P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
[zazwyczaj
]
P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y
P3. RÓWNANIE LINIOWE
P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO
P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY
P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY
P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE
P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE
P7. WZORY
P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
[zazwyczaj
] D=…
Sprawdzamy g(y)=0 y=a
Definiujemy funkcję y(x)=a dla
Zatem funkcja ta jest rozwiązaniem równania
Załóżmy, że
…
P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y
D=…
Niech
=>
I otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Obliczamy a na końcu podstawiamy
P3. RÓWNANIE LINIOWE
D=…
Jest to równanie liniowe w którym p(x)=…, g(x)=..
Szukamy kolejno
1° rozwiązania równania
Ale szybciej jest ze wzoru
,
, dla
…
2°
METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ
Podstawiamy do
i wyznaczamy
(lub
i całkujemy)
METODA PRZEWIDYWAŃ GDY
i
ma postać:
I)
, k=1 gdy
II)
, l=max(n,m)
III)
k=1 gdy
i
Mamy
…
Podstawiamy do głównego wzoru
BONUS
Gdy
P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO
,
Gdy
stała funkcja
jest rozwiązaniem równania
Szukamy rozwiązania
I mamy równanie liniowe
P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY
Jest to układ równań liniowych o stałych współczynnikach, jednorodny
Równanie charakterystyczne ma postać
, gdzie E-macierz jednostkowa
,
Dla r1=.. o kr(r1)=.. szukamy rozwiązania w postaci
dla kr=1 lub
dla kr=2
Następnie wstawiamy do układu
Dla r2=… …
P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY
1° Szukamy rozwiązania ogólnego
2°Szykamy
rozwiązania szczególnego układu pełnego
Szukamy rozwiązania
dla b(t)=t lub
dla b(t)=e^t (a jak coś nie pasuje to zwiększamy stopień wielomianu)
Wyliczamy współczynniki podstawiając do wzoru
P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE
D=…
Równanie charakterystyczne
…
… tyle pierwiastków jaka krotność i każdy kolejny pomnożony przez x
dla
, gdzie
JEŻELI:
P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE
1° Szukamy rozwiązania ogólnego
2°
METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ
Z tw. Cramera
METODA PRZEWIDYWAN
I)
, k - krotność pierwiastka
równania charakterystycznego
II)
gdzie l=max(n,m), k=1 gdy
jest pierwiastkiem równaniacharakterystycznego
III)
gdzie l=max(n,m), a k oznacza krotność pierwiastka
równania charakterystycznego
RÓŻNE:
Przez części: