EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (26.06.12) IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj wzór de Moivre’a i wzór Newtona dla liczb zespolonych.

Oblicz ( i 1

−

√

)77.

2

Zadanie 2. Podaj przykład macierzy osobliwej stopnia 3 bez elementów zerowych.

Jaką macierz nazywamy ujemnie określoną?

Odwróć macierz



1

− 4

2 

4

3

.



− 2 

− 1

2 − 1

Zadanie 3. Podaj definicję iloczynu wektorowego w R3 oraz metode jego oblicza-nia.

Dane są punkty A = (1 , 2 , − 4) , B = (1 , 4 , − 7) , C = (2 , 1 , − 2) , D = (0 , 4 , − 2). Wy-znacz objętość czworościanu ABCD i długość jego wysokości spuszczonej z wierz-chołka D.

Zadanie 4. Podaj przykład równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego. Kiedy takie równanie wraz z warunkiem początkowym ma jed-noznaczne rozwiązanie?

√

Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego:

xdy = (1 + x cos2 y − sin2 y) dx, y(0) = π .

3

Zadanie 5. Co nazywamy gradientem funkcji? Wypowiedz twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych.

Zbadaj różniczkowalność funkcji

(

x 3+ y 3 , ( x, y) f ( x, y) =

6= (0 , 0)

x 2+ y 2

0 ,

( x, y) = (0 , 0) w punkcie (0 , 0).

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (26.06.12) IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj wzór de Moivre’a i wzór Newtona dla liczb zespolonych.

Oblicz ( i 1

−

√

)77.

2

Zadanie 2. Podaj przykład macierzy osobliwej stopnia 3 bez elementów zerowych.

Jaką macierz nazywamy ujemnie określoną?

Odwróć macierz



1

− 4

2 

4

3

.



− 2 

− 1

2 − 1

Zadanie 3. Podaj definicję iloczynu wektorowego w R3 oraz metode jego oblicza-nia.

Dane są punkty A = (1 , 2 , − 4) , B = (1 , 4 , − 7) , C = (2 , 1 , − 2) , D = (0 , 4 , − 2). Wy-znacz objętość czworościanu ABCD i długość jego wysokości spuszczonej z wierz-chołka D.

Zadanie 4. Podaj przykład równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego. Kiedy takie równanie wraz z warunkiem początkowym ma jed-noznaczne rozwiązanie?

√

Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego:

xdy = (1 + x cos2 y − sin2 y) dx, y(0) = π .

3

Zadanie 5. Co nazywamy gradientem funkcji? Wypowiedz twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych.

Zbadaj różniczkowalność funkcji

(

x 3+ y 3 , ( x, y) f ( x, y) =

6= (0 , 0)

x 2+ y 2

0 ,

( x, y) = (0 , 0) w punkcie (0 , 0).