1. Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki Newtona: Jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub siły działające równoważą się, to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada: Jeżeli na ciało działa niezerowy układ sił, to ciało to porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej układu, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała: a = F/m

III zasada: Każdej akcji towarzyszy równa co do wartości, lecz przeciwnie skierowana reakcja - inaczej wzajemne oddziaływanie dwóch ciał jest zawsze równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane.

III zasada wg współczesnej teorii: Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą

Prawo zachowania pędu dla punktu materialnego:

p = mv F = F = ma a =

F = m = = dla F = 0 = 0 p = const.

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zero, to całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały.

Siła jest szybkością zmian pędu.

Zasada zachowania momentu pędu: Stosunek zmiany całkowitego momentu pędu układu materialnego względem punktu związanego z inercjalnym układem odniesienia (wzgl. środka masy) do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych działających na układ.

Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to całkowity moment pędu układu pozostaje stały.

τ_zew = ; dla τ_zew = 0 ⇒ = 0

p = mv F = ma = m = =

dla F = 0 ⇒ = 0 → p = const.

L = r × p ← moment pędu

F × r = r ×

τ = F × r ← moment siły

p = mv = (v × mv) + r × v × mv = 0

= (r × p) = (× p) + (r × )

= r × ⇒ t =

Jeżeli τ = 0 = 0 → L = const

Zmiana momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest równa momentowi siły działającej na ten punkt.

********************************************************

2. Siły w układach nieinercjalnych

W układach nieinercjalnych musimy oprócz zwykłych sił znanych z układów inercjalnych, wprowadzić dodatkowo siły pozorne zwane siłami bezwładności. Siły te nie są wywierane na nasze ciało przez żadne z ciał znajdujących się w jego otoczeniu. Ponadto, jeśli rozpatrujemy ruch ciała z punktu widzenia inercjalnego układu odniesienia, siły bezwładności znikają. Wprowadzenie tych sił pozwala na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach nieinercjalnych.

Siły bezwładności w ruchu po okręgu.

Dla obserwatora znajdującego się w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się po okręgu, na ciało poruszające się po tym samym okręgu działają dwie siły: rzeczywista siła dośrodkowa (skierowana radialnie do wewnątrz) oraz siła bezwładności, zwana siłą odśrodkową, która jest siłą pozorną (skierowaną radialnie na zewnątrz). Natomiast obserwator patrzący na ciało z inercjalnego układu odniesienia, będzie widział jedynie działającą siłę dośrodkową.

F = ma = (mv²)/r

Siła Coriolisa.

Człowiek będący w karuzeli obserwujący innego człowieka idącego po linii radialnej stwierdzi, że człowiek porusza się w stanie równowagi, ponieważ nie ma on żadnego przyspieszenia a jednak występuje siła tarcia. Z punktu widzenia obserwatora stojącego na Ziemi występowanie jest zrozumiałe. Składowa F_r jest związana z przyspieszeniem odśrodkowym ω²r, a składowe F_c z przyspieszeniem Coriolisa 2ωVrsinα. Obserwator stojący na karuzeli nie widzi jednak żadnego z tych przyspieszeń. Obserwator stojący na karuzeli twierdzi, że siła tarcia działająca na poruszającego się człowieka jest równoważona przez dwie siły pozorne. Jedna z tych sił jest nazwana siła odśrodkową i ma wart. bezwzgl. F_r i działa na zewnątrz.

Druga - siła Coriolisa ma wartość F_c i działa stycznie w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu karuzeli F_c = ω × r

Siła ta powoduje skręcanie w prawo passatów na półkuli południowej oraz prawe brzegi rzek płynących `południkowo' są bardziej podmyte.

********************************************************

3. Wielkości do opisu ruchu po okręgu.

Prędkość liniowa

Prędkość kątowa

ω = = ω_ch = lim =

jeżeli ω ≠ const. Ciało doznaje przyspieszeń

Przyspieszenie styczne

v = u₀v

a = = u₀+v

a_t = a_r =

a = u₀a_t - u_ra_r

a =

Przyspieszenie dośrodkowe (radialne)

Kierunek a chwilowego pokrywa się z kierunkiem promienia
i zwrócony jest do środka okręgu.

a = lim =

Przyspieszenie kątowe

ω₁, ω₂ - chwilowe

α = = α_ch = lim =

********************************************************

4. Prawo grawitacji Newtona, en. potencjalna i potencjał.

Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m₁ i m₂ znajdującymi się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty i ma wartość F = G(m₁m₂)/r², gdzie G jest stałą uniwersalną mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych.

