Wartość oczekiwana. Kowariancja.

=
,

gdy X, Y są dyskretne,

=
,

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga. Dla
lub
otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych zmiennych losowych X lub Y, gdyż

1. w przypadku dyskretnym

=
=
=
.

=
=
=

2. w przypadku ciągłym

=
=

=
.

Analogicznie otrzymujemy

=
.

Stwierdzenie. Niech c będzie dowolną stałą, a
,
,
zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

,

.

Stwierdzenie. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to

.

Definicja. Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości )
. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy liczbę:

.

Stąd:
,

gdy X, Y są dyskretne

,

gdy X, Y są ciągłe.

Notacja: Zamiast
często piszemy Cov (X,Y).

Stwierdzenie. Cov(X,Y) =
.

Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Cov(X,Y) = 0.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.

Twierdzenie. Dla dowolnych stałych a, b

Var(
=

Var(X) +
Var(Y) + 2
Cov(X,Y).

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Var(
) =
Var(X) +
Var(Y).

Definicja. Współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

.

Zadanie. Zmienna losowa
ma rozkład ciągły o gęstości

dla
.

1. Wyznaczyć stałą C.

2. Obliczyć kowariancję pomiędzy zmiennymi X, Y.

3. Czy zmienne losowe X, Y są niezależne ?

1. 
   =
   = C
   =

= C

= C ( 1/2 - 1/6 ) = 1. Stąd C = 3.

2. 
   
   =
   =

= 3
= 3
= 3
=

= 3/8

=
=
=

= 3
=
= 1 - 1/4 = 3/4

=
=
=

= 3
= 3
= 3(
=

= 0,9

Cov(X,Y) = 0,9 - (3/8)(3/4) = 99/160.

(c) Cov(X,Y)
0, więc zmienne nie są niezależne, tzn. są zależne.

Własności współczynnika korelacji

(i)

(ii) Jeśli a i b są stałymi, oraz jeśli

Y = a + bX,

to

gdy

(iii) Jeśli
, to między zmiennymi losowymi X, Y istnieje liniowa zależność funkcyjna.

(iv) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

Interpretacja. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi.

Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa
ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli ma gęstość postaci:

exp
,

gdzie

,

, stałe
,
,
spełniają warunki
> 0,
> 0,


.

Notacja:

Twierdzenie. Jeśli
, to

(i) X ~
, Y ~
.

(ii) Cov(X,Y) =
.

(iii) X, Y są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy
= 0.

Twierdzenie. Zmienna losowa (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa aX + bY ma rozkład normalny, a, b są dowolnymi stałymi.

Zadanie. Niech zmienna losowa X oznacza dzienną wartość sprzedaży ( w 100 zł. ) dyskietek a zmienna losowa Y dzienną wartość sprzedaży papieru kserograficznego ( w 100 zł.). Wiadomo, że dwuwymiarowa zmienna losowa
ma rozkład normalny o parametrach:
,
,
,

. (a) Obliczyć wartość średnią oraz wariancję łącznej wartości sprzedaży w ciągu 10 dni, jeśli wartości sprzedaży obu artykułów w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach takich jak rozkład zmiennej
. (b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wartość sprzedaży w ciągu 10 dni przekroczy 10000 zł.

(a) Łączna wartość sprzedaży:

.

(100 zł.)

Średnia łączna wartość sprzedaży to 11000 zł.

Var(
) = 10
Var(X +Y) = 10
[Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)] = 10(
=

= 30 (
zł. ).

(b)
. Zatem po standaryzacji
, skąd

=
=

=
= 1 - [1 -
] = 0,966.

CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

Niech
będą zmiennymi losowymi określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych
.

=
=

dystrybuanta wektora losowego (
).

= funkcja prawdopodobieństwa łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego (
).

Definicja. Zmienne losowe
są niezależne, jeśli

=
,

gdzie
, i = 1,2,...,n.

Definicja.

=

,

lub

.

