Dynamika, Budownictwo, Mechanika, Dynamika


Dynamika punktu materialnego

Dynamika zajmuje się badaniem związku pomiędzy siłami działającymi na dany obiekt a ruchem tego obiektu.

Podstawą dynamiki punktu materialnego jest drugie prawo Newtona

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- jest siłą działająca na punkt w danej chwili,

0x01 graphic
- jest przyspieszeniem tego punktu w tejże chwili względem inercjalnego układu odniesienia,

a 0x01 graphic
- jest masą tego punktu, o której zakładamy, że jest niezmienną względem czasu.

Na ogół siła 0x01 graphic
działająca na punkt zależy zarówno od położenia tego punktu jak i jego prędkości.

Inercjalny układ odniesienia? Mając na uwadze względność przyspieszenia punktu nie można się spodziewać, że tak sformułowane drugie prawo Newtona będzie spełnione w każdym układzie odniesienia. Wybór układu odniesienia zależy od rodzaju rozpatrywanego zagadnienia. W zagadnieniach dynamiki w otoczeniu Ziemi, jako układ inercjalny przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Ziemi. W zagadnieniach podróży międzyplanetarnych jako układ odniesienia przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Słońca, itd.

Zasada zachowania pędu punktu materialnego

Pędem punktu materialnego w danej chwili nazywamy wyrażenie

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
- jest prędkością rozpatrywanego punktu materialnego w tejże chwili.

Pamiętając, że

0x01 graphic

i korzystając z założenia stałości masy, możemy drugie prawo Newtona przedstawić w postaci

0x01 graphic

co po scałkowaniu względem czasu w przedziale 0x01 graphic
daje

0x01 graphic
.

Wyrażenie 0x01 graphic
bywa nazywanie popędem siły 0x01 graphic
w przedziale czasowym 0x01 graphic
.

Zasada zachowania krętu punktu materialnego

Krętem (momentem pędu) punktu materialnego względem nieruchomego punktu A w danej chwili nazywamy wyrażenie

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
- jest wektorem położenia rozpatrywanego punktu materialnego względem punktu A w tejże chwili.

Mnożąc wektorowo zasadę zachowania pędu

0x01 graphic

przez 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
.

Ale korzystając z reguły Leibnitza i właściwości iloczynu wektorowego mamy

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

Wykazaliśmy, zatem, że prędkość zmian krętu względem punktu nieruchomego równa jest momentowi siły względem tego punktu.

Po scałkowaniu względem czasu w przedziale 0x01 graphic
daje to

0x01 graphic
.

Zasada zachowania energii kinetycznej punktu materialnego

Energią kinetyczną punktu materialnego nazywamy wyrażenie

0x01 graphic

Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy

0x01 graphic

Prawa strona 0x01 graphic
jest nazywana mocą siły 0x01 graphic
w danej chwili.

Po scałkowaniu względem czasu w przedziale 0x01 graphic
daje to

0x01 graphic

Prawa strona 0x01 graphic
jest nazywana pracą siły 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
.

Zasada zachowania energii potencjalnej punktu materialnego

Z teorii całki krzywoliniowej wiadomo, że w przypadku, gdy siła 0x01 graphic
działająca na rozpatrywany punkt materialny zależy wyłącznie od położenia tego punktu i w taki sposób, że dla dowolnej krzywej łączącej dwa dowolne punkty A, B całka krzywoliniowa

0x01 graphic

nie zależy od drogi całkowania to możemy zdefiniować funkcję 0x01 graphic
taką, że

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Wtedy taką funkcję 0x01 graphic
nazywamy potencjałem pola sił 0x01 graphic
, a wyrażenie

0x01 graphic

nazywamy energią potencjalną punktu materialnego.

Zakładając, że rozpatrywany punkt materialny znajduje się w polu sił potencjalnych oraz różniczkując energię potencjalną względem czasu otrzymujemy

0x01 graphic
.

Pochodną potencjału pola sił możemy obliczyć na zasadzie różniczkowania funkcji złożonej otrzymując

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic

Uwaga! Z teorii całki krzywoliniowej wynika również, że potencjalne pole sił spełnia warunek 0x01 graphic
i odwrotnie, jeżeli w obszarze jednospójnym pole sił spełnia warunek 0x01 graphic
to w tym obszarze jest ono potencjalne.