G = 6,6720•10^-11 N•m²/kg²

[rysunek]

F_{2 1} = - r_{1 2} siła z jaką m₂ działa na m₁

F_{1 2} = - r_{2 1}

r_{2 1} = - r_{1 2}

F_{2 1} = -

Potencjał grawitacyjny określamy jako grawitacyjną energię potencjalną na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym. Potencjał wyraża liczbowo wartość pracy wykonanej przeciwko siłom przyciągania grawitacyjnego przy przeniesieniu masy jednostkowej z nieskończoności do danego punktu pola, przy czym ujemna wartość oznacza, że pracę tę wykonują siły przyciągania: V = E_p/m. V = -(GM)/r. Praca, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m przesunąć z nieskończoności do punktu odległego o r od źródła jest równa energii potencjalnej ciała E_p w tym punkcie.

W = GMm(1/r₀ - 1/r) - praca w polu grawitacyjnym

r₀ = ∞ → 1/r₀ = 0

Energia potencjalna

ΔU = U_b - U_a = - W_ab przy działającej sile zachowawczej.

U_b = - W_ab + U_a przyjmujemy U_a = 0.

U(=U_b) = - W_ab = -(-mg)y = mgy y - wys. nad pow. Ziemi

U = mgy

Siła zach. (siła ciężkości) ma wart. -mg (skierowana w dół)

Przypadek bardziej ogólny

U(r) = - W_∞r

W_∞r - praca wykonywana przez siłę zachowawczą, działającą na punkt materialny w trakcie przenoszenia go z ∞ do punktu leżącego w odległości r od środka Ziemi.

r >> R

F(r) = - G

U(r) = - W_∞r = - ∫ F(r)dr = - ∫- G dr = - G │= - G

Znak minus oznacza, że en. potencjalna jest zerem w nieskończoności i maleje w miarę jak odległość między Ziemią a punktem.

Siła grawitacji

F = - = - (- G ) = - G

Prawa Keplera

1. Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych w których w jednym z ognisk znajduje się Słońce.

2. Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze słońcem zakreśla w równych odcinkach czasu równe pola.

3. Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca

GHs = Hs - masa Słońca.

F₁₂ = - G Ep = - G

E_pB - E_pA = V_A = - G

********************************************************

5. Relatywistyka

Postulaty Einsteina:

1. Prawa fizyki mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia.

2. Prędkość światła jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Relatywistyczne skrócenie długości.

Układ S' porusza się względem ukł. S.

L = x₂ - x₁ = x₂(t) - x₁(t)

L'= x₂'- x₁'= x₂'(t') - x₁'(t')

t' nie jest istotny

x' = γ (x - Vt)

t₂ = t₁

L' = x₂' - x₁'= γ (x₂ - Vt₂) - γ(x₁ - Vt₁) =

= γx₂ - γx₁ - γVt + γVt = γ(x₂ - x₁) = γL

L' == L'

L' = L₀

L = L₀

Występujące skrócenie długości sprawdzono na przykład podczas projektowania akceleratora elektronów na uniwersytecie w Stanford. Na wyjściu elektrony osiągają v = 0,999975 c i każdy metr długości rury akceleratora dla obserwatora poruszającego się z elektronem wygląda jak 7,1 mm.

Dylatacja czasu.

Układ S' porusza się względem ukł. S.

Δt = t₂ - t₁ t = γ (t' + x')

Δt = γ (t₂' + x₂') - γ (t₁' + x₁')

t = γ (t₂'- t₁') = γ Δt'

Δt = γ Δt' =

********************************************************

6. Prawo Gaussa = Prawo Coulomba (dowód).

Prawo Gaussa

ε₀ƒEdS = q

Kąt(E, dS) = 0 to

EdS = EdS wtedy

ε₀ƒEdS = ε₀ƒEdS = q

Ponieważ E = const dla

całej powierzchni kuli S = 4πr²

ε₀EƒdS = q

ε₀E [4πr²] = q

E =

Umieśćmy drugi ładunek punktowy q₀ w punkcie, w którym wyznaczyliśmy E. Wtedy

F = Eq₀

F = - prawo Coulomba

********************************************************

7. Prawo Ohma, prawa Kirchhoffa.

Prawo Ohma

Opór rozważanego przewodnika jest zawsze taki sam niezależnie
od wielkości przyłożonego napięcia w celu zmierzenia go. Zależność U = iR nie jest stwierdzeniem prawa Ohma, przewodnik spełnia to prawo tylko wtedy gdy R nie zależy od i oraz U. Zależność U = iR jest ogólną definicją oporu przewodnika słuszną bez względu an to czy przewodnik spełnia prawo Ohma czy nie.

