ +/- / -/+ / wtedy (x₀,f(x₀)) jest pkt przegięcia wykresu f.

9. Całka nieoznaczona.

Def. Funkcję
nazywamy f pierwotną funkcji f jeśli
.

Tw. Niech
będzie funkcją pierwotna funkcji f wtedy każda f
zadana wzorem G(x)=F(x)+C, gdzie C
R jest również pierwotną funkcji f i wszystkie jej pierwotne są takiej samej postaci.

Tw. Jeśli f jest f ciągłą na przedziale I, to ma f pierwotną n I.

Def. Całką nieoznaczona funkcji f nazywamy rodzine wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f

Def. Funkcją całkowalną nazywamy funkcje która posiada pierwotną. Zbiór funkcji całkowalnych na przedziale I oznaczać będziemy S(I).

Tw. Niech f'
S(I) Wtedy

Tw. (liniowość całki nieoznaczonej)

Tw. (całkowanie przez części)
Wtedy

Tw. (Całkowanie przez podstawianie) Niech
będą przedziałami
funkcją różniczkowalną, o ciągłej pochodnej g'
funkcja ciągła wtedy

10. Całka oznaczona

Def. Podziałem odcinka
na n części, gdzie n
N nazywamy zbiór liczb P={x₀,x₁,...,x_n} taki że a=x₀<x₁<…<x_n-1<x₁=b

Def. Ciąg {P_n}m
N podziałów przedziału
nazywamy normalnym ciągiem podziału jeżeli

Def. Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale
jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {P_m}m
N przedziału
i każdego wyboru pktów pośrednich granica ciągu sum całkowalnych
istnieje i jest taka sama.

Def. Jeżeli funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale
to wspólną granicę ciągu sum całkowych nazywamy całką oznaczoną (Riemana) z funkcji f na przedziale
i oznaczamy ją
.
dla dowolnego wz ciągu podziałów przedz
i dla każdego wyboru pktów pośrednich.

U. Przyjmujemy że
.

Własności całki oznaczonej:

Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale
jest na nim całkowalna.

Tw. (liniowość całki ozn)
ciągłe, c
R, wtedy

Tw. Newtona- Lecbriza (I główne tw. Rachunku całkowego)
ciągła,
dowolna pierwotna funkcji f wtedy

Tw. (całkowanie przez części) Niech
Wtedy

Tw. (całkowanie przez podst)
ciągła,
różniczkowalna taka że
wtedy
.

Tw. (II główne tw rachunku całkowego)
ciągła wtedy funkcja
jest różniczkowalna w przedziale
i jej pochodna wyraża się wz
.

Zast całki oznaczonej w geometrii.

Tw.
ciągła wtedy pole obszaru ograniczonego prostymi x=a, x=b, y=0 i wykresem funkcji f wynosi
.

U. Jeżeli f przyjmuje także wart ujemne to
ilustruje nam różnicę pomiędzy sumą pól obszarów zawartych pod wykresem f i nad osią Ox, a sumą pól obszarów zawartych nad wykresem f i pod Ox.

Tw. (dł. Krzywej) Niech
będzie różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy dł krzywej będąca wykresem f ,
wyraża się wz
.

Tw. (obj bryły Obr)
ciągła. Niech P oznacza figurę ograniczoną przez x=a, x=b, y=0 i wykres f. Wtedy objętość bryły Bx powstałej przez obrót figury dookoła osi Ox wyraża się:
. Jeśli ponadto a≥0 to obj bryły powst przez obrót dookoła Ox wyraża się:
.

Tw. (pole pow. Bryły Obr) Niech
będzie f różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy pole pow E_x powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi )x wyraża się:
. Jeśli ponadto a≥0 to pole pow
powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi Oy wyraża się:
.

10. Całka niewłaściwa

Def.
-funkcje ciągłe. Całką niewłaściwą (I rodzaju) na przedziale nieograniczonym funkcji: f,g,h definiujemy odpowiednio jako:

,
,
. Jeżeli granica występująca w definicji całki niewłaściwej istnieje i jest liczbą to całkę nazywamy zbieżną. W przeciwnym wypadku mówimy że całka jest rozbieżna.

Def.
f nieokreślona w b,
g nieokreślona w g,
, h nieokreślona w a i b . Całką niewłaściwą II rodzaju na przedziale
funkcji f,g,h definiujemy odpowiednio jako:
,
,
,gdzie
. Jeśli granica występująca w def istnieje i jest liczbą to całkę naz zbieżną, wpw- rozbieżną.

---