Marlena Orlińska 10.12.09.r.

Wydział: IZ

Nr albumu: 179110

Ćwiczenie nr 57 C

Badanie efektu Halla.

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem Halla przez wyznaczanie zależności napięcia Halla od prądu sterującego Uh=f(Is).

Celem jest także wyznaczenie czułości hallotronu oraz koncentracji elektronów swobodnych.

I. Wstęp teoretyczny:

Jeżeli płytkę hallotronu włączymy w obwód prądu stałego I_S i umieścimy w polu magnetycznym, którego wektor indukcji B jest prostopadły do kierunku płytki i do kierunku płynącego prądu elektrycznego, to między punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów U_H, zwana napięciem Halla.

Napięcie to powstaje w wyniku odchylenia elektronów poruszających się wzdłuż hallotronu, co spowodowane jest działającą na nie siłą Lorentza:

W skutek zakrzywienia toru elektrony gromadzą się na jednej krawędzi płytki. Dzięki temu w płytce powstaje jednorodne pole elektryczne o natężeniu E. Pole to działa na elektrony z siłą:

Gromadzenie elektronów na krawędzi płytki trwa dopóki F_L > F_E.

Dla warunków równowagi F_L = F_E napięcie Halla wyraża się wzorem:

Z tego wzoru można również bezpośrednio wyznaczyć czułość hallotronu. Natomiast koncentracje elektronów będzie można wyznaczyć ze wzoru:

II . Część doświadczalna:

Klasa miernika: Woltomierz (zakres 100 [mV], 0,05%rdg±0,01%pełnej skali), Amperomierz (klasa miernika 0,5 [mA], zakres 7,5 [mA] oraz 15 [mA])

Wartości podane w ćwiczeniu:

B0 [T]	∆B0 [T]	∆B0/B0	d [m]	∆d [m]	∆d/d	e [C]
0,500	0,050	0,1000	2,0∙10^-6	0,1∙10^-6	0,0500	1,6∙10^-19

Wykonany został pomiar dla najmniejszego napięcia Halla U_H=0,00 [V], przy którym kąt przyjął wartość α₀=255 [°] oraz został wykonany pomiar dla największego napięcia Halla U_H=0,1647 [V], przy którym kąt przyjął wartość α=345 [°].

Kąty, różnica między kątami oraz sinus ich różnicy, które będą potrzebne do obliczeń, zostały zamieszczone w tabeli poniżej:

α [°]	∆α [°]	∆α/α	α0 [°]	∆α0 [°]	∆α0/α0	α - α0	sin(α - α0)
345	5	0,0145	255	5	0,0196	90	1

Pomiar 1 (dla napięcia Halla, bez uwzględnienia asymetrii pierwotnej):

Wyznaczanie zależności U_H = f(I_S).

Ustalając stałą wartość indukcji magnetycznej B zmieniamy prąd I_S płynący przez hallotron, odczytując każdorazowo wartość napięcia Halla U_H:

	IS [mA]	∆IS [mA]	∆IS/IS	UH [V]	∆UH [V]	∆UH/UH
	IS/7,5 [mA]			UH/1 [V]
	5,0	0,0375	0,0075	0,1637	0,0002	0,0012
	5,5		0,0068	0,1802	0,0002	0,0011
	6,0		0,0063	0,1961	0,0002	0,0010
	6,5		0,0058	0,2133	0,0002	0,0009
	7,0		0,0054	0,2292	0,0003	0,0013
	7,5		0,0050	0,2450	0,0003	0,0012
	IS/15 [mA]
	8,0	0,075	0,0094	0,2609	0,0003	0,0011
	8,5		0,0088	0,2774	0,0003	0,0011
	9,0		0,0083	0,2940	0,0003	0,0010
	9,5		0,0079	0,3088	0,0003	0,0010
	10,0		0,0075	0,3232	0,0003	0,0009
	10,5		0,0071	0,3402	0,0003	0,0009
	11,0		0,0068	0,3574	0,0003	0,0008
	11,5		0,0065	0,3730	0,0003	0,0008
	12,0		0,0063	0,3886	0,0003	0,0008
	12,5		0,0060	0,4031	0,0003	0,0007
	13,0		0,0058	0,4182	0,0003	0,0007
	13,5		0,0056	0,4333	0,0004	0,0009
	14,0		0,0054	0,4481	0,0004	0,0009
	14,5		0,0052	0,4632	0,0004	0,0009
	15,0		0,0050	0,4776	0,0004	0,0008
Średnia			0,0066			0,0010

