Praca zaliczeniowa

Metody ilościowe w badaniach naukowych

Studia doktoranckie IX edycja KNOP

Grzegorz Gołąbek

Temat: statystyka regresji.

Zadanie 4 - Model regresji - próbka nr 14

Dane wejściowe

Próbka nr 14

kraj_obecny	liczba_stanowisk	czas	odległość	koszty	kraj_poprzedni	lojalność
B	1	17,5	4,10	7,16	D	1
B	2	10,1	3,60	3,65	A	1
A	2	7,9	4,30	3,40	A	0
E	2	9,0	4,40	3,96	E	0
C	2	7,7	4,70	3,62	D	0
B	2	13,2	5,30	6,52	C	1
B	2	16,4	7,00	11,15	B	1
D	3	8,5	4,80	4,03	D	0
E	3	7,2	4,80	3,02	A	0
E	3	8,6	5,70	4,85	B	0
A	3	8,8	6,00	5,10	B	0
C	3	8,6	6,10	4,70	C	0
A	3	9,7	6,10	5,38	A	0
C	3	6,8	6,30	4,22	C	1
A	3	8,2	6,30	4,94	B	0
E	3	8,1	6,60	4,72	D	0
A	3	15,8	8,60	13,32	E	1
D	3	9,8	9,70	9,38	D	0
A	4	9,0	6,50	5,66	A	0
B	4	14,3	7,60	10,67	C	1
B	4	14,0	13,10	18,34	B	1
A	4	13,3	23,00	29,10	C	1

Dane wyjściowe

Korelacja zmiennych.

	liczba_stanowisk	czas	odległość	koszty
liczba_stanowisk	1
czas	-0,11781028	1
odległość	0,589566879	0,328919805	1
koszty	0,463626932	0,596193316	0,948623	1

• Koszty: słaba korelacja z liczbą stanowisk, średnia z czasem, silna korelacja z odległością.

Statystyka regresji

Wielokrotność R	0,99521917
R kwadrat	0,990461197
Dopasowany R kwadrat	0,988871396
Błąd standardowy	0,647287735
Obserwacje	22
ANALIZA WARIANCJI
	df
Regresja	3
Resztkowy	18
Razem	21

	Współczynniki	Błąd standardowy
Przecięcie	-7,662903516	0,825897577
liczba_stanowisk	0,052290227	0,24101217
czas	0,603660533	0,05022555
odległość	1,241726617	0,048596361

SKŁADNIKI RESZTOWE
Obserwacja	Przewidywane koszty	Składniki resztowe
1	8,0224312	-0,8624312
2	3,032346541	0,617653459
3	2,554233156	0,845766844
4	3,338218853	0,621781147
5	2,927263942	0,692736058
6	6,963936654	-0,443936654
7	11,03906409	0,110935911
8	3,559221068	0,470778932
9	2,773025068	0,246974932
10	4,772495859	0,077504141
11	5,238627983	-0,138627983
12	5,265239055	-0,565239055
13	5,947516188	-0,567516188
14	4,438094704	-0,218094704
15	5,244046781	-0,304046781
16	5,557578122	-0,837578122
17	12,69288773	0,627112271
18	10,47384737	-1,093847372
19	6,020615764	-0,360615764
20	10,60935335	0,060646652
21	17,28662283	1,053377169
22	29,13333369	-0,033333692

Model regresji stwarza możliwość modelowania oraz symulowania prawdopodobieństwa zdarzenia opisywanego przez zmienną zależną w zależności od różnych zmiennych niezależnych (w tym przypadku zmienną zależną są koszty (Ŷ), a zmiennymi niezależnymi: liczba stanowisk (X₁), czas (X₂) i odległość(X₃)).

Model regresji dla całej populacji (123 obserwacje) przedstawia się następująco:

Ŷ = -9,196 - 0,416 X₁ + 0,826 X₂ + 1,324 X₃

Model regresji dla próbki (22 obserwacji) kształtuje się następująco:

Ŷ = -7,662 +0,052 X₁ + 0,603 X₂ + 1,241 X₃

Wartości wszystkich współczynników w modelu regresji dla próbki 22 obserwacji są mniejsze niż w modelu regresji dla całej populacji. Budowę funkcje regresji otrzymujemy poprzez metodę najmniejszych kwadratów (małych kwadratów) w oparciu o dane z losowej próby.

Współczynnik korelacji wielorakiej (wielokrotność R) dla próbki wyniósł 0,995 (dla całej populacji 0,968). Jest on miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających. Przyjmuje wartość z przedziału [0,1], przy czym dla R=1 zachodzi zależność funkcyjna liniowa. W omawianym przykładzie współczynniki są bliskie 1, co oznacza, że zależność między kosztami a kombinacją zmiennych niezależnych jest zbliżona do zależności liniowej.

Miarą dopasowania modelu regresji jest współczynnik R². Jest to liczba z przedziału [0,1]. R²=1 oznacza doskonałe dopasowanie, natomiast wartość R²=0 - brak powiązania między zmiennymi. R² pokazuje jak dobrze dane estymowane są dopasowane do danych rzeczywistych. Jeśli R² wynosi ponad 0,8 można uznać trend za nieźle dopasowany. Współczynnik R² jest dla próbki większa (0,990) niż dla całej populacji (0,937). Oznacza to, iż dla próbki uzyskaliśmy funkcję, która w większym stopniu opisuje zależności między zmiennymi. Dopasowany R² wynosi dla próbki 0,988, a dla całej populacji 0,936.

Różnice opisujące rozbieżność między wartościami zmiennej zależnej y_j, a wartościami wyliczonymi z modelu ŷ_j to reszty. Im reszty są mniejsze, tym bliżej wartości empirycznej y_i są wartości przewidywane przez model. Jako miarę omawianej rozbieżności traktuje się odchylenie standardowe reszt z_i. W statystyce precyzję estymatora oddaje jego wariancja, czyli jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Błąd standardowy estymacji S_z informuje o przeciętnej wielkości odchyleń empirycznych wartości zmiennej zależnej od wartości wyliczonych z modelu (teoretycznych). Jest to ważny parametr w analizie regresji, ponieważ stanowi miarę rozproszenia elementów populacji wokół linii regresji. Odchylenie standardowe reszt mówi więc nam o stopniu "dopasowania" modelu do danych empirycznych. Im S_z mniejsze, tym lepiej dopasowany model. W naszym przykładzie błąd standardowy jest dla próbki obserwacji mniejszy niż dla całej populacji, gdyż wynosi 0,647 w porównaniu do 1,65 dla całości.

Model regresji obrazuje zależność, jaka kształtuje się pomiędzy kosztami wyjazdów na polowania a odległością kraju wyjazdu, czasem jego trwania oraz liczbą stanowisk.
W modelu regresji dla próbki 22 obserwacji koszty zależą od wszystkich zmiennych niezależny, tj. liczby stanowisk (X₁), czasu (X₂) i odległość(X₃).

---