Prawa Kirchoffa.

1. W dowolnym węźle algebraiczna suma prądów jest równa 0. ∑i = 0

2. Suma zmian potencjałów napotkanych przy dokonywaniu obiegu wokół dowolnego obwodu (oczka) jest równa zeru.

Def. mocy wydzielanej na odbiorniku

W = q V_AB dW = dq V_AB = i dt V_AB

= i V_AB = Ui = P

P = i²R - moc tracona przez elektrony

Opór między dwoma punktami przewodnika określamy za pomocą przyłożonej różnicy potencjałów U między tymi punktami
i przepływającego prądu i. R=U/i

Opór - zdolności ciała do przeciwstawiania się przepływowi prądu.

Jednostką oporu jest om [Ω]. Elektrony poruszające się w ciele uderzają w atomy i przekazują im energię, ogrzewając ciało i zużywając energię ze źródła SEM.

Opór właściwy ρ- charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru próbki.

ρ = [Ωm] σ = ρ^-1 - przewodnictwo1 właściwe

metale ρ = 10^-6 ÷ 1 Ωm

izotopy ρ = 10⁹ ÷ 10²⁰ Ωm

R = l - długość próbki, S - przekrój

j =

ρ = ρ₀[1+α(τ - τ₀)]

zal. oporu właściwego od temp. T = 0˚C, ρ₀=wart. oporu w danej temp. 0˚C, α - średni wsp. temperatury oporu właściwego

α =

Mikroskopowa teoria oporu właściwego

W nieobecności pola elektrycznego elektrony swobodne poruszają się w metalu zupełnie chaotycznie. Kiedy do metalu przyłożone jest pole elektryczne, wówczas elektrony są powoli unoszone w kierunku przeciwnym do kierunku pola ze średnią prędkością unoszenia Vu.

a =

Elektron po zderzeniu z jonem zmienia swoją prędkość do następnego zderzenia o aτ, gdzie τ to czas średni między zderzeniami.

v_u = aτ = =

ρ = - mikroskopowy odpowiednik R =

=

ρ = ρ - opór właściwy

lim ρ(T) = 0 - w idealnym materiale

lim ρ(T) = ρ₀ tzw. opór resztkowy powodowany przez defekty struktury i domieszki.

********************************************************

8. Paramagnetyzm.

Jeśli próbkę zawierającą N atomów, z których każdy ma magnetyczny moment dipolowy μ umieścimy w polu magnetycznym, elementarne dipole atomowe będą usiłowały ustawić się w kierunku zgodnym z kierunkiem pola. Ta tendencja do ustawiania się nazywa się paramagnetyzmem. Jeśli próbkę materiału paramagnetycznego umieścimy w niejednorodnym polu magnetycznym jakie np. istnieje w pobliżu bieguna silnego magnesu, będzie ona przyciągana w kierunku obszaru o większym natężeniu pola, czyli w stronę bieguna.

[rysunek]

Diamagnetyzm

Występuje w każdym ciele. Polega on na powstawaniu w całej objętości ciała niezanikających mikroskopowych wirowych prądów elektrycznych, indukowanych zewnętrznym polem magnetycznym, przy czym zgodnie z regułą Lenza pole magnetyczne tych prądów jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. W materiałach diamagnetycznych wypadkowa indukcja magnetyczna B jest mniejsza niż w próżni, tzn. B < μ₀H

B = μ₀μ_rH

Przenikalność magnetyczna diamagnetyków μ_r < 1

Przykłady: woda, kwarc, srebro, bizmut, miedź

[rysunek]

F_E = ma = mr - siła na e (lub B)

Jeżeli -e w polu magnet. (zewnętrznym) to działa dodatkowo siła magnet. prostopadle do kierunku ruchu

F_B = evB = eωrB

Dla obu kierunków obiegu mamy siły wypadkowe

F_B = F_E = mω²r

ω² ± ω - = 0 sω ≈ ± ω = ω₀ ±

Jeżeli do diamagnetyka przyłożymy B, to indukuje siły momentu magnetycznego o kierunku przeciwnym do B, np. bizmut, złoto, cynk

8a. Def. potencjału pola elektrycznego.

Potencjał - wielkość charakteryzująca pole. Jest to stosunek energii potencjalnej jaką ma ładunek w tym punkcie do wartości tego ładunku:

V = E_p = ; k =

Potencjał wyraża liczbowo wartość pracy wykonanej przeciwko siłom pola (w przypadku potencjału dodatniego) albo też wykonanej przez te siły (w przypadku potencjału ujemnego) przy przeniesieniu dodatniego ładunku jednostkowego do jego punktu.

