1
Egzamin maturalny z matematyki
poziom rozszerzony
Czas pracy: 180 minut
Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
3
1
18
x
x
x
.
Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru
m
, dla których równanie
2
1 0
x
mx m
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
1
2
,
x x
spełniające warunek
1
2
1
2
2
x
x
x x
.
Zadanie 3. (4 pkt)
Wykaż, że jeżeli
4
x y
, to
3
3
16
x
y
.
Zadanie 4. (4 pkt)
Ciąg
, , 4
a b
jest arytmetyczny, a ciąg
4, ,
a b
jest geometryczny. Oblicz
a
oraz
b
.
Zadanie 5. (4 pkt)
Wykaż, że jeżeli
2
2
x
k
, gdzie
k
jest liczbą całkowitą, to
cos
tg
4
2
1 sin
x
x
x
.
Zadanie 6. (4 pkt)
Prosta przechodząca przez środek jednego z boków trójkąta równobocznego i tworząca
z tym bokiem kąt ostry
dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt. Stosunek pola
czworokąta do pola trójkąta jest równy
5 : 3
. Oblicz tangens kąta
.
Zadanie 7. (6 pkt)
W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 9 i 12, a kąt miedzy ramieniem
trapezu i dłuższą podstawą ma miarę
60
. Oblicz promień okręgu opisanego na tym
trapezie.
Zadanie 8. (5 pkt)
Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu
2
2
5
x
y
zawiera się w prostej
o równaniu
2
5
0
x
y
. Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
2
Zadanie 9. (4 pkt)
W prostopadłościanie długości krawędzi o wspólnym wierzchołku są równe
a
,
b
,
c
,
długość przekątnej prostopadłościanu jest równa
d
. Wykaż, że
3
a b c d
.
Zadanie 10. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny
ABC
, w którym
AB
a
,
90
ACB
,
CAB
. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny
podstawy pod kątem o mierze
. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 11. (5 pkt)
Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry
suma uzyskanych liczb oczek będzie równa 8.
Odpowiedzi
Zadanie 1.
Zapisujemy równanie w przedziałach:
; 3 ,
3;1 , 1;
.
1.
; 3
x
3
1
18
x
x
x
20
3
x
2.
3;1
x
3
1
18
x
x
x
14
3;1
x
, brak rozwiązań
3.
1;
x
3
1
18
x
x
x
16
x
Odpowiedź:
20
3
x
lub
16
x
.
3
Zadanie 2.
Warunki zadania
1
2
1
2
0
2
x
x
x x
są równoważne alternatywie warunków
1.
1
2
0
0
x x
lub
2.
1
2
2
2
1
2
1
2
0
0
4
x x
x
x
x x
2
2
m
,
0
2
m
1
2
1
x x
m
1
2
0
1
x x
m
1
2
0
1
x x
m
2
1
2
x
x
Ad. 1.
1
m
Ad. 2.
2
2
2
4
1
0
3
4
0
m
m
m m
4
0;
3
m
,
stąd
4
1;
3
m
.
Odpowiedź:
4
;
3
m
.
Zadanie 3.
3
3
2
2
2
2
4
x
y
x y x
xy y
x
xy y
Z warunków zadania wyznaczamy
4
y
x
i określamy funkcję
f
:
2
2
2
4
4
4
12
48
64
f x
x
x
x
x
x
x
Funkcja
f
jest funkcją kwadratową i przyjmuje najmniejszą wartość dla
2
x
.
Odpowiedź:
2
16
f
.
Zadanie 4.
Zapisujemy układ równań zgodnie z warunkami zadania:
2
2
4
4
b a
a
b
4
Wyznaczamy
b
z pierwszego równania, podstawiamy do drugiego i zapisujemy równanie
kwadratowe:
2
2
8
0
a
a
,
stąd
1
2
2,
4
a
a
Odpowiedź:
2 i
1
a
b
albo
4 i
4
a
b
.
Zadanie 5.
sin
sin
cos
cos
sin
4
2
4
2
4
2
tg
4
2
cos
cos
sin
sin
cos
4
2
4
2
4
2
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
1 sin
cos
sin
cos
2 cos
sin
sin
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Zadanie 6.
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia. Długość boku trójkąta
równobocznego oznaczamy
a
.
Z warunków zadania wynika, że pole trójkąta
DBE
, to
3
8
pola trójkąta
ABC
.
Stąd wynika, że:
3
4
BE
a
,
3
8
FB
a
,
1
8
DF
a
,
3
3
8
a
EF
.
Odpowiedź:
tg
3 3
EF
DF
.
A
C
B
D
E
F
α
.
5
Zadanie 7.
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.
Okrąg opisany na trapezie
ABCD
to okrąg opisany na trójkącie
ABC
. Promień tego
okręgu możemy obliczyć z twierdzenia sinusów:
3
2 sin 60
3
d
d
R
.
Kolejno obliczamy:
12 9
3
2
2
FB
,
3
c
BC
.
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie
ABC
obliczamy
d
:
3 13
d
.
Odpowiedź:
39
R
.
Zadanie 8.
Z warunków zadania wynika, że dwa wierzchołki kwadratu, oznaczmy je przez
A
i
B
,
leżą na prostej o równaniu
2
5
0
x
y
oraz na okręgu o środku w punkcie
0, 0
i promieniu
2
5
10
r
.
Zapisujemy układ równań.
2
2
10
2
5
0
x
y
x
y
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy
3,1
A
,
1, 3
B
. Punkt
0, 0
jest
środkiem symetrii kwadratu, stąd wynika, że
3, 1
C
,
1, 3
D
.
Zadanie 9.
Nierówność
3
a b c d
jest równoważna z nierównością
2
2
3
a b c
d
.
Korzystając z tego, że
2
2
2
2
a
b
c
d
, otrzymujemy nierówność równoważną
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ab
ac
bc
a
b
c
, którą możemy zapisać w postaci:
6
2
2
2
0
a b
a c
b c
.
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich
a
,
b
,
c
.
Zadanie 10.
Z warunków zadania wynika, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu
opisanego na podstawie. Jest to środek przeciwprostokątnej
AB
. Rysujemy rysunek
pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia.
1
3
p
V
P h
2
1
1
sin
cos
sin 2
2
4
p
P
a
a
a
tg
2
a
h
Odpowiedź:
3
1
sin 2
tg
24
V
a
Zadanie 11.
Zdarzeniami elementarnymi są pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru
1, 2, 3, 4, 5, 6
. Jest to model klasyczny
5
6
.
Możliwe przedstawienia liczby
8
w postaci sumy pięciu składników ze zbioru
1, 2, 3, 4, 5, 6
są następujące:
8 1 1 1 1 4
8 1 1 1 2 3
8 1 1 2 2 2
A
B
C
S
h
. .
A
B
C
.
α
a
7
Oznaczając przez
A
zdarzenie opisane w treści zadania, otrzymujemy:
5
5
4
5
35
1
1
1
2
A
Odpowiedź:
5
35
6
P A
.