EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (26.06.12) IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj wzór de Moivre’a i wzór Newtona dla liczb zespolonych.
Oblicz ( i 1
−
√
)77.
2
Zadanie 2. Podaj przykład macierzy osobliwej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Jaką macierz nazywamy ujemnie określoną?
Odwróć macierz
1
− 4
2
4
3
.
− 2
− 1
2 − 1
Zadanie 3. Podaj definicję iloczynu wektorowego w R3 oraz metode jego oblicza-nia.
Dane są punkty A = (1 , 2 , − 4) , B = (1 , 4 , − 7) , C = (2 , 1 , − 2) , D = (0 , 4 , − 2). Wy-znacz objętość czworościanu ABCD i długość jego wysokości spuszczonej z wierz-chołka D.
Zadanie 4. Podaj przykład równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego. Kiedy takie równanie wraz z warunkiem początkowym ma jed-noznaczne rozwiązanie?
√
Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego:
xdy = (1 + x cos2 y − sin2 y) dx, y(0) = π .
3
Zadanie 5. Co nazywamy gradientem funkcji? Wypowiedz twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych.
Zbadaj różniczkowalność funkcji
(
x 3+ y 3 , ( x, y) f ( x, y) =
6= (0 , 0)
x 2+ y 2
0 ,
( x, y) = (0 , 0) w punkcie (0 , 0).
EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (26.06.12) IMiR, rok 1E+F
Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.
Zadanie 1. Podaj wzór de Moivre’a i wzór Newtona dla liczb zespolonych.
Oblicz ( i 1
−
√
)77.
2
Zadanie 2. Podaj przykład macierzy osobliwej stopnia 3 bez elementów zerowych.
Jaką macierz nazywamy ujemnie określoną?
Odwróć macierz
1
− 4
2
4
3
.
− 2
− 1
2 − 1
Zadanie 3. Podaj definicję iloczynu wektorowego w R3 oraz metode jego oblicza-nia.
Dane są punkty A = (1 , 2 , − 4) , B = (1 , 4 , − 7) , C = (2 , 1 , − 2) , D = (0 , 4 , − 2). Wy-znacz objętość czworościanu ABCD i długość jego wysokości spuszczonej z wierz-chołka D.
Zadanie 4. Podaj przykład równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego. Kiedy takie równanie wraz z warunkiem początkowym ma jed-noznaczne rozwiązanie?
√
Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego:
xdy = (1 + x cos2 y − sin2 y) dx, y(0) = π .
3
Zadanie 5. Co nazywamy gradientem funkcji? Wypowiedz twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych.
Zbadaj różniczkowalność funkcji
(
x 3+ y 3 , ( x, y) f ( x, y) =
6= (0 , 0)
x 2+ y 2
0 ,
( x, y) = (0 , 0) w punkcie (0 , 0).