Kolokwium Nr 1 z Dynamiki
1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla punktu materialnego.
Jeżeli punkt materialny porusza się pod działeniem potencjalnego pola sił, tzn. siła
spełnia warunek
dla potencjału j zależnego wyłącznie od położenia punktu, to energia potencjalna tego punktu materialnego
jest stała względem czasu.
2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.
Odp.: Tak, bo
dla
.
3. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.
Odp.: Tak, bo
dla
.
Uwaga: Potencjał jest funkcją o wartościach rzeczywistych tyle, że wielu zmiennych. W powyższych przykładach dwu zmiennych.
4. Prowadnica pozioma obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
.
Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy.
Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.
Odp.:
. Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że rzut na oś x drugiego prawa Newtona przyjmuje postać
.
Z zasad ruchu złożonego obliczamy:
;
;
;
.
Zatem
, skąd wynika nastepujące rozwiązanie ogólne
.
Z warunków początkowych obliczamy
;
.
5. Punkt materialny o masie m trwale połączony ze sprężyną o stałej k wykonuje jednokierunkowe drgania własne. Obliczyć częstość tych drgań.
Odp.:
. Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że drugie prawo Newtona ma w rozpatrywanym przypadku postać
. Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja
gdzie
nazywane jest częstością drgań własnych.
6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły.
Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to kręt bryły względem zera globalnego układu wspołrzędnych wynosi
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.
Uwaga: Kręt nie jest liczbą rzeczywistą - ma trzy rzeczywiste skłdowe.
7. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły.
Odp.: Jeżeli A jest punktem bryły to
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.
8. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i rowartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć kręt stożka wzgldem jego wierzchołka oraz jego energię kinetyczną.
Odp:
;
.
Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą
Z twierdzenia o kręcie bryły (
bo
Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( |
|
Wzory: Główne centralne momenty bezwładności dla kuli o promieniu R: |
2