Lokata - jednorazowa wpłata kapitału, którego wartość zmieniała się z upływem czasu na skutek oprocentowania (wyznaczania odsetek przy przyjętym modelu) i kapitalizacji (dopisywania) odsetek.

Wkłady oszczędnościowe - systematyczne (wnoszone w jednakowych odstępach czasu) wpłaty pewnych kwot, podlegających dalej oprocentowaniu zgodnie z przyjętym modelem kapitalizacji.

RENTA KAPITAŁOWA

Definicja1

Rentą kapitałową nazywamy systematyczny dochód uzyskiwany ze zgromadzonego wcześniej kapitału rentowego.

Definicja2

Okres wypłat T_w jest to czas pomiędzy dwiema kolejnymi wypłatami.

Renty (ze względu na wysokość wypłat):

1. Renty stałe (kolejne wypłaty renty są stałe)

2. Renty zmienne (kolejne wypłaty renty nie są stałe)

1. Renty arytmetyczne (ciąg wypłat, których wysokość zmienia się (na ogół rośnie) o jednakową kwotę)

2. Renty geometryczne (ciąg wypłat, których wysokość zmienia się (na ogół rośnie) w jednakowym stosunku)

Renta zmienna stosowana jest w związku z istniejącą na rynku inflacją, zwiększające się wysokości wypłat mają zapewnić utrzymanie wartości realnej otrzymywanych kwot.

Renty mogą być wypłacane z dołu bądź z góry odpowiednich okresów wypłat.

RENTA STAŁA ZGODNA

• T_w =T_s=T_k

• r - nominalna stopa procentowa o okresie T_s, q=1+r

• e - stała wysokość renty wypłacanej przez n okresów (z dołu bądź z góry)

Czas

0

1

2

…

n-1

n

Wypłaty

z dołu

e

e

…

e

e

z góry

e

e

e

…

e

Wartość końcowa (wartość w momencie n) n kolejnych wypłat renty stałej o wysokości e:

- dla renty wypłacanej z dołu

- dla renty wypłacanej z góry, n=1, 2, …

Wartość teraźniejsza (początkowa) sumy wypłat na moment t=0 (zdyskontowana wartość końcowa na moment t=0)

Jeżeli renta stała o wysokości e jest wypłacana z kapitału rentowego o wartości początkowej K to po n wypłatach stan konta wynosi:

.

Renta wieczysta - renta, której wysokość nie przekracza wartości odsetek, tzn.
.

Maksymalna renta wieczysta wypłacana z kapitału rentowego K:

- z dołu

- z góry

Renta czasowa - jeśli wartość renty stałej przekracza wysokość renty wieczystej, pomniejsza kapitał rentowy i jest wypłacana przez skończony okres.

Równanie
określa wyzerowanie konta.

RENTA STAŁA NIEZGODNA

• spośród trzech okresów: T_k, T_w, T_s przynajmniej dwa są różne

OKRES WYPŁAT JEST RÓWNY OKRESOWI KAPITALIZACJI

• T_w=T_k, T_s - dowolny

• uzgodnienie renty polega na dostosowaniu okresu stopy procentowej do okresu wypłat i okresu kapitalizacji:
  - stopa względna;
  

Zastosowanie stopy względnej
pozwala na równoważne zastąpienie renty niezgodnej rentą zgodną.

Wartość końcowa (wartość w momencie n) n kolejnych wypłat renty stałej o wysokości e:

- dla renty wypłacanej z dołu

- dla renty wypłacanej z góry, n=1, 2, …

Wartość teraźniejsza sumy wypłat na moment t=0 (zdyskontowana wartość końcowa na moment t=0)

OKRES WYPŁAT JEST WIĘKSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

• T_w>T_k, T_s - dowolny (np. renta półroczna przy kapitalizacji miesięcznej)

• T_s dostosowujemy do okresu wypłat

• uzgodnienie renty polega na równoważnym wydłużeniu okresu kapitalizacji, tak aby był równy okresowi stopy procentowej
  (dostosowanej do okresu wypłat) i okresowi wypłat.

