sad9p(02), PJWSTK, 0sem, SAD


ESTYMACJA PUNKTOWA

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z

rozkładu, którego parametr 0x01 graphic
jest nieznany.

Definicja. Statystykę 0x01 graphic
, której realizacje dla konkretnych próbek są „rozsądnymi” ocenami 0x01 graphic
, nazywamy estymatorem parametru 0x01 graphic
i oznaczamy

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Definicja. Estymator 0x01 graphic
parametru jest nieobciążony, jeśli

0x01 graphic
.

Przykłady.

(a) Średnia z prostej próby losowej jest nieobciążonym estymatorem wartości średniej 0x01 graphic
.

0x01 graphic
.

(b) Wariancja z prostej próby losowej jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu cechy populacji 0x01 graphic
.

0x01 graphic
.

I. Przedziały ufności dla wartości średniej rozkładu normalnego.

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu normalnego 0x01 graphic
.

Model 1. ( znane odchylenie standardowe 0x01 graphic
)

0x01 graphic
~ 0x01 graphic
.

0x01 graphic
~ 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
- ustalona liczba.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
, (1)

gdzie 0x01 graphic
= kwantyl rzędu 0x01 graphic
rozkładu 0x01 graphic
,

0x01 graphic
= kwantyl rzędu 0x01 graphic
rozkładu 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Z symetrii standardowej gęstości normalnej

0x01 graphic
.

Równanie (1) można zapisać jako

0x01 graphic
=

(2) 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

0x01 graphic
- przedział losowy zawierający z prawdopodobieństwem 0x01 graphic
nieznaną wartość średnią 0x01 graphic
. Realizacją tego losowego przedziału obliczoną dla próbki jest

0x01 graphic
=

przedział ufności dla 0x01 graphic
na poziomie ufności 0x01 graphic

Interpretacja częstościowa (sens praktyczny ) przedziału ufności:

Niech 0x01 graphic
,0x01 graphic
oznaczają średnie próbkowe obliczone dla N próbek: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Próbki są realizacjami niezależnych prostych prób losowych (0x01 graphic
), (0x01 graphic
),...., (0x01 graphic
). Dokładniej: wykonujemy N jednakowych niezależnych doświadczeń. Każde k-te ( k = 1,2,...,N ) doświadczenie polega na zaobserwowaniu realizacji k-tej prostej próby losowej (0x01 graphic
), tzn. k-tej próbki: 0x01 graphic
. Przedział ufności dla 0x01 graphic
na poziomie ufności 0x01 graphic
obliczony dla k-tej próbki ma postać

0x01 graphic
.

Nieznana nam średnia 0x01 graphic
nie dla każdej próbki należy do wyznaczonego dla niej przedziału ufności. Ale, niech 0x01 graphic
oznacza liczbę tych doświadczeń dla których

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Wówczas na mocy interpretacji częstościowej prawdopodobieństwa zdarzenia, dla 0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
=0x01 graphic

Zatem spośród wielu próbek w przybliżeniu0x01 graphic

jest takich dla których wyznaczony przedział ufności zawiera nieznaną wartość średnią 0x01 graphic
.

Jak duża powinna być liczność próbki n ?

(a) Długość przedziału 0x01 graphic

jest stała ( nie zależy od próbki ) równa

0x01 graphic
.

Im większe n tym mniejsza długość przedziału ufności, tzn. tym lepsze oszacowanie przedziałowe 0x01 graphic
na danym poziomie ufności.

(b) Ze wzoru (2) mamy

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

Niech 0x01 graphic
będzie takie że

0x01 graphic
0x01 graphic
, równoważnie 0x01 graphic
.

Wówczas (wykorzystując 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
)

0x01 graphic
=0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, skąd

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Udowodniliśmy

Stwierdzenie. Jeśli liczność prostej próby losowej z rozkładu normalnego o wartości średniej 0x01 graphic
i standardowym odchyleniu 0x01 graphic
spełnia warunek

0x01 graphic
,

to

0x01 graphic
0x01 graphic
.

( Z prawdopodobieństwem co najmniej 0x01 graphic
błąd bezwzględny oszacowania nieznanej wartości średniej 0x01 graphic
poprzez 0x01 graphic
nie przekroczy 0x01 graphic
, tzn. wśród wielu próbek o liczności n częstość takich dla których błąd bezwzględny średniej próbkowej nie przekroczy d jest w przybliżeniu nie mniejsza niż 0x01 graphic
. )

Zadanie. Stacja paliw sprzedała 8019 litrów gazu w ciągu 9 losowo wybranych dni. Załóżmy, że dzienna ilość sprzedanego gazu ma rozkład normalny o standardowym odchyleniu 0x01 graphic
(litrów). Skonstruować przedziały ufności dla średniej dziennej sprzedaży gazu na poziomach ufności:

(a) 0,98 (b) 0,80.