Przypadki szczególne równań ruchu punktu materialnego

Z punktu widzenia matematyki można prawa dynamiki punktu materialnego traktować jako układ zwyczajnych równań różniczkowych

0x01 graphic
, 0x01 graphic

względem nieznanych funkcji prędkości 0x01 graphic
oraz położenia 0x01 graphic
. Dla kompletności sformułowania problemu należy określić również warunki początkowe prędkości

0x01 graphic

i położenia

0x01 graphic
.

Na ogół zagadnienie takie nie posiada rozwiązań analitycznych i trzeba ich poszukiwać metodami numerycznymi. W szczególnych przypadkach budowy funkcji 0x01 graphic
rozwiązania analityczne mogą istnieć.

Siła jako znana funkcja czasu

Zakładamy, że 0x01 graphic
zależy od czasu w zadany sposób. Wtedy równanie ruchu punktu materialnego

0x01 graphic

scałkowane względem czasu w przedziale 0x01 graphic
daje

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza początkową wartość prędkości. Całkując następnie definicję prędkości

0x01 graphic

względem czasu w przedziale 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
oznacza początkową wartość położenia rozpatrywanego punktu.

Zauważmy, że otrzymaną całkę dwukrotną można przekształcić na jednokrotną używając metody całkowania przez części

0x01 graphic

Zatem rozwiązanie równań ruchu w rozpatrywanym przypadku ma postać.

0x01 graphic

Widać, że do rozwiązania potrzebujemy warunków początkowych na położenie 0x01 graphic
oraz prędkość 0x01 graphic
.

Rzut ukośny

W przypadku szczególnym ruchu punktu w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi zakładamy, że

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest wektorem przyśpieszenia ziemskiego. Wtedy rozwiązanie równań ruchu punktu przyjmuje postać

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Rzut ukośny z uwzględnieniem oporu powietrza

Dla małych prędkości ruchu dobrym przybliżeniem zagadnienia jest założenie liniowości oporu powietrza względem prędkości. Wtedy przyjmujemy następujące wyrażenie dla siły działającej na punkt

0x01 graphic

i druga zasada dynamiki przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Jest to niesprzężony układ 3 zwyczajnych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic
.

Rozwiązanie szczególne znajdziemy metodą Cauchy

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest rozwiązaniem równania jednorodnego, tzn.

0x01 graphic

spełniającym następujące warunki początkowe

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic

Z twierdzenia o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania wynika, że dla rozwiązania szczególnego mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

czyli lewa strona rozpatrywanego równania różniczkowego wynosi

0x01 graphic
.

Zatem rozwiązanie szczególne wg. metody Cauchy spełnia rozważane równania różniczkowe z jednorodnymi warunkami początkowymi

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem rozwiazanie rozpatrywanego przypadku drugiego prawa Newtona ma postać

0x01 graphic
.

Do rozpatrzenia pozostały jeszcze warunki poczatkowe

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Proste obliczenia dają natępujące wyniki

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Korzystają z założenia stałości grawitacji otrzymujemy

0x01 graphic
.

Z własności funkcji wykładniczej wynika, że dla dużych wartości czasu 0x01 graphic
, a prędkość zbliża się do wartości 0x01 graphic
.

Drgania własne punktu materialnego

Załóżmy, że siła działajaca na punkt jest potencjalna i zależy liniowo od wychylenia punktu z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są parametrami sprężystości podparcia punktu materialnego.

Dla składowej x wychylenia punktu mamy nastepujące równanie ruchu

0x01 graphic
.

Jego rozwiązanie ogólne ma postać

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
.

Dla składowej x prędkości mamy zatem

0x01 graphic
.

Z warunków początkowych

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

obliczamy stałe całkowania

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Ostatecznie otrzymujemy

0x01 graphic
.

