Kolokwium wykładowe z kinematyki
1. (
) Wiedząc, że
i
oblicz wartości wyrażeń:
;
.
2. (
) Wiedząc, że
i
oblicz wartości wyrażeń:
;
.
3. Uprościć wyrażenie:
.
Odp.: Na podstawie tożsamości
wnioskujemy
.
4. Uprościć wyrażenie:
.
Odp.: Na podstawie tożsamości
wnioskujemy
.
5. Uprościć wyrażenie:
.
Odp.:
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że
. Stąd wynika
.
6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.
Odp.:
gdzie
jest przyspieszeniem stycznym,
jest przyśpieszeniem normalnym,
jest jednostkowym wektorem stycznym,
jest krzywizną toru,
jest promieniem krzywizny toru,
jest jednostkowym wektorem normalnym.
7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili
.
Odp.:
,
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a) Wektor prędkości punktu
b). Wektor przyśpieszenia
c). Długość wektora prędkości
d). Jednostkowy wektor styczny (w chwili e). Jednostkowy wektor normalny |
|
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90o aby otrzymać
.
f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.
8. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili
.
Odp.:
;
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a) Wektor prędkości punktu
b). Wektor przyśpieszenia
b). Długość wektora prędkości
c). Jednostkowy wektor styczny (w chwili d). Jednostkowy wektor normalny
|
|
f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.
9. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.
Odp.:
;
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a) Wektor prędkości punktu
b). Wektor przyśpieszenia (w chwili
b). Długość wektora prędkości |
|
c). Jednostkowy wektor styczny
.
d). Jednostkowy wektor normalny
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90o aby otrzymać
.
f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.
10. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.
Odp.:
;
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a) Wektor prędkości punktu
b). Wektor przyśpieszenia (w chwili
b). Długość wektora prędkości
c). Jednostkowy wektor styczny |
|
d). Jednostkowy wektor normalny
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90o aby otrzymać
.
f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.
11. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.
Odp.:
.
Obliczenia.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły
Zatem prędkość kątowa koła wynosi
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły |
|
Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezerowe i wynosi
.
12. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.
Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio
,
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?
13. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.:
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika
,
.
Stąd wnioskujemy, że
,
,
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.
14. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,1,-2] i [-1,0,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.:
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika
,
.
Stąd wnioskujemy, że
,
,
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.
15. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły.
Odp.: Prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem innego punktu A bryły wynoszą odpowiednio
,
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły.
16. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [1,1,-1] i [1,1,-1] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.:
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika
;
.
Stąd wnioskujemy
.
17. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [2,-1,0] i [0,1,-2] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.:
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika
;
.
Stąd wnioskujemy
.
18. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.
Odp.:
,
.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi
bo
.
19. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.
Odp.:
,
.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi
bo
.
20. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.
Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci
gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzędnych o wersorach
to prędkość bezwzględna punktu wynosi
gdzie
jest prędkością względną, a
jest prędkością unoszenia, natomiast
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.
21. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.
Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci
gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzędnych o wersorach
to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi
gdzie
jest przyśpieszeniem względnym,
jest przyśpieszeniem unoszenia, a
jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast
i
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.
22. Rzeka płynie w kierunku północno wschodnim (azymut
) ze stałą co do wartości bezwzględnej prędkością względną
. Wyznaczyć prędkości i przyśpieszenia punktów rzeki o współrzędnych geograficznych
.
W obliczeniach uwzględnić ruch wirowy Ziemi ze stałą prędkością kątową
.
Odp.:
;
;
;
;
.
Obliczenia:
a) Geograficzne składowe wektora prędkości względnej
b) Wektor prędkości względnej
c) Wektor położenia punktu
d) Wektor prędkości kątowej wirowania ziemi
e) Prędkość unoszenia f) Obliczamy przyśpieszenie względne traktując wektor prędkości względnej jako funkcję złożoną
Składową
Składową
g) Przyśpieszenie unoszenia
h) Przyśpieszenie Coriolisa
|
|