Mamy: 0x01 graphic
n = 9, 0x01 graphic
, skąd

0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    .

98% przedział ufności dla 0x01 graphic
:

[891 - 2,330x01 graphic
, 891 + 2,330x01 graphic
] = [821,1, 960,9]

  1. 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    .

80% przedział ufności dla 0x01 graphic
= [852,6, 929,4].

Zadanie. Producent chce ocenić średnią zawartość nikotyny w paczkach papierosów pewnego gatunku.

Wiadomo, że standardowe odchylenie zawartości nikotyny w losowo wybranej paczce papierosów 0x01 graphic
(mg),

Znaleźć liczbę paczek papierosów, w których należy zbadać zawartość nikotyny, aby na poziomie ufności co najmniej 0,95 móc stwierdzić, że obliczona średnia z próbki 0x01 graphic
nie będzie się różniła od prawdziwej średniej zawartości nikotyny 0x01 graphic
o więcej niż 1,5 (mg).

Zakładając rozkład normalny zawartości nikotyny w paczce papierosów mamy:

Dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic
. Stąd liczność próbki powinna być: 0x01 graphic
.

Model 2. ( nieznane odchylenie standardowe 0x01 graphic
)

W poprzednim modelu wykorzystano

0x01 graphic
. Podstawiając zamiast 0x01 graphic
estymator 0x01 graphic
, tzn. 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, otrzymujemy zmienną losową

0x01 graphic
.

T ma znany rozkład: t Studenta z 0x01 graphic
stopniami swobody, gdzie

Definicja. Niech 0x01 graphic
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach 0x01 graphic
.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

0x01 graphic
= 0x01 graphic
nazywamy rozkładem t Studenta z k stopniami swobody.

Notacja. 0x01 graphic
.

Własności rozkładu 0x01 graphic
:

Gęstość symetryczna o podobnym kształcie jak gęstość normalna, 0x01 graphic
Dla 0x01 graphic
można przyjąć

0x01 graphic
.

Mając zmienną losową 0x01 graphic
budujemy przedział ufności dla 0x01 graphic
analogicznie jak w modelu 1:

0x01 graphic
, gdzie

0x01 graphic
= kwantyl rzędu 0x01 graphic
rozkładu t Studenta o 0x01 graphic
stopniach swobody.

Uwaga. Jeśli 0x01 graphic
, to przyjmujemy

0x01 graphic
.

Zadanie. Zanotowano czasy obsługi przy okienku kasowym ( w minutach ) 64 losowo wybranych klientów pewnego banku. Obliczono: średnią z próbki 0x01 graphic
(min.) oraz wariancję z próbki 0x01 graphic
(min.0x01 graphic
)

Znaleźć 98% przedział ufności dla średniego czasu obsługi 0x01 graphic
, jeśli można założyć, że czas obsługi klienta przy okienku kasowym ma rozkład normalny.

Mamy: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, n =64, 0x01 graphic
= liczba stopni swobody, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

98% przedział ufności dla 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
=

[3,2 - 2,330x01 graphic
, 3,2 + 2,330x01 graphic
] = [2,85, 3,55].

Zadanie. W ciągu pięciu losowo wybranych tygodni zaobserwowano następujące zużycia cukru ( w gospodarstwie domowym, w kg ):

3,8, 4,5, 5,2, 4,0, 5,5.

Skonstruować 90% przedział ufności dla średniego tygodniowego zużycia cukru w tym gospodarstwie, jeśli

można przyjąć rozkład normalny zużycia cukru.

Obliczamy: 0x01 graphic
= 4,6 oraz

0x01 graphic
= 2,18.

Stąd, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
= 0,738

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 5 - 1 = 4 = liczba stopni swobody, 0x01 graphic
2,132.

90% przedział ufności dla 0x01 graphic
ma postać:

0x01 graphic
=

[ 4,6 - 2,1320x01 graphic
4,6 + 2,1320x01 graphic
]= [3,896, 5,304].

II. Przedziały ufności dla różnicy wartości średnich dwóch rozkładów normalnych.

Niech 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów normalnych 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, odpowiednio.