Dla pozostałych składowych wychylenia jest analogicznie

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Drgania własne tłumione punktu materialnego

Załóżmy, że dodatkowo na punkt działa siła oporu proporcjonalna do prędkości wychylenia z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest parametrem tłumieniem. Druga zasada dynamiki ma zatem postać

0x01 graphic

co po uporządkowaniu daje następujące

0x01 graphic

jednorodne liniowe równanie różniczkowe 2go rzędu o stałych współczynnikach. Jego rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczych 0x01 graphic
z parametrem 0x01 graphic
spełniającym nastepujące równanie charakterystyczne

0x01 graphic

Jego pierwiastki zależą od wyróżnika 0x01 graphic
. W przypadku tzw. dużego tłumienia 0x01 graphic
wyróżnik jest dodatni

0x01 graphic

i oba pierwiastki są liczbami ujemnymi

0x01 graphic
0x01 graphic

a rozwiązanie równaia ruchu można przedstawić w postaci

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków poczatkowych

0x01 graphic
, 0x01 graphic

otrzymując

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

W przypadku tzw. tłumienia krytycznego 0x01 graphic
równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny

0x01 graphic

i rozwiazanie przyjmuje postać

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków poczatkowych

0x01 graphic
, 0x01 graphic

otrzymując

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

W przypadku tzw. małego tłumienia 0x01 graphic
równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic
, 0x01 graphic

sąliczbami dodatnimi. Wtedy

0x01 graphic
0x01 graphic

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków poczatkowych

0x01 graphic
0x01 graphic

otrzymując

0x01 graphic
0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
.

Drgania wymuszone punktu materialnego

Załóżmy, że dodatkowo na punkt działa harmoniczna siła wymuszająca o amplitudzie 0x01 graphic
i częstości 0x01 graphic
. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest parametrem tłumieniem. Druga zasada dynamiki ma zatem postać

0x01 graphic

co po uporządkowaniu daje następujące

0x01 graphic

niejednorodne liniowe równanie różniczkowe 2go rzędu o stałych współczynnikach. Jego rozwiązania poszukujemy w postaci sumy 0x01 graphic
rozwiązania ogólnego równania jednorodnego 0x01 graphic
i rozwiązania szczególnego 0x01 graphic
równania niejednorodnego. Rozwiązanie ogólne rozpatrzyliśmy w poprzednim paragrafie. Rozwiązanie szczególne znajdujemy metodą Cauchy

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest rozwiązaniem równania jednorodnego, tzn.

0x01 graphic

spełniającym następujące warunki początkowe

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zauważmy, że rozwiązanie dla funkcji 0x01 graphic
możemy również wziąć z poprzedniego paragrafu.

W przypadku dużego tłumienia 0x01 graphic
z poprzedniego paragrafu znajdujemy

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

gdzie

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Całkowanie we wzorze Cauchy daje następująca postać rozwiązania szczególnego

0x01 graphic

Z ujemności pierwiastków równanie charakterystycznego wynika, że dla dużych wartości czasu równanie drgań ma postać

0x01 graphic

W przypadku tłumienia krytycznego 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic
.

Dla rozwiązania szczególnego otrzymujemy wtedy

0x01 graphic

Dla dużych wartości czasu równanie drgań przyjmuje postać

0x01 graphic

W przypadku małego tłumienia 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Dla rozwiązania szczególnego otrzymujemy wtedy

0x01 graphic

Dla dużych wartości czasu równanie drgań przyjmuje postać

0x01 graphic

W przypadku braku tłumienia 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
.

W przypadku nierezonansowego wymuszenia

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
.

w przypadku rezonansu, tzn. gdy 0x01 graphic
.

Punkt materialny w polu sił centralnych

Załóżmy, że linia działania siły działajacej w dowolnym punkcie pola potencjalnego przechodzi przez stały punkt, zwany środkiem pola. Zatem, jeżeli przyjąć środek pola jako zero układu współrzędnych to w każdym punkcie 0x01 graphic
pola siła w nim działająca 0x01 graphic
jest równoległa do 0x01 graphic
. Wnioskujemy stąd, że w centalnym polu sił moment siły wzgledem środka pola jest zawsze równy zero, a kręt punktu materialnego względem środka pola jest stały względem czasu.

W przypadku prędkości początkowej 0x01 graphic
równoległej do położenia początkowego 0x01 graphic
kręt jest zatem zawsze równy zeru i ruch punktu odbywa sie po prostej będącej przedłużeniem 0x01 graphic
.

