Kinamatyka

Wojciech Barański

Katedra Mechaniki Materiałów PŁ

[e-mail]

Algebra wektorowa - wprowadzenie

Wektory w mechanice są używane do matematycznego opisu takich pojęć jak: położenie, prędkość, przyśpieszenie punktu

siła itd.

Wektor można rozumieć jako przyporządkowanie każdemu układowi współrzędnych trzech liczb rzeczywistych -zwanych jego składowymi - spełniającą tzw. regułę transformacji składowych wektora (patrz "transformacja składowych wektora").

Np.

Wyrażenie
nazywamy długością wektora
.

Wyrażenia
nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora
.

Podstawowe działania wektorowe

Sumą wektorów
i
nazywamy wektor

.

Dowolny wektor
mnożymy przez dowolny skalar
wg reguły
.

Działania powyższe spełniają reguły łączności

a sumowanie jest przemienne

.

Wersory

Wybranemu układowi współrzędnych (x,y,z) przyporządkujemy jego wersory

,
i
.

Łatwo sprawdzić następującą tożsamość wektorową

.

Obrót układu współrzędnych wg EULERa

Rozpatrzmy układ współrzędnych
, który powstał w wyniku obrotu układu (x,y,z) o kąt
(zwany kątem precesji) wokół osi z. Współrzędne punktów w obu układach przeliczamy według mnożenia macierzowego

.

Utwórzmy następnie układ współrzędnych
przez obrót o kąt
(zwany kątem nutacji) wokół osi
.

.

Ostatniego obrotu dokonamy o kąt
(zwany kątem obrotu właściwego) wokół osi
otrzymując układ
.

.

Euler wykazał, że dowolny obrót układu współrzędnych można przedstawić w postaci pokazanych powyżej obrotów częściowych. Składanie transformacji współrzędnych daje wynik:

gdzie

jest nazywane macierzą obrotu układu współrzędnych. Jest ona macierzą ortogonalną właściwą, tzn.
oraz
.

Przekształcenie EULERa zachowuje skrętność układu współrzędnych i nie obejmuje wszystkich możliwych transformacji układu współrzędnych (w ramach układów kartezjańskich). Do kompletu brakuje przekształcenia przez zmianę zwrotu jednej z osi.

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwu wektorów
i
nazywamy skalar

.

Iloczyn skalarny spełnia tożsamość

z której wynika bezpośrednio, że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub, gdy czynniki są do siebie prostopadłe.

Niezbyt ściśle warunek zerowania się iloczynu skalarnego jest nazywany warunkiem prostopadłości wektorów.

Iloczyn wektorowy

W układzie współrzędnych (x,y,z) z wersorami
iloczyn wektorowy dwu wektorów
i
definiujemy wzorem

.

Iloczyn wektorowy jest antyprzemienny

Kierunek iloczynu wektorowego
jest prostopadły do czynników, a zwrot taki, że trójka wektorów (
) ma taką samą skrętność jak przyjęty układ współrzędnych. Zatem iloczyn wektorowy nie jest wektorem, bo jego zwrot zależy od skrętności przyjętego układu współrzędnych. Takie obiekty matematycy nazywają pseudowektorami.

.

Podstawowe właściwości:

- z czego wynika, że co do wartości bezwzględnej jest równy polu równoległoboku rozpiętego na czynnikach i że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub gdy czynniki są do siebie równoległe.

Niezbyt ściśle warunek zerowania się iloczynu wektorowego jest nazywany warunkiem równoległości wektorów.

Podwójny iloczyn wektorowy

.

Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany jest pseudoskalarem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia znak na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości:

Co do wartości bezwzględnej jest równy objętości równoległościanu rozpiętemu na czynnikach. Wynika stąd, że jest równy zeru, wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerowy lub, gdy czynniki są współpłaszczyznowe.

Kinematyka punktu

Wektor położenia punktu (w chwili ):

Wektor prędkości punktu:

Wektor przyśpieszenia punktu:

Wartość bezwzględna prędkości punktu:

Droga przebyta w przedziale czasu [0,_]:

Z twierdzenia o pochodnej względem górnej granicy całkowania wynika zatem

Wzory Serreta-Freneta: jednostkowy wektor styczny

Wektor normalny do toru

Krzywizna toru

Promień krzywizny toru

Jednostkowy wektor normalny

Wektor binormalny

Przyśpieszenie styczne

Przyśpieszenie normalne

Twierdzenie o rozkładzie przyśpieszenia punktu

Dowód: Ze wzoru na jednostkowy wektor styczny wynika

co po zróżniczkowaniu względem czasu daje

.