V_B - V_A = [] = [1V]

q₀ - ład. próbny znajd. się w polu elektr. przesuwany z p. A do p. B

umowa: A → ∞ to V(∞) = 0

V_B = W_{∞ → B} =

Praca w polu elektrycznym nie zależy od drogi. Zależy tylko od położenia początkowego i końcowego.

********************************************************

9. Wektor indukcji magnet. B, prawo Biota-Savarta.

W punkcie P

B = dla B║V → F = 0.

F = q₀ V × B

│F│= q₀│V││B│sin<(V, B) F_max dla <(V, B) = 90°

[B] = [1 Tesla] F_max = q₀VB

= 1T

Wzór Lorentza F = q₀E + q₀ V × B

Prawo Biota-Savarta

dB = ⇐ dB =

po całym przedziale B = ∫ dB

[rysunek]

********************************************************

10. Efekt Halla.

Doświadczenie pozwala określić znak ładunku płynącego w przewodniku.

[rysunek]

Pasek miedziany umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B (tak, aby linie natężenia pola były prostopadłe do płaszczyzny paska). Jeżeli teraz przez płytkę przepuścimy prąd o natężeniu i, to pole magnetyczne będzie działało na pasek z siłą F(= il × B). Ponieważ siła działająca na ten pasek jest wynikiem sił (= qV × B) działających na ładunki przenoszące prąd, ładunki te (niezależnie czy są dodatnie, czy ujemne) będą odchylane w kier. działania siły powodując powstawanie różnicy potencjałów U_H między punktami x i y.

Znak płynących ładunków jest określony przez znak wytworzonej różnicy potencjałów. Jeżeli ładunki mają znak dodatni, w punkcie y potencjał będzie wyższy niż w punkcie x, jeżeli ujemny - w y będzie potencjał niższy niż w x.

qE_H + q(v_u × B) = 0 v_u - prędkość unoszenia ładunku el.

E_H = - v_u × B dla v_u ⊥ B E_H = v_uB

E_H = B R_H = 1/ne - stała Halla

E_H = R_HjB

n = - ilość ładunków

E_H = B i E_H = ; j = =

U_H = B

U_H = iB - wzór na napięcie Halla

Doświadczenie wykazuje, że w metalach nośniki prądu mają znak ujemny.

Zastosowanie: 1) hallotron (przyrząd do pomiaru indukcji magnetycznej B, stabilizacja indukcji magnetycznej B; 2) kontrola jakości metali i półprzewodników.

********************************************************

11. Cykla Carnota.

Cykl Carnota składa się z dwóch procesów izotermicznych i dwóch adibatycznych.

I rozprężenie izotermiczne do stanu p₂, V₂, T₁. Gaz pochłania ciepło Q przez podstawę cylindra.

II rozprężenie adiabatyczne przy zachowaniu temp. od T₁ do T₂ do stanu p₃, V₃, T₂. Gaz wykonuje pracę i temperatura spada do T₂.

III sprężanie izotermiczne do stanu p₄, V₄, T₂. Do zbiornika przechodzi z gazu ciepło Q₂. Pracę wykonuje tłok.

IV sprężanie adiabatyczne przy zmianie temp. od T₂ do T₁ do stanu p₁, V₁, T₁. Pracę wykonują siły zewnętrzne, temperatura gazu rośnie do T₁.

[rysunek]

η =

********************************************************

12. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

[rysunek]

Światło monochromatyczne padające na metalową płytkę A wyzwala fotoelektrony, które mogą być wykrywane jako prąd, jeżeli są przyciągane do naczynia metalowego B przy pomocy różnicy potencjałów V przyłożonej między A i B. Natężenie prądu fotoelektrycznego odczytujemy na galwanometrze G. Przy dostatecznie dużej wartości V wszystkiej elektrony emitowane są zbierane przez naczynie B.

Przy zmianie znaku V na przeciwny natężenie prądu fotoelektrycznego nie spada natychmiast do 0. Dowodzi to, że emitowane elektrony mają prędkości różne od 0. Jeżeli zwiększymy różnicę potencjałów dostatecznie, wówczas osiągniemy taką wartość V₀ (potencjał hamujący), że wartość fotoprądu spadnie do 0. Ta różnica potencjałów V₀ pomnożona przez wielkość ładunku elektrycznego jest miarą energii kinetycznej E_{k max} najszybszych elektronów.