Stwierdzenie. Dla dowolnych stałych
:

=

.

Wniosek. Niech
i = 1,2,..,n, oraz

.

Wówczas
=
.

D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć
, i = 1,2,..,n.

Stwierdzenie. Jeśli
są niezależnymi zmiennymi losowymi, to

Var
=

Var(
) +
Var(
) + ... +
Var(
).

W szczególności, jeśli Var(
) =
oraz
,

i = 1,2,..,n, to

Var(
) =
.

Przykład. Dokonujemy n jednakowych, niezależnych doświadczeń Bernoulli'ego o prawdopodobieństwie sukcesu p,
. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
będącej liczbą sukcesów.

Niech
1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,

0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach prawdopodobieństwa:

,
.

Stąd:

, Var(
) =
.

Liczba sukcesów =

=
=

=
.

Var(
) =

Var(
+ Var(
+ ... + Var(
=

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Populacja - zbiorowość elementów badanych ze względu na określoną cechę.

Rozkład populacji = rozkład prawdopodobieństwa cechy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - cechy losowo wybranego elementu populacji.

Losujemy n elementów niezależnie i w taki sam sposób

( np. w przypadku skończonej populacji - losowanie ze zwracaniem ). Niech zmienna losowa
oznacza cechę i-go potencjalnie wylosowanego elementu,
Wówczas
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie cechy X .

Definicja. Prostą próbą losową o liczności n nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych
określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych
i takich, że każda ze zmiennych ma taki sam rozkład.

Mówimy wówczas, że
jest prostą próbą losową z rozkładu ( odpowiednia nazwa rozkładu ).

Konkretny ciąg wartości
( prostej ) próby losowej
nazywamy realizacją ( prostej ) próby losowej lub próbką.

Zadanie statystyki: badanie własności rozkładu cechy X na podstawie obserwacji - próbki.

Np. jak ocenić
na podstawie realizacji prostej próby losowej? W jakim sensie średnia próbkowa
jest dobrą oceną
?

Rozkład średniej prostej próby losowej

Określenie. Statystyką nazywamy zmienną losową
będącą funkcją próby losowej
.

Statystykę

=

nazywamy średnią z próby losowej
.

Średnia próbkowa
= realizacja statystyki
.

Twierdzenie. ( Prawo wielkich liczb ). Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu zmiennej losowej X o średniej
. Wówczas dla dowolnie małej liczby

, przy
.

Stąd średnia z prostej próby losowej jest dobrym oszacowaniem średniej teoretycznej ( średniej rozkładu cechy populacji ):
bliskie 1, dla dostatecznie dużego n.

Stwierdzenie. Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu zmiennej losowej X o średniej
i wariancji
. Wówczas

(a)
, Var(
) =
,

(b) Jeśli
, to

Zadanie. Załóżmy, że wzrost ( w cm ) w populacji dorosłych Polaków jest cechą o rozkładzie normalnym o nieznanej wartości średniej
( cm ) i odchyleniu standardowym
= 6,5 ( cm ). Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia z prostej próby losowej o liczności 100 ( średni wzrost 100 losowo wybranych dorosłych Polaków ) różni się od prawdziwej wartości
o więcej niż 1,5 (cm).

Wiemy, że
.

=

+
=

=
+
=

=
= 2
=

2[
] = 0,0208,

gdzie Z ma standardowy rozkład normalny.

Zauważmy, że dla pojedynczej obserwowanej zmiennej mamy

2
= 0,8180.

( rysunek gęstości średniej )

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE

GRANICZNE = twierdzenie Lindeberga-Levy'ego)

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej
i wariancji
. Wówczas dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu
, dokładniej, dla dowolnych
zachodzi

przy
. Równoważnie rozkład średniej
jest bliski rozkładowi normalnemu
.

Uwaga. Przy założeniach centralnego twierdzenia granicznego rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej sumy
jest w przybliżeniu rozkładem normalnym, tzn.

, przy
.