Ze wzoru na jednostkowy wektor normalny mamy

.

Zatem

￿

Kinematyka bryły nieodkształcalnej

Twierdzenie o rzutach prędkości punktów bryły

Różnica prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej jest prostopadła do osi przechodzącej przez te punkty.

Rzuty prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.

Dowód: Niech
i
będą położeniami dwu punktów bryły w danej chwili czasu. Z definicji nieodkształcalności wynika, że ich odległość jest stała w czasie. Zatem różnica ich położeń
ma stałą długość, a zatem również stały jest iloczyn skalarny

(bo jest kwadratem tej długości).

Różniczkowanie po czasie daje zatem

.

co oznacza, że wektory
oraz
są do siebie prostopadłe.

Wnioskujemy również, że

￿

Lokalny układ współrzędnych

Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych
na stałe związany z rozpatrywaną bryłą. Dla odróżnienia nazywać go będziemy lokalnym układem współrzędnych. Założymy, że ma on taką samą skrętność jak układ globalny.

Nieodkształcalność bryły oznacza, że współrzędne lokalne punktów bryły są stałe względem czasu.

Oznaczając wersory układu lokalnego przez
możemy globalne położenie punktu bryły wyrazić wzorem

gdzie
oznacza globalne położenie zera lokalnego układu, a
są lokalnymi współrzędnymi rozpatrywanego punktu.

Zatem do opisu ruchu bryły wystarczy zadać ruch zera lokalnego układu współrzędnych, oraz zmienność w czasie wersorów układu lokalnego.

Kąty Eulera

Euler wykazał, że do opisu konfiguracji wersorów układu lokalnego wystarczają trzy kąty, zwane kątami Eulera.

Wektor prędkości kątowej bryły

Oznaczając wersory układu lokalnego przez
zdefiniujemy wektor prędkości kątowej bryły jako

.

Poszczególne składowe wektora prędkości kątowej reprezentują prędkości obrotu względem poszczególnych osi układu:

i analogicznie dla pozostałych składowych wektora prędkości kątowej

Z powyższych wzorów wynika następująca reprezentacja pochodnych czasowych wersorów lokalnych przez składowe wektora prędkości kątowej

,

,

.

Zauważmy, że

.

Zatem

,
,
.

Prędkości punktów bryły

Wykazaliśmy uprzednio, że globalne położenie dowolnego punktu można wyrazić wzorem

Wobec stałości współrzędnych lokalnych różniczkowanie względem czasu daje

Wyrażając pochodne czasowe wersorów za pomocą wektora prędkości kątowej otrzymujemy

.

Zmiana lokalnego układu współrzędnych

Udowodnimy, że wektor prędkości kątowej bryły nie zależy od wyboru lokalnego układu współrzędnych.

Dowód: Niech
będzie nowym lokalnym układem współrzędnych o środku 0' i z wersorami
.

Stosując wzór

dla środka nowego układu 0' oraz końca wersora
otrzymujemy

Ich różnica daje

Podobne wzory zachodzą dla prędkości pozostałych nowych wersorów

Zatem prędkość kątowa obliczana według nowego układu lokalnego wynosi

Wykorzystując tożsamość

otrzymujemy

￿

Przyśpieszenia punktów bryły

Uprzednio wykazaliśmy, że prędkość dowolnego punktu bryły wyraża się wzorem

gdzie:
- jest prędkością rozpatrywanego punktu,

- prędkością zera lokalnego układu współrzędnych,

- wektorem prędkości kątowej bryły a

- wektorem położenia rozpatrywanego punktu bryły względem zera lokalnego układu współrzędnych.

Różniczkowanie względem czasu powyższego wzoru pozwala na obliczenie przyśpieszenia dowolnego punktu bryły według wzoru

gdzie:
- jest przyśpieszeniem zera lokalnego układu współrzędnych, natomiast

jest nazywane wektorem (pseudowektorem) przyśpieszenia kątowego bryły.

Przyśpieszenie obrotowe i dośrodkowe

Wyprowadzony wzór na przyśpieszenie punktu bryły

przedstawiamy w postaci

gdzie:
nazywane jest przyśpieszeniem obrotowym, a

przyśpieszeniem dośrodkowym.

Zauważmy, że z tożsamości
wynika

Ponieważ
jest rzutem
na
to
jest rzutem
na płaszczyznę prostopadłą do
. Zatem przyspieszenie dośrodkowe jest proporcjonalne do kwadratu prędkości katowej i odległości od osi
i jest skierowane prostopadle do osi
w stronę tej osi.

