sad8(2), PJWSTK, 0sem, SAD


Wartość oczekiwana. Kowariancja.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

0x01 graphic
gdy X, Y są dyskretne,

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga. Dla 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y, gdyż

  1. w przypadku dyskretnym

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=0x01 graphic
=0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic

  1. w przypadku ciągłym

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic

=0x01 graphic
.

Analogicznie otrzymujemy

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

0x01 graphic
.

Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości ) 0x01 graphic
. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

0x01 graphic
.

Stąd: 0x01 graphic
,

gdy X, Y są dyskretne

0x01 graphic
,

gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast 0x01 graphic
często piszemy Cov (X,Y).

Stwierdzenie. Cov(X,Y) = 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Cov(X,Y) = 0.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b

Var(0x01 graphic
=

0x01 graphic
Var(X) + 0x01 graphic
Var(Y) + 20x01 graphic
Cov(X,Y).

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
Var(X) + 0x01 graphic
Var(Y).

Definicja. Współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

0x01 graphic
.

Zadanie. Zmienna losowa 0x01 graphic
ma rozkład ciągły o gęstości

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

  1. Wyznaczyć stałą C.

  2. Obliczyć kowariancję pomiędzy zmiennymi X, Y.

  3. Czy zmienne losowe X, Y są niezależne ?

  1. 0x01 graphic
    = 0x01 graphic
    = C 0x01 graphic
    =

= C 0x01 graphic
0x01 graphic
= C ( 1/2 - 1/6 ) = 1. Stąd C = 3.

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    = 0x01 graphic
    =

= 3 0x01 graphic
= 3 0x01 graphic
= 3 0x01 graphic
=

= 3/8

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 3 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 1 - 1/4 = 3/4

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

= 3 0x01 graphic
= 30x01 graphic
= 3(0x01 graphic
=

= 0,9

Cov(X,Y) = 0,9 - (3/8)(3/4) = 99/160.

(c) Cov(X,Y) 0x01 graphic
0, więc zmienne nie są niezależne, tzn. są zależne.

Własności współczynnika korelacji

(i) 0x01 graphic

(ii) Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli

Y = a + bX,

to

0x01 graphic
0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

(iii) Jeśli 0x01 graphic
, to między zmiennymi losowymi X, Y istnieje liniowa zależność funkcyjna.

(iv) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

0x01 graphic

Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi.

0x01 graphic
Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa 0x01 graphic
ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

0x01 graphic
exp0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic
, stałe 0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
spełniają warunki 0x01 graphic
> 0, 0x01 graphic
> 0, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Notacja: 0x01 graphic

Twierdzenie. Jeśli 0x01 graphic
, to

(i) X ~ 0x01 graphic
, Y ~ 0x01 graphic
.

(ii) Cov(X,Y) = 0x01 graphic
.

(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
= 0.

Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b są dowolnymi stałymi.

Zadanie. Niech zmienna losowa X oznacza dzienną wartość sprzedaży ( w 100 zł. ) dyskietek a zmienna losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru kserograficznego ( w 100 zł.). Wiadomo, że dwuwymiarowa zmienna losowa 0x01 graphic
ma rozkład normalny o parametrach: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
. (a) Obliczyć wartość średnią oraz wariancję łącznej wartości sprzedaży w ciągu 10 dni, jeśli wartości sprzedaży obu artykułów w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach takich jak rozkład zmiennej 0x01 graphic
. (b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wartość sprzedaży w ciągu 10 dni przekroczy 10000 zł.

(a) Łączna wartość sprzedaży:

0x01 graphic
.

0x01 graphic
(100 zł.)

Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.

0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) = 100x01 graphic
Var(X +Y) = 100x01 graphic
[Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)] = 10(0x01 graphic
=

= 30 (0x01 graphic
zł. ).

(b) 0x01 graphic
. Zatem po standaryzacji 0x01 graphic
, skąd

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 1 - [1 -0x01 graphic
] = 0,966.

CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

Niech 0x01 graphic
będą zmiennymi losowymi określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

dystrybuanta wektora losowego (0x01 graphic
).

0x01 graphic
= funkcja prawdopodobieństwa łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego (0x01 graphic
).

Definicja. Zmienne losowe 0x01 graphic
są niezależne, jeśli

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, i = 1,2,...,n.

Definicja.

0x01 graphic
=

0x01 graphic
,

lub

0x01 graphic
.

Stwierdzenie. Dla dowolnych stałych 0x01 graphic
:

0x01 graphic
=

0x01 graphic
.

Wniosek. Niech 0x01 graphic
i = 1,2,..,n, oraz

0x01 graphic
.

Wówczas 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć 0x01 graphic
, i = 1,2,..,n.