Model 3. ( znane odchylenia standardowe 0x01 graphic
)

Średnie z obu prób losowych 0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, odpowiednio. Stąd z własności rozkładu normalnego 0x01 graphic
ma rozkład normalny o wartości średniej 0x01 graphic
i wariancji 0x01 graphic
, gdyż

E(0x01 graphic
) = E(0x01 graphic
) + E( - 0x01 graphic
) = E(0x01 graphic
) - E( 0x01 graphic
)

Var(0x01 graphic
) = Var(0x01 graphic
) + Var(-0x01 graphic
) =

Var(0x01 graphic
) + 0x01 graphic
Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
,

skąd po standaryzacji mamy

0x01 graphic
~ 0x01 graphic
.

Postępując dokładnie tak samo jak w przypadku jednej próby ( 0x01 graphic
)otrzymamy przedział ufności dla 0x01 graphic
na poziomie ufności 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Model 4. ( nieznane odchylenia standardowe 0x01 graphic
)

Założenie dodatkowe: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
- nieznane.

0x01 graphic
= 0x01 graphic

Var(0x01 graphic
) = 0x01 graphic
,

Niech

0x01 graphic
, 0x01 graphic
-

nieobciążone estymatory 0x01 graphic
.

Estymatorem nieobciążonym 0x01 graphic
, opartym na dwu próbach łącznie, jest statystyka

0x01 graphic
.

Wówczas we wzorze na Z podstawiając 0x01 graphic

zamiast 0x01 graphic
otrzymujemy statystykę

0x01 graphic
~ 0x01 graphic
.

Analogicznie jak w modelu 3 otrzymujemy przedział ufności dla 0x01 graphic
na poziomie ufności 0x01 graphic
:

0x01 graphic
gdzie:

0x01 graphic
= kwantyl rzędu 0x01 graphic
rozkładu t Studenta z 0x01 graphic
stopniami swobody.

Zadanie. 10 żarówek producenta A miało średni czas życia 1850 (godz.) oraz standardowe odchylenie 0x01 graphic
(godz.). Natomiast 12 żarówek producenta B miało średni czas życia 1940 (godz.) oraz standardowe odchylenie 0x01 graphic
(godz.). Skonstruować 95% przedział ufności dla różnicy prawdziwych wartości średnich czasów życia żarówek producentów A i B.

( podać odpowiednie założenia ).

Zadanie. U 8 kierowców zanotowano czasy reakcji ( na pewien bodziec ) w sek. :

3,0, 2,0, 1,0, 2,5, 1,5, 4,0, 1,0, 2,0.

U 6 innych kierowców zbadano czasy reakcji n bodziec po spożyciu określonej dawki alkoholu:

5,0, 4,0, 3,0, 4,5, 2,0, 2,5.

Znaleźć 95% przedział ufności dla różnicy wartości średnich czasów reakcji w obu populacjach.

Zadanie. Dla realizacji 2 niezależnych prób losowych z rozkładów normalnych otrzymano:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
,

Znaleźć 90% przedział ufności dla różnicy wartości średnich tych rozkładów.

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 52,55.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
=

liczba stopni swobody, 0x01 graphic

0x01 graphic

[50 - 56 - 1,717(7,249)0x01 graphic
, 50 - 56 +

1,717(7,249)0x01 graphic
] = [-11,15, -0,85].

III. Przedziały ufności dla wariancji rozkładu normalnego.

Model 5. Przedział ufności dla wariancji.

Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu normalnego 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są nieznane.

Definicja. Niech 0x01 graphic
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach 0x01 graphic
. Wówczas zmienna losowa

0x01 graphic

ma rozkład 0x01 graphic
o n stopniach swobody.

Notacja: 0x01 graphic
.

Zauważmy, że dla prostej próby losowej z rozkładu 0x01 graphic
, po standaryzacji, zmienne losowe

0x01 graphic
są niezależne o rozkładach

0x01 graphic
. Stąd

0x01 graphic
0x01 graphic

Dowodzi się, że zastępując nieznaną wartość średnią 0x01 graphic
przez średnią z próby losowej 0x01 graphic
otrzymamy zmienną losową:

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic
, (3)

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są kwantylami rzędu 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, odpowiednio, rozkładu 0x01 graphic
.

Wzór (3) zapisujemy równoważnie:

0x01 graphic
.

Stąd, przedziałami ufności na poziomie ufności 0x01 graphic

(a) dla wariancji 0x01 graphic
rozkładu normalnego

0x01 graphic
,

(b) dla standardowego odchylenia 0x01 graphic
rozkładu normalnego

0x01 graphic
.

Zadanie. Plastyk zużył następujące ilości farby do pomalowania 6 talerzy:

8,1, 8,7, 7,6, 7,8, 8,5, 7,9.