W przypadku prędkości początkowej 0x01 graphic
nierównoległej do położenia początkowego 0x01 graphic
kręt jest zatem zawsze równy 0x01 graphic
i ruch punktu odbywa sie w płaszczyźnie prostopadłej do krętu, czyli w płaszczyźnie wyznaczonej przez prędkość początkową 0x01 graphic
i położenie początkowe 0x01 graphic
.

W takim przypadku wygodniej jest rozpatrywać ruch punktu w układzie współrzędnych biegunowych 0x01 graphic
.

Różniczkowanie wzgledem czasu daje następujące wzory na składowe prędkości i przyśpieszenia w prostokątnym układzie współrzędnych

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Przeliczając je na składowe biegunowe otrzymujemy

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Z centralności rozpatrywanego pola wynika ponadto, że gradient jego potencjału jest wszędzie skierowany do lub od środka pola, a zatem pole i w konsekwencji siła zależą wyłącznie od odległości od środka pola. Możemy zatem rozważane równania ruchu przedstawić w nastepującej postaci

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z drugiego równania wynika

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest stałą całkowania równą

0x01 graphic

z warunków początkowych.

Niech

0x01 graphic

bedzie równaniem toru punktu. Zatem z reguły różniczkowania funkcji złożonej

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie ' oznacza pochodną względem kąta 0x01 graphic
. Pierwsze równanie ruchu (0x01 graphic
) przyjmuje wtedy postać

0x01 graphic

którą należy rozumieć jako różniczkowe równanie toru.

Rozwiązanie równania toru zależy od budowy potencjału rozpatrywanego pola sił.

Punkt materialny w polu grawitacyjnym

Załózmy dodatkowo, że siła działająca na punkt jest dana wzorem

0x01 graphic

gdzie k jest stałą grawitacyjną, a M jest dużą masą wytwarzającą rozpatrywane pole grawitacyjne. Wówczas równanie toru przyjmuje postać

0x01 graphic

Jest to niejednorodne liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Jego rozwiązanie ma postać

0x01 graphic

albo równoważnie

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są stałymi całkowania do wyznaczenia z warunków początkowych. Przyjmijmy układ wspołrzędnych tak aby początkowa wartość kąta 0x01 graphic
była zerowa. Zatem z warunku początkowej wartości odległości od środka pola znajdujemy

0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic

Dla wyznaczenia stałej 0x01 graphic
rozpatrzymy początkową wartość prędkości oddalania się punktu od środka pola

0x01 graphic

bo

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

W zależności od warunków początkowych tor może być elipsą, parabolą bądź hiperbolą.

Aby znaleźć równanie ruchu punktu należy rozwiązać równanie

0x01 graphic
.

Z twiedzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wynika

0x01 graphic

co daje nastepujące wyrażenie na funkcję odwrotną do poszukiwanej

0x01 graphic
.

Funkcja odwrotna ma przedstawienie analityczne, niestety zbyt długie do prezentacji w niniejszych materiałach.

Dynamika punktu materialnego z więzami

Więzy są ograniczeniami możliwości poruszania się punktu. Np. dopuszczamy tylko takie równania ruchu punktu 0x01 graphic
, które spełniają warunek

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest równaniem więzu, np. równaniem powierzchni po której porusza się punkt.

Więzy typu 0x01 graphic
nazywamy dwustronnymi dla odróżnienia od więzów jednostronnych dla których warunek więzu formułujemy w postaci

0x01 graphic
.

Jeżeli funkcja więzu 0x01 graphic
nie zależy explicite od czasu to więzy nazywamy stacjonarnymi dla odróżnienia od więzów niestacjonarnych np. dla przypadku punktu poruszającego sie po ruchomej powierzchni.

Wiezy ograniczające położenie nazywamy geometrycznymi.

W prawach dynamiki działanie więzu jest skojarzone z reakcją więzu. Reakcja więzu jest nieznana i należy ją wyznaczyć z praw dynamiki. W przypadku dynamiki punktu materialnego z więzami drugie prawo dynamiki przyjmuje postać

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest reakcją więzu w chwili t.