• 
  , m - oznacza ile razy w okresie wypłat odsetki są dopisywane do kapitału

• 
  

- dla wypłat z dołu

- dla wypłat z góry

OKRES WYPŁAT JEST MNIEJSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

• T_w<T_k, T_s - dowolny (np. renta wypłacana miesięcznie przy kapitalizacji półrocznej)

• T_s dostosowujemy do okresu kapitalizacji

(MODEL KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ Z DOŁU)

• uzgodnienie renty polega na zastąpieniu kapitalizacji okresowej wg stopy procentowej
  na kapitalizację w podokresach, zgodnie z okresem wypłat, wg stopy równoważnej:
  ;
  ; m - liczba określająca ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu wypłat

Wartość końcowa na koniec k - tego okresu wypłat sumy k wypłat:

- dla wypłat z dołu

- dla wypłat z góry

(MODEL KAPITALIZACJI MIESZANEJ)

• odsetki za okres kapitalizacji wyznaczane wg modelu kapitalizacji złożonej z dołu

• odsetki za okresy wypłat renty wyznaczane wg modelu kapitalizacji prostej

• n - liczba pełnych okresów kapitalizacji

• m - liczba wypłat w każdym okresie kapitalizacji

• uzgodnienie renty polega na zastąpieniu m wypłat renty e w podokresach okresu kapitalizacji jedną umowną wypłatą z dołu E, równoważną w sensie równej wartości końcowej zgodnie z modelem kapitalizacji prostej

Wypłata umowna

Przyszła wartość (w momencie n) sumy wypłaconych kwot (w odniesieniu do pełnych okresów kapitalizacji).

.

- maksymalna renta wieczysta

RENTA ARYTMETYCZNA ZGODNA

• T_w =T_s=T_k

• r - nominalna stopa procentowa o okresie T_s, q=1+r

• e - stała wysokość renty wypłacanej przez n okresów (z dołu bądź z góry)

• kolejne wypłaty renty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy d, czyli ciąg: e, e+d, e+2d, …

Przyszła wartość n wypłat renty arytmetycznej (po wypłaceniu n - tej wypłaty):

- dla renty wypłacanej z dołu

- dla renty wypłacanej z góry, n=1, 2, …

Wartość teraźniejsza E₀ sumy n wypłat renty arytmetycznej:

Gdy renta arytmetyczna wypłacana jest na podstawie kapitału rentowego K to stan konta K_n po wypłaceniu n rent wynosi:

Na podstawie równania:
można tak określić parametry renty arytmetycznej, aby po N wypłatach stan konta był równy 0.

RENTA GEOMETRYCZNA ZGODNA

• T_w =T_s=T_k

• r - nominalna stopa procentowa o okresie T_s, q=1+r

• e - stała wysokość renty wypłacanej przez n okresów (z dołu bądź z góry)

• kolejne wypłaty renty tworzą ciąg geometryczny o ilorazie a, czyli ciąg: e, ea, ea², …

Przyszła wartość sumy n wypłat renty geometrycznej (po wypłaceniu n - tej wypłaty):

- dla renty wypłacanej z dołu, jeżeli

- dla renty wypłacanej z góry, jeżeli
, n=1, 2, …

Gdy
to

- dla renty wypłacanej z dołu,

- dla renty wypłacanej z góry, n=1, 2, …

Wartość teraźniejsza E₀ sumy n wypłat renty geometrycznej:

RENTA KAPITAŁOWA Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI

• W czasie wypłacania renty zarówno stopa procentowa r oraz stopa inflacji i są stałe.

• Okres stopy procentowej r jest taki sam jak okres stopy inflacji i.

• q=1+r

• p=1+i

Czas

0

1

2

3

…

n-1

n

Wartość

nominalna

e

e

e

…

e

e

realna

e

…

Suma realnych n kwot wypłacanej renty stałej w ujęciu nominalnym:


- dla wypłat z dołu


- dla wypłat z góry

Aby wypłacana renta kapitałowa miała stałą wartość realną, należy dokonać indeksacji wypłat o wskaźnik inflacji (waloryzacji wypłat).

Przyszła wartość renty (w momencie ostatniej wypłaty) waloryzowanej:

gdy



- dla wypłat z dołu


- dla wypłat z góry

gdy



- dla wypłat z dołu


- dla wypłat z góry

MATEMATYKA FINANSOWA WYKŁAD 3 1

Dr Anna Górska

---