Po sporządzeniu wykresu zależności U_H = f(I_S) oraz korzystając z regresji liniowej otrzymałam następujące współczynniki kierunkowe:

a	∆a	b	∆b	R
31,486	0,118	0,009	0,001	0,9997

Równanie regresji liniowej (prostej najlepszego dopasowania):

y = (31,486±0,118)x + (0,009±0,001)

Wartość czułości hallotronu γ wyznaczyłam z regresji liniowej wykresu U_H = f(I_S) dla zależności U_H = γ∙B_n∙I_S. Następnie ze wzoru obliczyłam koncentracje elektronów swobodnych n. Otrzymałam następujące wartości:

Bn [T]	∆Bn [T]	∆Bn/Bn	γ [V/A∙T]	∆γ [V/A∙T]	∆γ/γ	n [1/m^3]	∆n [1/m^3]	∆n/n
0,500	0,050	0,1000	62,973	6,773	0,1076	4,96∙10^22	0,79∙10^2^2	0,1576

Niedokładność natężenia prądu ∆I_S obliczyłam ze wzoru:

Niedokładność napięcia Halla ∆U_H obliczyłam ze wzoru:

(dla zakresu 1 [V])

Indukcje pola magnetycznego B_n obliczyłam korzystając ze wzoru podanego w ćwiczeniu:

Następnie zauważamy, że α-α₀=90°, z czego wynika, iż sin90°=1, co wskazuje na to, że:

B_n=B₀

Niepewność indukcji pola magnetycznego ∆B_n, będzie równa niepewności indukcji pola magnetycznego ∆B₀, wskazuje na to metoda różniczki zupełnej:

Widzimy, że cos90°=0, co upraszcza wzór do postaci:

Natomiast jak już wcześniej wspomniałam sin90°=1, z czego wynika, że ∆B_n=∆B₀.

Wartość współczynnika kierunkowego a odpowiada γ∙B_n Z czego wynika, że wzór na czułość hallotronu γ to:

Niepewność czułości hallotronu ∆γ wyznaczyłam metodą różniczki zupełnej:

Następnie posiadając już wszystkie potrzebne wartości, obliczyłam koncentrację elektronów swobodnych n ze wzoru:

Niepewność koncentracji elektronów swobodnych ∆n policzyłam metodą różniczki zupełnej (przyjęto, że e, czyli wielkość ładunku elementarnego jest wyznaczona nieskończenie dokładnie, stąd ∆e=0):

Pomiar 2 (dla napięcia Halla, z uwzględnieniem asymetrii pierwotnej):

Wyznaczanie zależności U_R = f(I_S).

Ustalając stałą wartość indukcji magnetycznej B zmieniamy prąd I_S płynący przez hallotron, odczytując każdorazowo wartość napięcia Halla U_H, ten sam pomiar wykonujemy dla napięcia asymetrii pierwotnej U_A. Następnie z otrzymanych pomiarów, obliczamy napięcie rzeczywiste U_R:

	IS [mA]	∆IS [mA]	∆IS/IS	UA [mV]	∆UA [mV]	∆UA/UA	UR [mV]	∆UR [mV]	∆UR/UR
	IS/7,5 [mA]				UA/100 [mV]		UR/1 [V]
	5,0	0,0375	0,0075	0,00	0,01	-	0,16370	0,00021	0,0013
	5,5		0,0068	0,01	0,01	1,0005	0,18019	0,00021	0,0012
	6,0		0,0063	0,03	0,01	0,3338	0,19607	0,00021	0,0011
	6,5		0,0058	0,06	0,01	0,1672	0,21324	0,00021	0,0010
	7,0		0,0054	0,09	0,01	0,1116	0,22911	0,00031	0,0014
	7,5		0,0050	0,13	0,01	0,0774	0,24487	0,00031	0,0013
	IS/15 [mA]
	8,0	0,075	0,0094	0,18	0,01	0,0561	0,26072	0,00031	0,0012
	8,5		0,0088	0,23	0,01	0,0440	0,27717	0,00031	0,0011
	9,0		0,0083	0,30	0,01	0,0338	0,29370	0,00031	0,0011
	9,5		0,0079	0,37	0,01	0,0275	0,30843	0,00031	0,0010
	10,0		0,0075	0,42	0,01	0,0243	0,32278	0,00031	0,0010
	10,5		0,0071	0,50	0,01	0,0205	0,33970	0,00031	0,0009
	11,0		0,0068	0,59	0,01	0,0174	0,35681	0,00031	0,0009
	11,5		0,0065	0,68	0,01	0,0152	0,37232	0,00031	0,0008
	12,0		0,0063	0,79	0,01	0,0132	0,38781	0,00031	0,0008
	12,5		0,0060	0,89	0,01	0,0117	0,40221	0,00031	0,0008
	13,0		0,0058	0,99	0,01	0,0106	0,41721	0,00031	0,0007
	13,5		0,0056	1,12	0,01	0,0094	0,43218	0,00041	0,0010
	14,0		0,0054	1,24	0,01	0,0086	0,44686	0,00041	0,0009
	14,5		0,0052	1,36	0,01	0,0079	0,46184	0,00041	0,0009
	15,0		0,0050	1,50	0,01	0,0072	0,47610	0,00041	0,0009
Średnia			0,0066			0,0999			0,0010

Po sporządzeniu wykresu zależności U_R = f(I_S) oraz korzystając z regresji liniowej otrzymałam następujące współczynniki kierunkowe:

a	∆a	b	∆b	R
31,336	0,125	0,010	0,001	0,9996

Równanie regresji liniowej (prostej najlepszego dopasowania):

y = (31,336±0,125)x + (0,010±0,001)

Wartość czułości hallotronu γ wyznaczyłam z regresji liniowej wykresu U_R = f(I_S) dla zależności U_R = γ∙B_n∙I_S. Następnie ze wzoru obliczyłam koncentracje elektronów swobodnych n. Otrzymałam następujące wartości:

Bn [T]	∆Bn [T]	∆Bn/Bn	γ [V/A∙T]	∆γ [V/A∙T]	∆γ/γ	n [1/m^3]	∆n [1/m^3]	∆n/n
0,500	0,050	0,1000	62,672	6,743	0,1076	4,99∙10^22	0,79∙10^2^2	0,1576

Niedokładność natężenia prądu ∆I_S obliczyłam ze wzoru:

Niedokładność napięcia Halla ∆U_H obliczyłam ze wzoru:

(dla zakresu 1 [V])

(dla zakresu 100 [mV])

Napięcie rzeczywiste U_R policzyłam ze wzoru:

Niedokładność napięcia rzeczywistego ∆U_R obliczyłam ze wzoru:

Indukcje pola magnetycznego B_n obliczyłam korzystając ze wzoru podanego w ćwiczeniu:

Następnie zauważamy, że α-α₀=90°, z czego wynika, iż sin90°=1, co wskazuje na to, że:

B_n=B₀

Niepewność indukcji pola magnetycznego ∆B_n, będzie równa niepewności indukcji pola magnetycznego B₀, co wskazuje wyżej obliczony wzór.

Wartość współczynnika kierunkowego a odpowiada γ∙B_n Z czego wynika, że wzór na czułość hallotronu γ to:

Niepewność czułości hallotronu ∆γ wyznaczyłam metodą różniczki zupełnej:

Następnie posiadając już wszystkie potrzebne wartości, obliczyłam koncentrację elektronów swobodnych n ze wzoru:

Niepewność koncentracji elektronów swobodnych ∆n policzyłam metodą różniczki zupełnej (przyjęto, że e, czyli wielkość ładunku elementarnego jest wyznaczona nieskończenie dokładnie, stąd ∆e=0):

III. Wyniki i ich niepewności:

Pomiar 1:

γ = 62,973±6,773 [V/A∙T].