E_{k max} = eV₀ - energia kinetyczna najszybszych elektronów.

Trzy zasadnicze cechy efektu fotoelektrycznego nie dające się wyjaśnić przy pomocy falowej teorii światła:

1. E_{k max} = eV₀ nie zależy od natężenia światła

2. efekt fotoelektryczny powinien występować dla dowolnej częstotliwości światła - jednak istnieje takie V₀, poniżej którego zjawisko nie zachodzi, niezależnie od tego jak silne będzie oświetlenie

3. jeżeli światło jest dostatecznie słabe, powinno następować pewne opóźnienie między padaniem światła na powierzchnię, a emisją fotoelektronów - co nie zachodzi

Dopiero Einstein dzięki założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w postaci skończonych porcji energii zwanych fotonami, wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne.

E = hv - energia pojedynczego fotonu

Stosując swoją koncepcję Einstein napisał:

hv = E₀ + E_{k max} - część energii fotonu E₀ elektron używa na przejście przez powierzchnię metalu. Natomiast nadmiar energii hv - E₀ elektron otrzymuje w formie energii kinetycznej.

********************************************************

13. Interferencja światła na dwóch szczelinach.

Dośw. Younga

światło
					S1
				S0
					S2

Ekran A oświetlany jest światłem słonecznym. Światło przechodzi przez otwór S₀ i rozchodzi się zgodnie z prawami dyfrakcji. Pada na ekran B i zrobione w nim otwory S₁ i S₂. Znów następuje dyfrakcja i dwie nakładające się fale kuliste rozchodzą się w przestrzeni na prawo od ekranu B. Warunek określający stosowalność optyki geometrycznej a >> λ (a - średnica otworu) nie jest tu spełniony. Na ekranach nie powstają obszary cienia geometrycznego, lecz otwory działają jak źródła rozchodzących się fal kulistych H uygensa. Mamy tu więc do czynienia z optyką falową.

Aby w punkcie P było maksimum S₁b(=dsinΘ) musi zawierać całkowitą liczbę długości fal, czyli

S₁b = kλ k = 0, 1, 2...

Aby w punkcie P było minimum S₁b(=dsinΘ) musi zawierać połówkową liczbę długości fal, czyli

S₁b = (k + ½)λ k = 0, 1, 2...

13a. Dyfrakcje na pojedynczej szczelinie *****************

Jeżeli równoległą wiązkę światła po przejściu przez wąską szczelinę skierujemy na ekran, to na ekranie powstanie obraz dyfrakcyjny w postaci pewnego środkowego max i leżących po jego obu stronach minimów i maksimów, które powstają na skutek interferencji fal ugiętych biegnących z różnych miejsc szczeliny. Środkowy pas jest jasny, bo spotykają się nam fale o zgodnych fazach. Pierwszy ciemny prążek powstaje, gdy różnica dróg wynosi parzystą wielkość λ/2. Jasny, gdy nieparzystą wielkość, np. 3λ/2

J_Θ - natężenie fali wypadkowej

J₀ - natężenie, jakie wytwarza pojedyncza fala

Natężenie J fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy

JΘ ~ E_Θ²

= ()²; E_Θ = E_mcosβ

⇓

J_Θ = 4J₀cos²β = j_mcos²β

różnica faz [2π] = różnica dróg [2π]

⇓

φ = dsinΘ oraz φ = 2β, ⇒ β = sinΘ

J_Θ = J_mcos²( sinΘ )

********************************************************

14. Światło liniowo i kołowo spolaryzowane.

Światło (jak każde promieniowanie elektromagnetyczne) jest falą poprzeczną. Fale poprzeczne mogą mieć charakterystyczną własność - są liniowo spolaryzowane, tzn. kierunki drgań wzdłuż całego promienia fali leżą w tej samej płaszczyźnie.

Metody otrzymywania światła liniowo spolaryzowanego:

1. Za pomocą płytek polaryzujących (skierowanie światła niespolaryzowanego na płytkę polaryzującą - światło po przejściu przez płytkę staje się liniowo spolaryzowanym).

Światło niespolaryzowane pada na płytkę z materiału polaryzującego (polaroid). W płytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony na rysunku liniami równoległymi. Polaroid przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań wektora elektrycznego są równoległe do kierunku polaryzacji, a pochłania te fale, dla których są one prostopadłe. Światło wychodzące jest więc liniowo spolaryzowane.

2. polaryzacja przez odbicie (dla pewnego kąta padania Θ na powierzchnię szkła światło odbite jest całkowicie spolaryzowane).

