Kolokwium Nr 1 z Dynamiki

1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla punktu materialnego.

Jeżeli punkt materialny porusza się pod działeniem potencjalnego pola sił, tzn. siła
spełnia warunek
dla potencjału j zależnego wyłącznie od położenia punktu, to energia potencjalna tego punktu materialnego
jest stała względem czasu.

2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.

Odp.: Tak, bo
dla
.

3. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.

Odp.: Tak, bo
dla
.

Uwaga: Potencjał jest funkcją o wartościach rzeczywistych tyle, że wielu zmiennych. W powyższych przykładach dwu zmiennych.

4. Prowadnica pozioma obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
.

Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy.

Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.

Odp.:
. Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że rzut na oś x drugiego prawa Newtona przyjmuje postać
.

Z zasad ruchu złożonego obliczamy:

;
;
;
.

Zatem
, skąd wynika nastepujące rozwiązanie ogólne
.

Z warunków początkowych obliczamy
;
.

5. Punkt materialny o masie m trwale połączony ze sprężyną o stałej k wykonuje jednokierunkowe drgania własne. Obliczyć częstość tych drgań.

Odp.:
. Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że drugie prawo Newtona ma w rozpatrywanym przypadku postać
. Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja
gdzie
nazywane jest częstością drgań własnych.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły.

Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to kręt bryły względem zera globalnego układu wspołrzędnych wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Uwaga: Kręt nie jest liczbą rzeczywistą - ma trzy rzeczywiste skłdowe.

7. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły.

Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

8. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i rowartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć kręt stożka wzgldem jego wierzchołka oraz jego energię kinetyczną.

Odp:
;
.

Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą ; ; . Z twierdzenia o kręcie bryły ( ) wynika ; ; bo ; . Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( ) wynika bo

Wzory: Główne centralne momenty bezwładności dla kuli o promieniu R: ; . Główne centralne momenty bezwładności dla walca kołowgo o promieniu i wysokości : ; ; .Główne momenty bezwładności względem wierzchołka stożka kołowgo o promieniu i wysokości : ; ; .

2