Równoważnie rozkład
jest bliski
.

Wystarczy zauważyć:

Uwaga. Przybliżenie na ogół można stosować gdy

.

Wniosek. ( Twierdzenie Moivre'a - Laplace'a)

Jeśli
, to przy

.

D.
, gdzie
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego
. Zatem
. Po podstawieniu otrzymujemy tezę.

Uwaga. Przybliżenie można stosować gdy

.

Przykład. Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech
oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,
.

,
.

,

=

.

Zadanie. Codzienne opóźnienie pociągu ( w minutach ) na pewnej trasie jest zmienną losową ciągłą o gęstości

dla
.

a) Wyznaczyć stałą C.

b) Wyznaczyć dystrybuantę
.

c) Obliczyć prawdopodobieństwa
,
.

d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję codziennego opóźnienia pociągu.

e) Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że łączne opóźnienie pociągu na tej trasie w ciągu 90 dni przekroczy 600 minut, jeśli opóźnienia w kolejnych dniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

1. 
   50 = 1. C = 1/50.

b)
=
dla
,

Zatem

dla
.

3. 
   = 1 - F(5) = 1- 25/100 = 0,75.

= F(7) - F(5) = 0,49 - 0,25 = 0,24.

d)
=
= 20/3,

= 50.

-
= 50 - 400/9 = 50/9.

e) Niech
oznacza łączny czas opóźnienia w ciągu 90 dni.
jest prostą próbą losową z rozkładu o gęstości takiej jak gęstość zmiennej X.
= opóźnienie i-go dnia.

.

Var(
=
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego rozkład

jest bliski rozkładowi
.

=

= 1 - 0,5 = 0,5.

Poprawka w przybliżeniu normalnym

Jeśli zmienne losowe
w prostej próbie losowej przyjmują jedynie wartości całkowite, to otrzymamy lepsze przybliżenie rozkładem normalnym stosując Centralne Twierdzenie Graniczne ( w szczególności twierdzenie Moivre'a - Laplace'a ) z tzw. poprawką uwzględniającą fakt, że rozkład dyskretny przybliżamy rozkładem ciągłym, dokładniej zauważmy iż dla całkowitych a i b mamy:

=

(1)
=

-
.

Równoważnie mamy:

(2)

=
-

Przykład. Załóżmy, że nowa szczepionka będzie testowana na 100 osobach. Producent ocenia jej skuteczność na 80 %. Znaleźć przybliżone prawdopodobieństwo, że

1. pożądaną odporność uzyskają mniej niż 74 osoby,

2. co najmniej 74 osoby i co najwyżej 85 osób uzyska odporność po zastosowaniu szczepionki.

Niech
będzie liczbą osób spośród 100 testowanych, które uzyskają odporność, gdzie
jest prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego
. Stąd
,
,

(a) Wstawiając we wzorze (1)
,
n =100 mamy:

=
= 1 - 0,9474 =

= 1 -
= 1 - 0,9474 = 0,0526.

(b)
=

=
=

=
= 0,9147 - 1 + 0,9484 =

= 0,8631.

Rozkład częstości

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie

Bernoulli'ego, tzn.

i
.

W zastosowaniach często
% oznacza procent elementów badanej populacji posiadających określoną własność. Wówczas p nazywamy proporcją lub wskaźnikiem struktury.

Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu X. (
(0) jeśli i-ty wylosowany element ma ( nie ma ) określoną własność ).

=
=
nazywamy częstością wystąpienia (elementów o danej własności ) w prostej próbie losowej.

, Var(
) =
.

Z Centralnego Twierdzenia Granicznego dla średniej z próby losowej mamy:

,

gdy
, oraz na mocy wzoru (2)

=
-
.

Twierdzenie. Dla dowolnych

, gdy
.

Zadanie. W populacji dorosłych Polaków 39 % ma kłopoty ze snem. Oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych Polaków częstość osób mających kłopoty ze snem nie przekroczy 0,33.

=

=