Uwaga: Na ogół przyśpieszenie obrotowe nie jest styczne do toru punktu a przyśpieszenie dośrodkowe nie jest normalne do toru.

Ruch postępowy bryły

Z definicji ruch postępowy bryły jest przypadkiem szczególnym, w którym w każdej chwili prędkości wszystkich punktów są identyczne. Ze wzoru

wnioskujemy zatem, że wtedy dla każdego
zachodzi

co oznacza, że dla każdej chwili

.

W konsekwencji, w ruchu postępowym wersory lokalnego układu współrzędnych są stałe względem czasu, a wektorem przyśpieszenia kątowego bryły jest zerowy. Ponadto, wtedy przyśpieszenia wszystkich punktów bryły są identyczne.

Ruch kulisty bryły

Ruch kulisty bryły jest takim przypadkiem, w którym bryła ma punkt nieruchomy. Wybierając go jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły

,
,
.

W ruchu kulistym każdy punkt porusza sie po powierzchni kuli.

Precesja regularna bryły

Precesją regularną bryły nazywamy przypadek szczególny ruchu kulistego, w którym prędkości precesji i obrotu właściwego są stałe, a kąt nutacji jest stały.

Zatem kąty Eulera można wtedy przedstawić w postaci

gdzie:
- jest stałą prędkością precesji, a

- jest stałą prędkością obrotu właściwego.

Obliczenia dają następujące wartości składowych wektora prędkości kątowej bryły

w lokalnym układzie współrzędnych, oraz

we współrzędnych globalnych. Dla wektora przyśpieszenia kątowego mamy

Widać, że wektor prędkości kątowej ma wtedy stałą długość i wiruje wokół osi pionowej z prędkością precesji.

Ta sama uwaga dotyczy wektora przyśpieszenia kątowego.

Ponadto wektor przyśpieszenia kątowego jest prostopadły do wektora prędkości kątowej.

Ruch obrotowy bryły

W ruchu obrotowym bryły dwa punkty bryły pozostają stale nieruchome.

Osią obrotu nazywamy wtedy oś przechodzącą przez takie dwa punkty. Punkty osi obrotu są nieruchome.

Ruch obrotowy jest przypadkiem szczegolnym ruchu kulistego.

Wybierając punkt należący do osi obrotu jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie, prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły

,
,
.

Wektor prędkości kątowej oraz wektor przyspieszenia kątowego są równoległe do osi obrotu.

Do opisu ruchu obrotowego wystarcza podanie osi obrotu oraz kąta obrotu
.

Zachodzą wzory

,
.

Ruch śrubowy bryły

Złożenie ruchu obrotowego wokół pewnej osi z ruchem postępowym wzdłuż tej osi nazywamy ruchem śrubowym. Punkty tej osi mają prędkość równoległą do tej osi.

Wybierając punkt należący do tej osi jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły

,
,
.

Wówczas wektory prędkości
i przyspieszenia
zera lokalnego układu współrzędnych oraz wektory prędkości kątowej
oraz przyśpieszenia kątowego
są równoległe do tej osi.

Oś centralna

Jeżeli w danej chwili wektor prędkości kątowej
jest niezerowy to zbiór punktów bryły o prędkościach równoległych do
- zwany osią centralną - dany jest równaniem

.

Zostawiając niewiadome
po lewej stronie i przenosząc dane na prawą stronę otrzymujemy

a wobec tożsamości
mamy

.

Rozwiązanie powyższego równania ma postać

gdzie
jest dowolna liczbą rzeczywistą. Pierwszy składnik rozwiązania jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego

natomiast drugi jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego. Pierwszy składnik ma interpretację w postaci prostej równoległej do wektora prędkości kątowej
. Zatem oś centralna jest prostą równoległą do wektora prędkości kątowej
i przesuniętą o wektor
w stosunku do zera lokalnego układu współrzędnych.

Jeżeli w danej chwili prędkość zera lokalnego układu współrzednych jest prostopadła do wektora prędkości kątowej bryły to punkty osi centralnej mają zerowe chwilowe wartości prędkości.

Jeżeli wektor prędkości kątowej jest niezerowy to ruch chwilowy bryły można traktować jako ruch śrubowy. Na ogół jednak oś centralna zmienia swoje położenie zarówno w sensie globalnym jak i lokalnym.

W przypadku zerowej prędkości kątowej nie ma sensu mówienie o osi centralnej.