Więzy nazywamy idealnymi, jeżeli dla każdego ruchu zgodnego z warunkiem więzu praca reakcji więzu 0x01 graphic
jest zerowa. Łatwo można udowodnić, że w przypadku więzu idealnego postaci 0x01 graphic
, reakcja więzu 0x01 graphic
musi być równoległa do gradientu fukcji 0x01 graphic
. Istotnie, różniczkując warunek więzu 0x01 graphic
po czasie wnioskujemy, że dla dowolnego ruchu zgodnego z więzami prędkość 0x01 graphic
musi spełniać warunek

0x01 graphic

czyli musi być prostopadła do gradientu funkcji więzu. Zgodnie z definicją więzu idealnego dla każdego takiego ruchu musi zachodzić 0x01 graphic
, czyli reakcja musi być prostopadła do prędkości. Skoro tak, to reakcja więzu musi być równoległa do gradientu.

Interpretując równanie więzu jako równanie powierzchni po której purusza się punkt mamy więc konkluzję, że reakcja więzu idealnego jest prostopadła do tej powierzchni.

Punkt poruszający się po powierzchni z tarciem Coulomba

Rozpatrzmy zagadnienie dynamiki punktu poruszającego się po powierzchni danej równaniem

0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oznacza odpowiednio składowe normalną i styczną reakcji więzu. Zatem

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest wartością algebraiczną składowej normalnej reakcji a

0x01 graphic

jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni.

Prawo tarcia sformułujemy w postaci

0x01 graphic

czyli siła tarcia ma kierunek prędkości, zwrot przeciwny, a co do wartości bezwzględnej jest równa 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest współczynnikiem tarcia.

Rozpatrywane zagadnienie sprowadza się więc do rozwiązania następującego układu równań

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

z warunkami początkowymi

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zauważmy, że z warunku więzów wynika

0x01 graphic

co zróżniczkowane po czasie daje następujące wyrażenie na przyśpieszenie normalne

0x01 graphic
.

Z drugiej strony rzutowanie drugiej zasady dynamiki na kierunek normalny daje

0x01 graphic

skąd wynika

0x01 graphic

Zatem otrzymany układ równań podpada pod przypadek sił zależnych od prędkości.

Dynamika układu punktów materialnych

Rozpatrujemy zagadnienie dynamiki układu wzajemnie oddziałujących N punktów materialnych o masach 0x01 graphic
. Wprowadzimy następujące oznaczenia

0x01 graphic
- wektor położenia punktu i w chwili t.

0x01 graphic
- wektor prędkości punktu i w chwili t.

0x01 graphic
- wektor przyśpieszenia punktu i w chwili t.

0x01 graphic
- wektor położenia punktu i względem punktu j w chwili t.

Zakładamy, że w każdej chwili t dowolny punkt j oddziałuje na każdy inny punkt i siłą 0x01 graphic
spełniającą następujące założenia:

1. Oddziaływania są wzajemne tzn., że 0x01 graphic
.

2. Oddziaływania są centralne tzn., że wektor 0x01 graphic
jest równoległy do 0x01 graphic
.

3. Oddziaływania są potencjalne, tzn., że dla każdej pary punktów i,j istnieje potencjał ich wzajemnego oddziaływania 0x01 graphic
taki, że

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z założenia wzajemności oddziaływań wynika, że 0x01 graphic
.

Z założenia centralności wynika, że potencjał oddziaływania punktu j na punkt i zależy tylko od wzajemnej odległości tych punktów, tzn. 0x01 graphic
i w konsekwencji

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
.

W przypadku szczególnym oddziaływań grawitacyjnych potencjał oddziaływań wyraża się wzorem

0x01 graphic
.

Drugie prawo Newtona dla i-tego punktu materialnego przyjmujemy w postaci

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- jest tzw. siłą zewnętrzną działająca na punkt i w danej chwili.

Zasada zachowania pędu układu punktów materialnych

Pędem układu punktów materialnych w danej chwili nazywamy wyrażenie

0x01 graphic
.

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla układu punktów materialnych obliczamy

0x01 graphic
.

Wyrażenie 0x01 graphic
jest sumą wszystkich oddziaływań wewnętrznych układu. Stanowi ono sumę wszystkich pozaprzekątniowych wyrazów macierzy 0x01 graphic
. Obliczmy tę sumę rozbijając ją na sumę wyrazów powyżej głównej przekątnej liczoną wierszami i sumę wyrazów poniżej głównej przekątnej liczoną kolumnami.