∆γ/ γ = 0,10%+10,00%+0,66% = 10,76%

n = 4,96∙10²²±0,79∙10²² [1/m³]

∆n/n = 10,76%+5,00% = 15,76%

a = 31,486±0,118

b = 0,009±0,001

R = 0,9997

Pomiar 2:

γ = 62,672±6,743 [V/A∙T].

∆γ/ γ = 0,10%+10,00%+0,66% = 10,76%

n = 4,99∙10²²±0,79∙10²² [1/m³]

∆n/n = 10,76%+5,00% = 15,76%

a = 31,336±0,125

b = 0,010±0,001

R = 0,9996

IV. Dyskusja wyników i ich niepewności:

Z pierwszego pomiaru widać od razu, że niepewności napięcia Halla oraz natężenia prądu wahają się. Sądzę, iż mogło być to spowodowane błędem ludzkim przy odczycie wartości z urządzeń analogowych. Poza tym na pomiary wpływ miało również środowisko zewnętrzne. Zauważyć można jednak, że niepewności natężenia prądu są o wiele większe od niepewności napięcia Halla. Wynika to z tego, że pomiary napięcia zostały wykonane miernikiem cyfrowym, a natężenia prądu miernikiem analogowym, co jest mniej dokładne.

Z wykresu U_H = f(I_S) widzimy, że jest zależnością liniową, gdyż każdy punkt leży na linii najlepszego dopasowania. Poza tym współczynnik korelacji wynosi R=0,9997. Co może wskazywać na to, że pomiar został wykonany dość poprawnie.

Z obliczeń otrzymaliśmy wartość czułości hallotronu γ=62,672±6,773 [V/A∙T]. Na jego niepewność równą ∆γ/γ=10,76% największy wpływ miała indukcja pola magnetycznego, gdyż sięga ona rzędu 10%. Najmniejszy wpływ miała wartość napięcia Halla oraz natężenia prądu.

Obliczona wartość koncentracji elektronów swobodnych wynosi n=4,96∙10²²±0,79∙10²² [1/m³], a jego niepewność ∆n/n=15,76%. Zauważyć można, iż niepewność jest bardzo duża, największy wpływ na nią miała niepewność czułości hallotronu. Można stwierdzić, że na pomiar miało wpływ środowisko zewnętrzne, mała ilość pomiarów oraz błąd ludzki.

Z drugiego pomiaru gdzie otrzymaliśmy napięcie rzeczywiste, poprzez odjęcie od napięcia Halla napięcia asymetrii pierwotnej, widzimy iż wyniki są wręcz identyczne do wyników z pierwszego pomiaru. Jedyne różnice (bardzo niewielkie) można dostrzec przy wykresie U_R = f(I_S), gdyż współczynniki kierunkowe różnią się, ale jedynie w części dziesiętnej.

Wykres także jest zależnością liniową.

Wartości otrzymane z regresji liniowej oraz wzoru podanego w ćwiczeniu różnią się jedynie tylko w części dziesiętnej, co można pominąć. Z tego wynika, że napięcie asymetrii pierwotnej było takie znikome przy wartościach zmierzonych napięcia Halla, że mogliśmy je pominąć.

Wielkość wartości koncentracji elektronów swobodnych n=4,96∙10²²±0,79∙10²² [1/m³] sugeruje, iż jest to metal, jednak z braku źródła o wartości tablicowej nie jestem w stanie określić tego dokładnie.

Z wykresu ostatniego zależności U_A = f(I_S) wynika, iż elektrody hallowskie nie leżą dokładnie naprzeciw siebie (nie leża w jednej linii ekwipotencjalnej). To właśnie spowodowało wytworzenie się napięcia asymetrii pierwotnej.

V. Wnioski:

Przyczynami w błędach pomiarów były niedokładność urządzeń pomiarowych, błąd ludzki przy ustawianiu wartości napięcia, błąd ludzki przy odczycie wartości z urządzeń analogowych, wpływ środowiska zewnętrznego na dokładność pomiarów, mała liczba dokonanych pomiarów i ich powtórzeń.

Układ można usprawnić poprzez wyeliminowanie przyczyn błędów pomiarowych czyli, np. użycie urządzeń o większej dokładności, używanie urządzeń cyfrowych, wyizolowanie układu od wpływu środowiska zewnętrznego, zwiększenie ilości dokonanych pomiarów.