Ruch płaski bryły

W ruchu płaskim bryły odległości wszystkich jego punktów od pewnej nieruchomej płaszczyzny są stałe. Wektory prędkości i przyspieszenia kątowego są wtedy prostopadłe do tej płaszczyzny. Ruch płaski możemy rozumieć jako ruch figury płaskiej w tej płaszczyźnie. Wybierając osie (x,y) oraz (X,Y) w tej płaszczyźnie możemy opis ruchu punktów takiej figury przedstawić w postaci

gdzie
oznacza kąt obrotu figury. Zatem

,

,

,

.

Wprowadzając oznaczenia

otrzymujemy nastepujace wzory dla prędkości i przyspieszeń dowolnego punktu

,

,

,

.

Dla przyśpieszeń dośrodkowego i obrotowego mamy zatem

,
,

,
.

Dla prędkości i przyspieszenia kątowego rozumianych w sensie wektorowym mamy

,
.

Ruch złożony punktu

Rozpatrzmy zagadnienie opisu ruchu danego punktu materialnego względem dwu układów odniesienia.

Jeden z nich -
- nazwiemy układem nieruchomym (bezwzględnym), a drugi
układem ruchomym (względnym).

Ruch rozpatrywanego punktu względem obu tych układów nazywać będziemy odpowiednio ruchem bezwzględnym i względnym.

Dla każdej chwili wprowadzamy ponadto pojęcie ruchu unoszenia jako ruchu bezwzględnego tego punktu nieruchomego względem układu ruchomego, który w rozpatrywanej chwili pokrywa się z rozpatrywanym punktem odniesienia.

Prędkości i przyspieszenia w tych ruchach nazywamy odpowiednio: prędkościami i przyśpieszeniami bezwzględnymi, względnymi i unoszenia.

Równanie ruchu bezwzględnego przedstawimy w postaci

gdzie
są wersorami nieruchomego układu współrzędnych.

Równanie ruchu względnego przedstawimy w postaci

gdzie
są wersorami ruchomego układu współrzędnych.

Równanie ruchu unoszenia przedstawiamy w postaci

gdzie
jest bezwzględnym położeniem zera układu ruchomego w chwili 
.

Dla ruchu złożonego mamy oczywiście

Prędkość punktu materialnego w ruchu złożonym

Na podstawie wzoru

definiujemy prędkość względną jako

.

Na podstawie wzoru

definiujemy prędkość unoszenia jako

gdzie
jest bezwzględną prędkością zera ruchomego układu współrzędnych.

Wprowadzając

jako wektor bezwzględnej prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych możemy prędkość unoszenia wyrazić wzorem

.

Obliczając prędkość bezwzględną jako pochodną czasową położenia bezwzględnego

otrzymujemy

.

Udowodniliśmy zatem, że prędkość bezwzględna jest sumą prędkości względnej i prędkości unoszenia.

Przyspieszenie punktu materialnego w ruchu złożonym

Na podstawie wzoru

.

definiujemy przyśpieszenie względne jako

.

Na podstawie wzoru

definiujemy przyśpieszenie unoszenia jako

gdzie
jest bezwzględnym przyśpieszeniem zera ruchomego układu współrzędnych,
jest wektorem bezwzględnego przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych, a
jest prędkością unoszenia względem zera ruchomego układu współrzędnych.

Zdefiniujemy ponadto przyspieszenie Coriolisa jako

Obliczając przyspieszenie bezwzględne jako drugą pochodną czasową położenia bezwzględnego

otrzymujemy

.

Ale

Zatem

i udowodniliśmy, że przyspieszenie bezwzględna jest sumą przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia i przyśpieszenia Coriolisa.

Ruch złożony bryły

Rozpatrzmy zagadnienie opisu ruchu danej bryły względem dwu układów odniesienia.

Jeden z nich -
- nazwiemy układem nieruchomym (bezwzględnym), a drugi
- układem ruchomym (względnym).

Ruch rozpatrywanego punktu względem obu tych układów nazywać będziemy odpowiednio ruchem bezwzględnym i względnym.

Dodatkowo wprowadzimy układ współrzędnych
sztywno związany z rozpatrywaną bryłą. Niech C będzie dowolnym punktem bryły.

Z kinematyki bryły wynika, że dla dowolnego punktu bryły jego prędkości: bezwzględną
, unoszenia
oraz względną
można wyrazić wzorami

;
;

gdzie
jest bezwzględną prędkością katową bryły,
jest kątową prędkością unoszenia bryły a
jest względną prędkością katową bryły.

Z praw ruchu złożonego punktu mamy

;
.

Wynika stąd

a następnie

bo
jest dowolne.

Udowodniliśmy zatem, że w ruchu złożonym bryły bezwzględna prędkość kątowa bryły jest sumą prędkości kątowej unoszenia i kątowej prędkości względnej bryły.

---