Znaleźć 95% przedział ufności dla wariancji, zakładając

rozkład normalny farby potrzebnej do pomalowania 1 talerza.

Rozwiązanie.

Obliczamy 0x01 graphic
0,9. Stąd

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0,18.

0x01 graphic
0x01 graphic
= 0,025, 0x01 graphic
= 0,975, 0x01 graphic
= liczba stopni swobody.

Z tablic kwantyli rozkładu 0x01 graphic
można odczytać

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic

Model 6. Przedział ufności dla ilorazu wariancji dwóch rozkładów normalnych.

Niech 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
będą dwiema niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów normalnych 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, odpowiednio.

Wówczas 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi, o rozkładach 0x01 graphic
o 0x01 graphic
, 0x01 graphic
stopniach swobody, odpowiednio.

Definicja. Niech U, V będą niezależnymi zmiennymi losowymi oraz 0x01 graphic
0x01 graphic
. Wówczas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej

0x01 graphic
nazywamy rozkładem F Snedecora z r i k stopniami swobody.

0x01 graphic
= 0x01 graphic

Zatem zmienna losowa 0x01 graphic
ma rozkład F Snedecora z 0x01 graphic
, 0x01 graphic
stopniami swobody.

0x01 graphic

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
są kwantylami rzędu 0x01 graphic
, odpowiednio, rozkładu F Snedecora z 0x01 graphic
, 0x01 graphic

stopniami swobody.

Wiadomo, że 0x01 graphic
. Zatem przedział ufności dla ilorazu wariancji 0x01 graphic
na poziomie ufności 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
.

IV. Przedziały ufności dla proporcji.

Model 7. Niech 0x01 graphic
będzie prostą próbą losową z rozkładu Bernoulli'ego o nieznanym parametrze p.

Wówczas 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
= 0x01 graphic
. Z centralnego twierdzenia granicznego

dla dostatecznie dużego n zmienna losowa

0x01 graphic
ma rozkład bliski rozkładowi 0x01 graphic

( musi zachodzić 0x01 graphic
).

Można też udowodnić, że zmienna losowa

0x01 graphic
ma rozkład bliski 0x01 graphic
, o ile 0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic
.

Równoważnie

0x01 graphic

0x01 graphic

Przedział ufności dla p na poziomie ufności 0x01 graphic
jest realizacją przedziału losowego:

0x01 graphic
.

Przykład. W badaniach opinii publicznej otrzymano wynik: 57% spośród 1000 ankietowanych Polaków poparło wejście Polski do Unii Europejskiej, a pozostałych 43% osób było przeciwnych. Skonstruować 95% przedział ufności dla proporcji p obywateli popierających wejście Polski do UE.

Mamy:

0x01 graphic
= 0,57, 0x01 graphic
= 0,95, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
= 1 - 0,025 =0,975. Z tablic: 0x01 graphic
= 1,96.

Próba jest bardzo liczna oraz spełnione są warunki

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem można wykorzystać powyżej znaleziony przybliżony przedział ufności:

0x01 graphic
=

0x01 graphic
=

= [0,54, 0,60].

Zatem mamy „95% pewności”, że proporcja Polaków popierających wejście Polski do UE jest liczbą z przedziału [0,54, 0,60].

Zadanie. Spośród 400 dorosłych przypadkowo wybranych osób zapytanych o regularne uprawianie sportu rekreacyjnego 160 osób odpowiedziało twierdząco. Skonstruować 98% przedział ufności dla

p = proporcji osób uprawiających sport rekreacyjny w danej populacji.

Mamy: 0x01 graphic
= 0,4, n = 400, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
=

0x01 graphic
=

= [0,343, 0,457] = 98% przedział ufności dla p.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sad11pp(02), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 09.02.2007, PJWSTK, 0sem, SAD
kol3(maj), PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 03.01.2006 v1, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD k3 zadania pomocnicze, PJWSTK, 0sem, SAD, SAD inne, kolokwia
sadreg2-egzamin, PJWSTK, 0sem, SAD
sad11hipotezy, PJWSTK, 0sem, SAD
sad7(3), PJWSTK, 0sem, SAD
zasady, PJWSTK, 0sem, SAD
sad13p(1), PJWSTK, 0sem, SAD
sad8(2), PJWSTK, 0sem, SAD
SADegzamin2003, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e xx.09.2003 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v2, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy
SAD e 03.01.2006 v2, PJWSTK, 0sem, SAD
SAD e 30.01.2009 v1, PJWSTK, 0sem, SAD, egzaminy

więcej podobnych podstron