3. załamanie podwójne (dwójłomność) - w niektórych kryształach (np. kalcyt) padająca na nie wiązka światła dzieli się na dwie spolaryzowane w kierunku wzajemnie prostopadłym.

Światło kołowo spolaryzowane

Niech światło spolaryzowane liniowo o częstości kołowej ω(=2πν) pada ⊥ na płytkę kalcytu wyciętą tak, że jej oś optyczna jest równoległa do powierzchni. Dwie fale wychodzące będą spolaryzowane liniowo w kierunku ⊥ względem siebie. Jeśli płaszczyzna drgań światła padającego tworzy kąt 45° z osią optyczną to fale będą miały równe amplitudy. Po wyjściu z płytki fale będą się różnić w fazie o φ (bo biegną przez kryształ z różnymi prędkościami). Jeżeli grubość płytki dla danej częstości światła dobierzemy tak, że

φ = 90˚ to światło wychodzące z niej będzie spolaryzowane kołowo.

[rysunek]

********************************************************

15. Prędkość fazowa i grupowa.

Prędkość fazowa to inaczej prędkość fali. Dla fali biegnącej w prawo: y = f(x - Vt)

dla fali biegnącej w lewo: y = f(x + Vt)

dla wybranej fali biegnącej w prawo żądamy aby

x - Vt = const.

Różniczkowanie względem czasu daje:

- V_f = 0 → = V_f

co oznacza że V_f jest prędkością fazową fali. Dla fali biegnącej w lewo otrzymamy: -V_f

Jest to prędkość poruszania się konfiguracji pola elektromagnetycznego np. w falowodzie. V_f Nie jest bezpośrednio mierzalna. Konfiguracje falowe powtarzają się i nie ma sposobu odróżnienia jednego maksimum fali od drugiego. Możemy na fali umieścić sygnał przez kształtowe zwiększenie mocy generatora. Prędkość grupowa jest prędkością z jaką następuje przesłanie energii, a więc prędkość sygnału.

V_f = V_gr = c

λ =

λ_g = = = λ λ_g =

a - szerokość falowodu

λ - dł. fali w próżni

Zauważamy że dla a → nieskończoności V_f = V_g = c

********************************************************

16. RÓWNANIA MAXWELLA.

1. Prawo Gaussa dla elektryczności

Dot. Ładunku pola elektrycznego.

Ładunki jednoimienne odpychają się, a ładunki różnoimienne przyciągają się z siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku przemieszcza się w kierunku jego powierzchni zewnętrznej.

ε_o∫Eds = q ε_odivE = ς

ε_o - przenikalność elektryczna próżni

E - natężenie pola elektrycznego

ds - element powierzchni

q - ładunek elementarny ς - gęstość ładunku

można wyliczyć: E, q (jeśli E znane we wszystkich punktach danej powierzchni zamkniętej).

2. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Dot. Pola magnetycznego.

Dotychczas nie stwierdzono odosobnionego bieguna magnetycznego.

∫Bds = 0 divB = 0

B - indukcja magnetyczna

ds - element powierzchni

3. Prawo indukcji Faraday'a

Dot. Efektu elektrycznego zmieniającego się pola magnetycznego.

Sztabka magnetyczna przesuwana przez zamknięty obwód powoduje powstanie prądu w tym obwodzie.

∫Edl = - rotE = -

E - natężenie pola elektrycznego

dl -

Φ_B -

4. Prawo Ampere'a

Dot. Efektu magnet. zmieniającego się pola elektrycznego lub prądu.

Prędkość światła można wyliczyć z pomiarów czysto elektromagnetycznych. Prąd płynący w przewodniku wytwarza wokół siebie pole magnetyczne.

∫Bdl = μ₀(ε₀ + i) rotB = μ₀j + μ₀ε₀

B - indukcja magnetyczna

dl -

μ₀ - przenikalność magnetyczna

ε_o - przenikalność elektryczna próżni

Φ_B -

i - prąd

j - gęstość prądu

E - natężenie pola elektrycznego

Równanie falowe dla fal elektromagnetycznych

W próżni j = 0 ς = 0

rotE = - divB = 0

rotB = μ₀j + μ₀ε₀ divE = 0

rot(rotE) = - rot = - rotB = - ( μ₀ε₀) = - μ₀ε₀

rot(rotE) = -∇²E + grad divE = -∇²E

∇²E = μ₀ε₀

∇² = + +

+ + = μ₀ε₀

analogicznie μ₀ε₀ = prędkość fali

∇²B = μ₀ε₀ V = c liczbowo

E_y = f(x - ct) + y(x + ct) hipoteza Maxwella: światło jest

falą elektrom.

fale poprzeczne E i B są ⊥ do kier.