0x01 graphic

Ale wobec wzajemności oddziaływań mamy

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

co oznacza, że wektor główny układu sił zewnętrznych działających na rozpatrywany układ punktów materialnych równy prędkości zmian pędu układu.

Zasada zachowania krętu układu punktów materialnych

Krętem (momentem pędu) układu punktów materialnych względem początku układu współrzędnych w danej chwili nazywamy wyrażenie

0x01 graphic

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla układu punktów materialnych obliczamy

0x01 graphic

Podobnie do przypadku analizy pędu układu obliczamy sumę 0x01 graphic
wierszami powyżej głównej przekątnej i kolumnami poniżej otrzymując

0x01 graphic
.

Wobec wzajemności oddziaływań

0x01 graphic

oraz ich centralności

0x01 graphic
.

Ostatecznie

0x01 graphic
.

co oznacza, że moment główny układu sił zewnętrznych działających na rozpatrywany układ punktów materialnych równy prędkości zmian krętu układu.

Zasada zachowania energii układu punktów materialnych

Energią układu punktów materialnych nazywamy wyrażenie

0x01 graphic
.

Zauważmy, że wobec symetrii 0x01 graphic
wyrażenie 0x01 graphic
- reprezentujące całkowity potencjał oddziaływań wewnętrznych układu - można przedstawić w postaci

0x01 graphic
.

Obliczając jego pochodną czasową z wykorzystaniem wzajemności oddziaływań otrzymujemy

0x01 graphic

Zatem prędkość zmian energii układu wynosi

0x01 graphic

co wobec drugiej zasady dynamiki prowadzi do zależności

0x01 graphic

oznaczającej, że prędkość zmian energii układu punktów materialnych jest równa mocy sił zewnętrznych działających na układ.

Zasada zachowania energii potencjalnej układu punktów materialnych

Jeżeli założyć, że każda z sił zewnętrznych 0x01 graphic
ma potencjał 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic
,

to można zdefiniować energię potencjalną układu punktów przy pomocy wyrażenia

0x01 graphic

Wtedy otrzymujemy wynik

0x01 graphic

co oznacza, że w rozpatrywanym przypadku energia potencjalna układu punktów jest stała względem czasu.

Środek masy układu punktów materialnych

Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt 0x01 graphic
dany wektorem położenia

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest łączną masą rozpatrywanego układu. Różniczkując definicję środka masy względem czasu i mnożąc ją przez łączną masę układu otrzymujemy następujący wniosek

0x01 graphic

co po podstawieniu do zasady zachowania pędu prowadzi do równania

0x01 graphic
.

Widzimy więc, że pęd układu jest równy pędowi środka masy, a sam środek masy zachowuje się jak zwykły punkt materialny o masie M pod działaniem łącznej siły zewnętrznej.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Term-3R, Budownictwo, Mechanika, Dynamika
Term-1R, Budownictwo, Mechanika, Dynamika
str tyt, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, gruntki, materiały, mechanika od Piotrka, Mechan
mech teoria, Budownictwo, mechanika, mechanika 1
mg7, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, Nowy folder, Mechanika gruntów, mechanika gruntów
oznaczenie wskaźnika wodoprzepuszczalności, Budownictwo, mechanika gruntów, laborki
nr paska, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, gruntki, materiały, Mechanika gruntów, projekt
Ściąga Z Mechaniki, Studia - Budownictwo, Mechanika ogólna
Mechanika Budowli - Linie wpływu, BUDOWNICTWO, Mechanika budowli
projekt 1 - okładka, BUDOWNICTWO, Mechanika, Mechanika Budowli, rms, Projekt 1 - Metoda Przemieszcze
Spr. MG cw 2, Budownictwo, mechanika gruntów
Ściąga kolokwium wykładowe2, Prywatne, Budownictwo, Mechanika Ogólna II
GRUNT1, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, Nowy folder, Mechanika gruntów, mechanika gruntów
Mechanika gruntów, Budownictwo, mechanika gruntów

więcej podobnych podstron