Stwierdzenie. Jeśli 0x01 graphic
niezależnymi zmiennymi losowymi, to

Var0x01 graphic
=

0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) + 0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) + ... +0x01 graphic
Var(0x01 graphic
).

W szczególności, jeśli Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
,

i = 1,2,..,n, to

Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
.

Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych doświadczeń Bernoulli'ego o prawdopodobieństwie sukcesu p, 0x01 graphic
. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej 0x01 graphic
będącej liczbą sukcesów.

Niech 0x01 graphic
1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,

0x01 graphic
0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas

0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach prawdopodobieństwa:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Stąd:

0x01 graphic
, Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
.

Liczba sukcesów =

0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Var(0x01 graphic
) =

Var(0x01 graphic
+ Var(0x01 graphic
+ ... + Var(0x01 graphic
= 0x01 graphic

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Populacja - zbiorowość elementów badanych ze względu na określoną cechę.

Rozkład populacji = rozkład prawdopodobieństwa cechy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - cechy losowo wybranego elementu populacji.

Losujemy n elementów niezależnie i w taki sam sposób

( np. w przypadku skończonej populacji - losowanie ze zwracaniem ). Niech zmienna losowa 0x01 graphic
oznacza cechę i-go potencjalnie wylosowanego elementu, 0x01 graphic
Wówczas 0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie cechy X .

Definicja. Prostą próbą losową o liczności n nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych 0x01 graphic
określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych 0x01 graphic
i takich, że każda ze zmiennych ma taki sam rozkład.

Mówimy wówczas, że 0x01 graphic
jest prostą próbą losową z rozkładu ( odpowiednia nazwa rozkładu ).

Konkretny ciąg wartości 0x01 graphic
( prostej ) próby losowej 0x01 graphic
nazywamy realizacją ( prostej ) próby losowej lub próbką.

Zadanie statystyki: badanie własności rozkładu cechy X na podstawie obserwacji - próbki.

Np. jak ocenić 0x01 graphic
na podstawie realizacji prostej próby losowej? W jakim sensie średnia próbkowa 0x01 graphic
jest dobrą oceną 0x01 graphic
?

Rozkład średniej prostej próby losowej

Określenie. Statystyką nazywamy zmienną losową 0x01 graphic
będącą funkcją próby losowej 0x01 graphic
.

Statystykę

0x01 graphic
= 0x01 graphic

nazywamy średnią z próby losowej 0x01 graphic
.

Średnia próbkowa 0x01 graphic
= realizacja statystyki 0x01 graphic
.

Twierdzenie. ( Prawo wielkich liczb ). Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu zmiennej losowej X o średniej 0x01 graphic
. Wówczas dla dowolnie małej liczby 0x01 graphic

0x01 graphic
, przy 0x01 graphic
.

Stąd średnia z prostej próby losowej jest dobrym oszacowaniem średniej teoretycznej ( średniej rozkładu cechy populacji ): 0x01 graphic
bliskie 1, dla dostatecznie dużego n.

Stwierdzenie. Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu zmiennej losowej X o średniej 0x01 graphic
i wariancji 0x01 graphic
. Wówczas

(a) 0x01 graphic
, Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
,

(b) Jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic

Zadanie. Załóżmy, że wzrost ( w cm ) w populacji dorosłych Polaków jest cechą o rozkładzie normalnym o nieznanej wartości średniej 0x01 graphic
( cm ) i odchyleniu standardowym 0x01 graphic
= 6,5 ( cm ). Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia z prostej próby losowej o liczności 100 ( średni wzrost 100 losowo wybranych dorosłych Polaków ) różni się od prawdziwej wartości 0x01 graphic
o więcej niż 1,5 (cm).

Wiemy, że 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic
+ 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
+ 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
= 20x01 graphic
=

2[0x01 graphic
] = 0,0208,

gdzie Z ma standardowy rozkład normalny.

Zauważmy, że dla pojedynczej obserwowanej zmiennej mamy

0x01 graphic
20x01 graphic
= 0,8180.

( rysunek gęstości średniej )

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE

GRANICZNE = twierdzenie Lindeberga-Levy'ego)

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej 0x01 graphic
i wariancji 0x01 graphic
. Wówczas dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu 0x01 graphic
, dokładniej, dla dowolnych 0x01 graphic
zachodzi

0x01 graphic
0x01 graphic

przy 0x01 graphic
. Równoważnie rozkład średniej 0x01 graphic
jest bliski rozkładowi normalnemu 0x01 graphic
.

Uwaga. Przy założeniach centralnego twierdzenia granicznego rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej sumy 0x01 graphic
jest w przybliżeniu rozkładem normalnym, tzn.

0x01 graphic
, przy 0x01 graphic
.

Równoważnie rozkład 0x01 graphic
jest bliski 0x01 graphic
.

Wystarczy zauważyć:

0x01 graphic

Uwaga. Przybliżenie na ogół można stosować gdy

0x01 graphic
.

