Kol-1R, Budownictwo, Mechanika, Kinematyka


Kolokwium wykładowe z kinematyki

1. (0x01 graphic
) Wiedząc, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oblicz wartości wyrażeń:

0x01 graphic
0x01 graphic
; 0x01 graphic
0x01 graphic
.

2. (0x01 graphic
) Wiedząc, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oblicz wartości wyrażeń:

0x01 graphic
0x01 graphic
; 0x01 graphic
0x01 graphic
.

3. Uprościć wyrażenie: 0x01 graphic
.

Odp.: Na podstawie tożsamości 0x01 graphic
wnioskujemy 0x01 graphic
.

4. Uprościć wyrażenie: 0x01 graphic
.

Odp.: Na podstawie tożsamości 0x01 graphic
wnioskujemy 0x01 graphic
.

5. Uprościć wyrażenie: 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że 0x01 graphic
. Stąd wynika 0x01 graphic
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest przyspieszeniem stycznym, 0x01 graphic
jest przyśpieszeniem normalnym, 0x01 graphic
jest jednostkowym wektorem stycznym, 0x01 graphic
jest krzywizną toru, 0x01 graphic
jest promieniem krzywizny toru, 0x01 graphic
jest jednostkowym wektorem normalnym.

7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
 i 0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a) Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Wektor przyśpieszenia 0x01 graphic
.

c). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

d). Jednostkowy wektor styczny (w chwili 0x01 graphic
) 0x01 graphic
.

e). Jednostkowy wektor normalny

0x01 graphic

0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać 0x01 graphic
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

8. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
 i 0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a) Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Wektor przyśpieszenia 0x01 graphic
.

b). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

c). Jednostkowy wektor styczny (w chwili 0x01 graphic
) 0x01 graphic
.

d). Jednostkowy wektor normalny

0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać 0x01 graphic
.

0x01 graphic

f). Przyspieszenie styczne i normalne 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

9. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.

Odp.: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a) Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Wektor przyśpieszenia (w chwili 0x01 graphic
) 0x01 graphic
.

b). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

0x01 graphic

c). Jednostkowy wektor styczny 0x01 graphic
.

d). Jednostkowy wektor normalny 0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać 0x01 graphic
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

10. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.

Odp.: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a) Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Wektor przyśpieszenia (w chwili 0x01 graphic
) 0x01 graphic
.

b). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

c). Jednostkowy wektor styczny 0x01 graphic
.

0x01 graphic

d). Jednostkowy wektor normalny 0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać 0x01 graphic
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

11. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła 0x01 graphic
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły 0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

Zatem prędkość kątowa koła wynosi 0x01 graphic
. Zatem przyśpieszenie kątowe koła wynosi 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły 0x01 graphic
. Ale przyśpieszenie środka koła wynosi 0x01 graphic
. Przyśpieszenie obrotowe również znika 0x01 graphic
. Pozostaje jedynie przyśpieszenie dośrodkowe 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezerowe i wynosi 0x01 graphic
.

12. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.

Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu 0x01 graphic
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a 0x01 graphic
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?

13. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

14. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,1,-2] i [-1,0,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

15. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły.

Odp.: Prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu 0x01 graphic
względem innego punktu A bryły wynoszą odpowiednio

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a 0x01 graphic
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły.

16. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [1,1,-1] i [1,1,-1] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy 0x01 graphic
.

17. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [2,-1,0] i [0,1,-2] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy 0x01 graphic
.

18. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 0x01 graphic
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 0x01 graphic
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

bo 0x01 graphic
.

19. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 0x01 graphic
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 0x01 graphic
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

bo 0x01 graphic
.

20. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 0x01 graphic
ruchomego układu współrzędnych o wersorach 0x01 graphic

to prędkość bezwzględna punktu wynosi 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic
jest prędkością względną, a

0x01 graphic
jest prędkością unoszenia, natomiast 0x01 graphic
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

21. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 0x01 graphic
ruchomego układu współrzędnych o wersorach 0x01 graphic

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic
jest przyśpieszeniem względnym,

0x01 graphic
jest przyśpieszeniem unoszenia, a

0x01 graphic
jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.

22. Rzeka płynie w kierunku północno wschodnim (azymut 0x01 graphic
) ze stałą co do wartości bezwzględnej prędkością względną 0x01 graphic
. Wyznaczyć prędkości i przyśpieszenia punktów rzeki o współrzędnych geograficznych 0x01 graphic
.

W obliczeniach uwzględnić ruch wirowy Ziemi ze stałą prędkością kątową 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
;

0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Obliczenia:

a) Geograficzne składowe wektora prędkości względnej 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

b) Wektor prędkości względnej 0x01 graphic
.

c) Wektor położenia punktu 0x01 graphic
.

d) Wektor prędkości kątowej wirowania ziemi 0x01 graphic
.

e) Prędkość unoszenia 0x01 graphic
.

f) Obliczamy przyśpieszenie względne traktując wektor prędkości względnej jako funkcję złożoną

0x01 graphic
. Wtedy 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Składową 0x01 graphic
jako pochodną prędkości względnej odpowiadającą wirowaniu z prędkością kątową 0x01 graphic
obliczamy ze wzoru 0x01 graphic

Składową 0x01 graphic
możemy obliczyć bezpośrednio, bo wiemy, że 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

g) Przyśpieszenie unoszenia 0x01 graphic
.

h) Przyśpieszenie Coriolisa 0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Kol-2R, Budownictwo, Mechanika, Kinematyka
Kinemat, Budownictwo, Mechanika, Kinematyka
Term-1R, Budownictwo, Mechanika, Dynamika
Kol-1R, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Mechanika II, mechanika II
str tyt, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, gruntki, materiały, mechanika od Piotrka, Mechan
mech teoria, Budownictwo, mechanika, mechanika 1
mg7, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, Nowy folder, Mechanika gruntów, mechanika gruntów
oznaczenie wskaźnika wodoprzepuszczalności, Budownictwo, mechanika gruntów, laborki
mechanika kinematyka predkosc poczatkowa hustawki
nr paska, Resources, Budownictwo, Mechanika Gruntów, gruntki, materiały, Mechanika gruntów, projekt
Dynamika, Budownictwo, Mechanika, Dynamika
Ściąga Z Mechaniki, Studia - Budownictwo, Mechanika ogólna
Kol 1R
Mechanika Budowli - Linie wpływu, BUDOWNICTWO, Mechanika budowli
projekt 1 - okładka, BUDOWNICTWO, Mechanika, Mechanika Budowli, rms, Projekt 1 - Metoda Przemieszcze

więcej podobnych podstron