W szczególności może być rozchodzenia się fali

E_y = E₀ sin(kx - ωt) = E₀ sin[k[x - t)] = V_f

********************************************************

17. Ruch Harmoniczny.

Ruchem który powtarza się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem harmonicznym. Poruszające się cząstki w ruchu harmonicznym możemy zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus
i cosinus. Ponieważ te funkcje nazywamy harmonicznymi to ruch periodyczny nazywamy często ruchem harmonicznym.

F = - kx

F = ma ⇒ m = - kx

+ kx = 0

+ ωx =

x(t) = Asin(ω₀t + ϕ)

V(t) = = Aω₀cos(ω₀t + ϕ)

a(t) = = -Aω₀sin(ω₀t + ϕ)

Wahadło matematyczne

[rysunek]

G = mg

G' = Gcosα

G'' = Gsinα

Ruch powoduje jedynie składowa G'', więc równanie ruchu:
ma = -mgsinα (minus ponieważ α jest liczony w kierunku przeciwnym niż a). Dla małych α (poniżej 3^o) sinα ≈ tgα

tgα = s/l, więc równanie przyjmuje postać:

a = -g oraz a =

ponieważ a = -ω²s, to ω² = = = ω =

więc T = 2π

Wahadło Foucault

Ciężarek rozwieszony na dość dużym drucie. Drut jest w górnym punkcie mocowany przegubowo (przegub Cardana) tak, że może ono wykonywać swobodnie ruch wahadłowy w każdym kierunku. Jeśli wahadło to wprowadzimy w ruch wahadłowy, wtedy płaszczyzna wahań powoli obraca się względem linii narysowanej na podłodze, chociaż siła napięcia linki podtrzymującej ciężarek oraz działające nań przyciąganie grawitacyjne leżą w płaszczyźnie pionowej. Zjawisko to jest rezultatem tego, że Ziemia nie jest inercjalnym układem odniesienia. Płaszczyzna wahań takiego wahadła nie zmienia się pomimo, iż Ziemia obraca się dokoła własnej osi. Jako płaszczyznę wahań przyjmujemy płaszczyznę wzdłuż południka północ - południe. Prędkość kątowa płaszczyzny wahań względem Ziemi uzależniona jest od szerokości geograficznej. Dla bieguna ω = ω₀, a dla równika ω = 0, gdzie ω - prędkość kątowa płaszczyzny wahań względem Ziemi, ω₀ - prędkość kątowa Ziemi

ω₀ = = = [rysunek]

ω = ω₀cos(90^o - ϕ) = ω₀sinϕ

Okres obrotu płaszczyzny wahadła znajdującego się na szerokości 0 wynosi: (24/sin0)h. Na równiku: ω = ω₀sin(π/2) = 0

********************************************************

18. Oscylator harmoniczny.

ε(t) = ε_m cosω''t

ε = L - = Ri +

ε(t) = L + Ri + ; i =

i = = cos(ω''t - φ) = i_m cos(ω''t - φ)

Rezonans:

Częstość drgań wymuszających jest równa częstości drgań własnych układu:

I_m = =

i_m będzie max gdy: ω''L =

Dla rezonansu (ω''= ω) amplituda drgań prądu jest określona wielkością oporu co wynika z podstawienia ω''= do równania na i_m czyli i_m = ε_m/R występuje wówczas rezonans prądowy.

Warunek rezonansu ω''= max wartość prądu i występuje wówczas, gdy częstość ω jest równa ω₀

********************************************************

18. Prawo Coulomba

Siły, z jakimi dwa ładunki punktowe oddziałują na siebie, są proporcjonalne do iloczynu wielkości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między nimi.

F = k , gdzie k = ε₀ - przenikalność elektryczna próżni

Prawo Coulomba zastosowane zostało w fizyce kwantowej do opisu: 1) sił elektrycznych wiążących jądro atomu i elektrony

2) sił wiążących atomy w cząsteczki

3) sił wiążących atomy lub cząsteczki w ciałach stałych i cieczach

Natężenie pola E w danym punkcje określamy jako stosunek siły F działającej na bardzo mały ładunek próbny q do wielkości tego ładunku (E = F/q).

Zasada zachowania ładunku: suma wszystkich dodatnich i ujemnych ładunków we wszechświecie nie zmienia się.

Zasada superpozycji: pole elektryczne w danym punkcie wynikające z oddzielnych ładunków jest sumą wektorową pól pochodzących od poszczególnych rozkładów.