Wniosek. ( Twierdzenie Moivre'a - Laplace'a)

Jeśli 0x01 graphic
, to przy 0x01 graphic

0x01 graphic
.

D. 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
. Po podstawieniu otrzymujemy tezę.

Uwaga. Przybliżenie można stosować gdy

0x01 graphic
.

Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech 0x01 graphic
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu , 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zadanie. Codzienne opóźnienie pociągu ( w minutach ) na pewnej trasie jest zmienną losową ciągłą o gęstości

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

a) Wyznaczyć stałą C.

b) Wyznaczyć dystrybuantę0x01 graphic
.

c) Obliczyć prawdopodobieństwa 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję codziennego opóźnienia pociągu.

e) Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że łączne opóźnienie pociągu na tej trasie w ciągu 90 dni przekroczy 600 minut, jeśli opóźnienia w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

  1. 0x01 graphic
    50 = 1. C = 1/50.

b) 0x01 graphic
= 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
,

Zatem

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

  1. 0x01 graphic
    = 1 - F(5) = 1- 25/100 = 0,75.

0x01 graphic
= F(7) - F(5) = 0,49 - 0,25 = 0,24.

d) 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 20/3,

0x01 graphic

0x01 graphic
= 50.

0x01 graphic
0x01 graphic
- 0x01 graphic
= 50 - 400/9 = 50/9.

e) Niech 0x01 graphic
oznacza łączny czas opóźnienia w ciągu 90 dni. 0x01 graphic
jest prostą próbą losową z rozkładu o gęstości takiej jak gęstość zmiennej X. 0x01 graphic
= opóźnienie i-go dnia.

0x01 graphic
.

Var(0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego rozkład

0x01 graphic
jest bliski rozkładowi 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 1 - 0,5 = 0,5.

Poprawka w przybliżeniu normalnym

Jeśli zmienne losowe 0x01 graphic
w prostej próbie losowej przyjmują jedynie wartości całkowite, to otrzymamy lepsze przybliżenie rozkładem normalnym stosując Centralne Twierdzenie Graniczne ( w szczególności twierdzenie Moivre'a - Laplace'a ) z tzw. poprawką uwzględniającą fakt, że rozkład dyskretny przybliżamy rozkładem ciągłym, dokładniej zauważmy iż dla całkowitych a i b mamy:

0x01 graphic
= 0x01 graphic

(1) 0x01 graphic
=

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- 0x01 graphic
.

Równoważnie mamy:

(2) 0x01 graphic
0x01 graphic

= 0x01 graphic
- 0x01 graphic

Przykład. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej skuteczność na 80 %. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że

  1. pożądaną odporność uzyskają mniej niż 74 osoby,

  2. co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.

Niech 0x01 graphic
będzie liczbą osób spośród 100 testowanych, które uzyskają odporność, gdzie 0x01 graphic
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego 0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic

(a) Wstawiając we wzorze (1) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
n =100 mamy: 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 1 - 0,9474 =

= 1 - 0x01 graphic
= 1 - 0,9474 = 0,0526.

(b)0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
= 0,9147 - 1 + 0,9484 =

= 0,8631.

Rozkład częstości

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie

Bernoulli'ego, tzn.

0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

W zastosowaniach często 0x01 graphic
% oznacza procent elementów badanej populacji posiadających określoną własność. Wówczas p nazywamy proporcją lub wskaźnikiem struktury.

0x01 graphic

0x01 graphic

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu X. ( 0x01 graphic
(0) jeśli i-ty wylosowany element ma ( nie ma ) określoną własność ).

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
nazywamy częstością wystąpienia (elementów o danej własności ) w prostej próbie losowej.

0x01 graphic
, Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego dla średniej z próby losowej mamy:

0x01 graphic
,

gdy 0x01 graphic
, oraz na mocy wzoru (2)

0x01 graphic
0x01 graphic

= 0x01 graphic
- 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Dla dowolnych 0x01 graphic

0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
.

Zadanie. W populacji dorosłych Polaków 39 % ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopoty ze snem nie przekroczy 0,33.

0x01 graphic
0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol3(maj), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 03.01.2006 v1, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD k3 zadania pomocnicze, PJWSTK, 0sem, SAD, SAD inne, kolokwia
sadreg2-egzamin, PJWSTK, 0sem, SAD
sad11hipotezy, PJWSTK, 0sem, SAD
sad7(3), PJWSTK, 0sem, SAD
zasady, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 09.02.2007, PJWSTK, 0sem, SAD
sad13p(1), PJWSTK, 0sem, SAD
sad11pp(02), PJWSTK, 0sem, SAD
SADegzamin2003, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e xx.09.2003 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v2, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy
SAD e 03.01.2006 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
sad9p(02), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v1, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy

więcej podobnych podstron