E = E₁+E₂+E₃+...+E_n = ΣE_n n = 1,2,3,...

********************************************************

19. Ruch falowy.

Prędkość fazowa to inaczej prędkość fali.

Dla fali biegnącej w prawo: y = f(x - Vt)

dla fali biegnącej w lewo: y = f(x + Vt)

dla wybranej fali biegnącej w prawo żądamy aby

x - Vt = const.

Różniczkowanie względem czasu daje:

- V = 0 → = V

co oznacza że V jest prędkością fazową fali. Dla fali biegnącej w lewo otrzymamy: -V

prędkość fazowa V_F jest prędkością poruszania się konfiguracji pola. Nie jest ona bezpośrednio mierzalna. Konfiguracje falowe powtarzają się i nie ma sposobu odróżnienia jednego maksimum fali od drugiego. Możemy na fali umieścić sygnał przez kształtowe zwiększenie mocy generatora. Prędkość sygnału jest prędkością z jaką następuje przesłanie energii, a więc prędkość grupową.

V_f = V_g = c

λ =

λ_g = = = λ λ_g =

a - szerokość falowodu

λ - dł. fali w próżni

Zauważamy że dla a → nieskończoności V_f = V_g = c

********************************************************

20. Mechanika płynów

Prawo Bernouliego dla cieczy

[rysunek]

W = F₁Δl₁ - F₂Δl₂

p =

W = p₁Δs₁v₁Δt - p₂Δs₂v₂Δt = + Δmgh₂ - - Δmgh₁

p₁Δs₁v₁Δt + + Δmgh₁ = p₂Δs₂v₂Δt + + Δmgh₂

v₁ = v₂ = v

= ζ

p₁ + 0,5ζv + ζgh₁ = p₂ - 0,5ζv + ζgh₂

p + + ζgh = const - prawo Bernouliego

M = ps₁v₁ΔtV₁

p = mv

p₁ = ps₁v₁ΔtV₁; p₂=ps₂v₂ΔtV₂

F = ma a = p = mv

F = → F =

F ≅ = v₁ ≈ v₂ = v s₁ ≈ s₂ = s

F = psv(V₂ - V₁) siła reakcji

Siła reakcji zależy od prędkości.

s₁≈ s₂ = s v₁ ~ v₂ = v

Siła F działa na ciecz a pochodzi od ścianki rury. Z taką samą siłą działa ciecz na ścianki rury.

Reakcja strugi.

Rysunek

m = ps₁v₁Δt

p = mv

p₁ = ps₁v₁ΔtV₁ p₂ = ps₂v₂ΔtV₂

F = ma a = p = mv

F = z tego F =

F ≅ = v₁ ≈ v₂ = v s₁ ≈ s₂ = s

F = psv(V₂ - V₁)

F to jest siła reakcji

********************************************************

22 RÓWNANIE VAN DER WAALSA.

Oddziaływania między cząsteczkowe oraz skończone cząsteczek zostały częściowo uwzględnione w równaniu stanu gazu nazwanym równaniem Van der Waalsa. Równanie to dla 1 kilomola gazu ma postać:

(p + )(V - b) = RT v = - tj obj. molowa

Stałe a i b są różne dla różnych gazów (zależą od właściwości cząstek). Stałą b interpretujemy jako objętość zajmowaną przez cząsteczki, stała a wiąże się z siłami oddziaływania. Gdy obj. jest bardzo duża, równanie Van.. przechdzi w równanie stanu gazu doskonałego

1. obszar współistnienia cieczy i pary wodnej.

2. Układ zaczyna się skraplać.

(pk, Vk) - punkt krytyczny

rysunek

********************************************************

23. WŁASNOŚCI PROMIENIOWANIA CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO.

C.d.cz. to idealne ciało puste wewnątrz z wywierconymi małymi otworami. Ciało to może świecić gdy rozgrzejemy go do temp topnienia platyny 2142K. Promieniowanie wychodzące z wnętrza jest zawsze większe niż promieniowanie ścian zewnętrznych.

Wzór Plancka:

E = nh_ν

C₁ = 2πc²h C₂ =

k- stała Boltzmana

Prawo Stefana-Boltzmana:

Emisja energetyczna promieniowania wnętrza c.d.cz. wyraża się jako: R_c = kT⁴

Emisja energetyczna dla zewnętrznych powierzchni zmienia się w bardziej skomplikowany sposób R = eR_c = ekT⁴

Gdzie e jest wielkością zależną od rodzaju substancji i temperatury.

---